Análisis de escala (matemáticas)

El análisis de escala (o análisis de orden de magnitud ) es una poderosa herramienta utilizada en las ciencias matemáticas para la simplificación de ecuaciones con muchos términos. Primero se determina la magnitud aproximada de los términos individuales en las ecuaciones. Entonces es posible que se ignoren algunos términos insignificantes.

Ejemplo: impulso vertical en meteorología de escala sinóptica

Considere, por ejemplo, la ecuación del momento de las ecuaciones de Navier-Stokes en la dirección de coordenadas verticales de la atmósfera.

donde R es el radio de la Tierra , Ω es la frecuencia de rotación de la Tierra, g es la aceleración gravitacional , φ es la latitud, ρ es la densidad del aire y ν es la viscosidad cinemática del aire (podemos ignorar la turbulencia en la atmósfera libre ).

En escala sinóptica podemos esperar velocidades horizontales de aproximadamente U = 10 ¹  ms ⁻¹ y verticales de aproximadamente W = 10 ⁻²  ms ⁻¹ . La escala horizontal es L = 10 ⁶  m y la escala vertical es H = 10 ⁴  m. La escala de tiempo típica es T = L / U = 10 ⁵  s. Las diferencias de presión en la troposfera son Δ P = 10 ⁴  Pa ​​y la densidad del aire ρ = 10 ⁰  kg⋅m ⁻³ . Otras propiedades físicas son aproximadamente:

R = 6,378 × 10 ⁶ m;

Ω = 7,292 × 10 ⁻⁵ rad⋅s ^−1;

ν = 1,46 × 10 ⁻⁵ m ² ⋅s ^−1;

gramo = 9,81 m⋅s ^−2.

Las estimaciones de los diferentes términos de la ecuación ( A1 ) se pueden realizar utilizando sus escalas:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial w}{\partial t}}&\sim {\frac {W}{T}}\\[1.2ex]u{\frac {\partial w}{\partial x}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad v{\frac {\partial w}{\partial y}}&\sim U{\frac {W}{L}}&\qquad w{\frac {\partial w}{\partial z}}&\sim W{\frac {W}{H}}\\[1.2ex]{\frac {u^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}&\qquad {\frac {v^{2}}{R}}&\sim {\frac {U^{2}}{R}}\\[1.2ex]{\frac {1}{\varrho }}{\frac {\partial p}{\partial z}}&\sim {\frac {1}{\varrho }}{\frac {\Delta P}{H}}&\qquad \Omega u\cos \varphi &\sim \Omega U\\[1.2ex]\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{L^{2}}}&\qquad \nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}&\sim \nu {\frac {W}{H^{2}}}\end{aligned}}}$

Ahora podemos introducir estas escalas y sus valores en la ecuación ( A1 ):

Podemos ver que todos los términos (excepto el primero y el segundo del lado derecho) son insignificantemente pequeños. Por tanto, podemos simplificar la ecuación del momento vertical a la ecuación de equilibrio hidrostático :

Análisis de reglas de escala.

El análisis de escala es una herramienta muy útil y ampliamente utilizada para resolver problemas en el área de transferencia de calor y mecánica de fluidos, chorro de pared impulsado por presión, separación de flujos detrás de escalones orientados hacia atrás, llamas de difusión en chorro, estudio de dinámica lineal y no lineal. El análisis de escala es un atajo eficaz para obtener soluciones aproximadas a ecuaciones que a menudo son demasiado complicadas para resolverlas exactamente. El objeto del análisis de escala es utilizar los principios básicos de la transferencia de calor por convección para producir estimaciones del orden de magnitud de las cantidades de interés. El análisis de escala anticipa, dentro de un factor de orden uno, cuando se realiza correctamente, los costosos resultados que producen los análisis exactos. Reglas de análisis de escala de la siguiente manera:

Regla 1: el primer paso en el análisis de escala es definir el dominio de extensión en el que aplicamos el análisis de escala. Cualquier análisis de escala de una región de flujo que no esté definida de manera única no es válido.

Regla 2: una ecuación constituye una equivalencia entre las escalas de dos términos dominantes que aparecen en la ecuación. Por ejemplo,

${\displaystyle \rho c_{P}{{\partial T} \over {\partial t}}=k{\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}.}$

En el ejemplo anterior, el lado izquierdo podría ser del mismo orden de magnitud que el lado derecho.

