Datos ordinales

Los datos ordinales son un tipo de datos estadísticos categóricos en los que las variables tienen categorías naturales y ordenadas y no se conocen las distancias entre las categorías. ^[1]^{: 2} Estos datos existen en una escala ordinal , uno de los cuatro niveles de medición descritos por SS Stevens en 1946. La escala ordinal se distingue de la escala nominal por tener una clasificación . ^[2] También difiere de la escala de intervalo y de la escala de proporción al no tener anchos de categoría que representen incrementos iguales del atributo subyacente. ^[3]

Ejemplos de datos ordinales

Un ejemplo muy conocido de datos ordinales es la escala Likert . Un ejemplo de escala Likert es: ^[4]^{: 685}

A menudo se encuentran ejemplos de datos ordinales en los cuestionarios: por ejemplo, la pregunta de la encuesta "¿Su salud general es mala, razonable, buena o excelente?" pueden tener esas respuestas codificadas respectivamente como 1, 2, 3 y 4. A veces, los datos en una escala de intervalo o escala de razón se agrupan en una escala ordinal: por ejemplo, las personas cuyos ingresos se conocen pueden agruparse en las categorías de ingresos de $0 a $19,999. , $20 000–$39 999, $40 000–$59 999, ..., que luego podrían codificarse como 1, 2, 3, 4, .... Otros ejemplos de datos ordinales incluyen el estatus socioeconómico, los rangos militares y las calificaciones con letras de los trabajos de curso. ^[5]

Formas de analizar datos ordinales

El análisis de datos ordinales requiere un conjunto de análisis diferente al de otras variables cualitativas. Estos métodos incorporan el ordenamiento natural de las variables para evitar pérdidas de potencia. ^[1]^{: 88} Se desaconseja calcular la media de una muestra de datos ordinales; otras medidas de tendencia central, incluidas la mediana o la moda, son generalmente más apropiadas. ^[6]

General

Stevens (1946) argumentó que, debido a que el supuesto de igual distancia entre categorías no se cumple para datos ordinales, el uso de medias y desviaciones estándar para la descripción de distribuciones ordinales y de estadísticas inferenciales basadas en medias y desviaciones estándar no era apropiado. En lugar de ello, se deben utilizar medidas posicionales como la mediana y los percentiles, además de estadísticas descriptivas apropiadas para datos nominales (número de casos, moda, correlación de contingencia). ^[3]^{: 678} Se han propuesto métodos no paramétricos como los procedimientos más apropiados para estadísticas inferenciales que involucran datos ordinales (por ejemplo, W de Kendall , coeficiente de correlación de rangos de Spearman , etc.), especialmente aquellos desarrollados para el análisis de mediciones clasificadas. ^[5]^{: 25–28} Sin embargo, el uso de estadísticas paramétricas para datos ordinales puede estar permitido con ciertas salvedades para aprovechar la mayor gama de procedimientos estadísticos disponibles. ^[7]^[8]^[4]^{: 90}

Estadísticas univariadas

En lugar de medias y desviaciones estándar, las estadísticas univariadas apropiadas para datos ordinales incluyen la mediana, ^[9]^{: 59–61} otros percentiles (como cuartiles y deciles), ^[9]^{: 71} y la desviación del cuartil. ^[9]^{: 77} Las pruebas de una muestra para datos ordinales incluyen la prueba de una muestra de Kolmogorov-Smirnov , ^[5]^{: 51–55} la prueba de corridas de una muestra , ^[5]^{: 58–64} y la prueba de punto de cambio. ^[5]^{: 64–71}