Regla 3- Si en la suma de dos términos dados por

${\displaystyle c=a+b}$

el orden de magnitud de un término es mayor que el orden de magnitud del otro término

${\displaystyle O(a)>O(b)}$

entonces el orden de magnitud de la suma está dictado por el término dominante

${\displaystyle O(c)=O(a)}$

La misma conclusión es válida si tenemos la diferencia de dos términos.

${\displaystyle c=a-b}$

Regla 4- En la suma de dos términos, si dos términos son del mismo orden de magnitud,

${\displaystyle c=a+b}$

${\displaystyle O(a)=O(b)}$

entonces la suma también es del mismo orden de magnitud:

${\displaystyle O(a)\thicksim O(b)\thicksim O(c)}$

Regla 5- En caso de producto de dos términos

${\displaystyle p=ab}$

el orden de magnitud del producto es igual al producto de los órdenes de magnitud de los dos factores

${\displaystyle O(p)=O(a)O(b)}$

para proporciones

${\displaystyle r={\frac {a}{b}}}$

entonces

${\displaystyle O(r)={\frac {O(a)}{O(b)}}}$

aquí O(a) representa el orden de magnitud de a.

~ representa dos términos que son del mismo orden de magnitud.

> representa mayor que, en el sentido de orden de magnitud.

Desarrollo de flujo en la región de entrada de un conducto de placas paralelas.

Análisis de escala de flujo completamente desarrollado.

Considere el flujo laminar constante de un fluido viscoso dentro de un tubo circular. Deje que el fluido entre con una velocidad uniforme a lo largo del flujo a través de la sección. A medida que el fluido desciende por el tubo, se forma una capa límite de fluido de baja velocidad que crece en la superficie porque el fluido inmediatamente adyacente a la superficie tiene velocidad cero. Una característica particular y simplificadora del flujo viscoso dentro de tubos cilíndricos es el hecho de que la capa límite debe encontrarse con la línea central del tubo, y la distribución de velocidades establece entonces un patrón fijo que es invariante. La longitud de entrada hidrodinámica es la parte del tubo en la que crece la capa límite de momento y la distribución de velocidades cambia con la longitud. La distribución de velocidad fija en la región completamente desarrollada se denomina perfil de velocidad completamente desarrollado. La continuidad en estado estacionario y la conservación de las ecuaciones de momento en dos dimensiones son

Estas ecuaciones se pueden simplificar mediante el análisis de escala. En cualquier punto de la zona totalmente desarrollada, tenemos y . Ahora, a partir de la ecuación ( 1 ), el componente de velocidad transversal en la región completamente desarrollada se simplifica usando la escala como ${\displaystyle x\sim L}$ ${\displaystyle y\sim \delta }$ ${\displaystyle u\sim U_{\infty }}$

En la región completamente desarrollada , de modo que la escala de la velocidad transversal es insignificante a partir de la ecuación ( 4 ). Por lo tanto, en un flujo completamente desarrollado, la ecuación de continuidad requiere que ${\displaystyle L\gg \delta }$

Según la ecuación ( 5 ), la ecuación del momento y ( 3 ) se reduce a

esto significa que P es función de x únicamente. A partir de esto, la ecuación del momento x se convierte en

Cada término debe ser constante, porque el lado izquierdo es función de x únicamente y el derecho es función de y . Resolver la ecuación ( 7 ) sujeta a la condición de frontera

esto da como resultado la conocida solución de Hagen-Poiseuille para un flujo completamente desarrollado entre placas paralelas.

donde y se mide lejos del centro del canal. La velocidad debe ser parabólica y es proporcional a la presión por unidad de longitud del conducto en la dirección del flujo.

Ver también

• Aproximación
• Análisis dimensional

Referencias

• Barenblatt, GI (1996). Escalamiento, autosimilitud y asintóticas intermedias . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-43522-6.
• Tennekes, H .; Lumley, John L. (1972). Un primer curso de turbulencias . Prensa del MIT, Cambridge, Massachusetts. ISBN 0-262-20019-8.
• Bejan, A. (2004). Transferencia de calor por convección . John Wiley e hijos. ISBN 978-81-265-0934-8.
• Kays, WM, Crawford ME (2012). Transferencia de masa y calor por convección . Educación McGraw Hill (India). ISBN 978-1-25-902562-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

enlaces externos

• Análisis de escala y números de Reynolds Archivado el 10 de abril de 2006 en Wayback Machine.