Estadísticas bivariadas

En lugar de probar las diferencias de medias con pruebas t , las diferencias en las distribuciones de datos ordinales de dos muestras independientes se pueden probar con Mann-Whitney , ^[9]^{: 259–264} ejecuciones , ^[9]^{: 253–259} Smirnov , ^{[9 ]}^{: 266–269} y rangos con signo ^[9]^{: 269–273} pruebas. Las pruebas para dos muestras relacionadas o coincidentes incluyen la prueba de signos ^[5]^{: 80–87} y la prueba de rangos con signos de Wilcoxon . ^[5]^{: 87–95} El análisis de varianza con rangos ^[9]^{: 367–369} y la prueba de Jonckheere para alternativas ordenadas ^[5]^{: 216–222} se pueden realizar con datos ordinales en lugar de ANOVA de muestras independientes . Las pruebas para más de dos muestras relacionadas incluyen el análisis de varianza bidireccional por rangos de Friedman ^[5]^{: 174–183} y la prueba de Page para alternativas ordenadas . ^[5]^{: 184–188} Las medidas de correlación apropiadas para dos variables de escala ordinal incluyen tau de Kendall , ^[9]^{: 436–439} gamma , ^[9]^{: 442–443} r s , ^[9]^{: 434–436} y d _yx / d _xy . ^[9]^{: 443}

Aplicaciones de regresión

Los datos ordinales pueden considerarse como una variable cuantitativa. En regresión logística , la ecuación

\operatorname {logit} [P(Y=1)]=\alpha +\beta _{1}c+\beta _{2}x

es el modelo y c asume los niveles asignados de la escala categórica. ^[1]^{: 189} En el análisis de regresión , los resultados ( variables dependientes ) que son variables ordinales se pueden predecir utilizando una variante de la regresión ordinal , como logit ordenado o probit ordenado .

En el análisis de regresión/correlación múltiple, los datos ordinales se pueden acomodar utilizando polinomios de potencia y mediante la normalización de puntuaciones y rangos. ^[10]

Tendencias lineales

Las tendencias lineales también se utilizan para encontrar asociaciones entre datos ordinales y otras variables categóricas, normalmente en tablas de contingencia . Se encuentra una correlación r entre las variables donde r se encuentra entre -1 y 1. Para probar la tendencia, se utiliza una estadística de prueba:

M^{2}=(n-1)r^{2}

se utiliza donde n es el tamaño de la muestra. ^[1]^{: 87}

R se puede encontrar dejando que sean las puntuaciones de las filas y las puntuaciones de las columnas. Sea la media de las puntuaciones de las filas mientras . Entonces es la probabilidad marginal de la fila y es la probabilidad marginal de la columna. R se calcula mediante: $u_{1}\leq u_{2}\leq ...\leq u_{I}$ $v_{1}\leq v_{2}\leq ...\leq v_{I}$ ${\bar {u}}\ =\sum _ {i}u_ {i}p_ {i+}$ ${\bar {v}}\ =\sum _ {j}v_ {j}p_ {j+}.$ $p_{i+}$ $p_{+j}$

r={\frac {\sum _{i,j}\left(u_{i}-{\bar {u}}\ \right)\left(v_{j}-{\bar {v}}\ \right)p_{ij}}{\sqrt {\left\lbrack \sum _{i}(u_{i}-{\bar {u}}\ \right)^{2}p_{i+}\rbrack \lbrack \sum _{j}(v_{j}-{\bar {v}}\ )^{2}p_{+j}\rbrack }}}

Métodos de clasificación

También se han desarrollado métodos de clasificación para datos ordinales. Los datos se dividen en diferentes categorías de modo que cada observación sea similar a las demás. La dispersión se mide y minimiza en cada grupo para maximizar los resultados de la clasificación. La función de dispersión se utiliza en la teoría de la información . ^[11]

Modelos estadísticos para datos ordinales.

Existen varios modelos diferentes que se pueden utilizar para describir la estructura de datos ordinales. ^[12] A continuación se describen cuatro clases principales de modelos, cada una definida para una variable aleatoria , con niveles indexados por . $Y$ $k=1,2,\dots ,q$

Tenga en cuenta que en las definiciones de modelos siguientes, los valores de y no serán los mismos para todos los modelos para el mismo conjunto de datos, pero la notación se utiliza para comparar la estructura de los diferentes modelos. $\mu _{k}$ $\mathbf {\beta }$

Modelo de probabilidades proporcionales

El modelo más comúnmente utilizado para datos ordinales es el modelo de probabilidades proporcionales, definido por el hecho de que los parámetros describen la distribución base de los datos ordinales, son las covariables y los coeficientes que describen los efectos de las covariables. $\log \left[{\frac {\Pr(Y\leq k)}{Pr(Y>k)}}\right]=\log \left[{\frac {\Pr(Y\leq k)}{1-\Pr(Y\leq k)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x}$ $\mu _{k}$ $\mathbf {x}$ $\mathbf {\beta }$

Este modelo se puede generalizar definiendo el modelo usando en lugar de , y esto haría que el modelo sea adecuado para datos nominales (en los que las categorías no tienen un orden natural), así como para datos ordinales. Sin embargo, esta generalización puede hacer que sea mucho más difícil ajustar el modelo a los datos. $\mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x}$ $\mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x}$

Modelo logit de categoría de referencia

El modelo de categoría de referencia está definido por $\log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x}$

Este modelo no impone un orden en las categorías y, por lo tanto, puede aplicarse tanto a datos nominales como a datos ordinales.

Modelo de estereotipo ordenado

El modelo de estereotipo ordenado se define por el lugar donde los parámetros de puntuación están restringidos de tal manera que . $\log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=1)}}\right]=\mu _{k}+\phi _{k}\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x}$ $0=\phi _{1}\leq \phi _{2}\leq \dots \leq \phi _{q}=1$

Este es un modelo más parsimonioso y más especializado que el modelo logit de categoría básica: puede considerarse similar a . $\phi _{k}\mathbf {\beta }$ $\mathbf {\beta } _{k}$

El modelo de estereotipo no ordenado tiene la misma forma que el modelo de estereotipo ordenado, pero sin el ordenamiento impuesto . Este modelo se puede aplicar a datos nominales. $\phi _{k}$

Tenga en cuenta que las puntuaciones ajustadas, , indican lo fácil que es distinguir entre los diferentes niveles de . Entonces eso indica que el conjunto actual de datos para las covariables no proporciona mucha información para distinguir entre niveles y , pero eso no implica necesariamente que los valores reales y estén muy separados. Y si los valores de las covariables cambian, entonces, para esos nuevos datos, las puntuaciones ajustadas podrían estar muy separadas. ${\hat {\phi }}_{k}$ $Y$ ${\hat {\phi }}_{k}\approx {\hat {\phi }}_{k-1}$ $\mathbf {x}$ $k$ $k-1$ $k$ $k-1$ ${\hat {\phi }}_{k}$ ${\hat {\phi }}_{k-1}$

Modelo logit de categorías adyacentes

El modelo de categorías adyacentes se define por , aunque la forma más común, denominada en Agresti (2010) ^[12] como "forma de probabilidades proporcionales", se define por $\log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=k+1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } _{k}^{T}\mathbf {x}$ $\log \left[{\frac {\Pr(Y=k)}{\Pr(Y=k+1)}}\right]=\mu _{k}+\mathbf {\beta } ^{T}\mathbf {x}$

Este modelo sólo se puede aplicar a datos ordinales, ya que modelar las probabilidades de cambios de una categoría a la siguiente implica que existe un ordenamiento de esas categorías.

El modelo logit de categorías adyacentes puede considerarse como un caso especial del modelo logit de categorías de referencia, donde . El modelo logit de categorías adyacentes también puede considerarse como un caso especial del modelo de estereotipo ordenado, donde , es decir, las distancias entre se definen de antemano, en lugar de estimarse en función de los datos. $\mathbf {\beta } _{k}=\mathbf {\beta } (k-1)$ $\phi _{k}\propto k-1$ $\phi _{k}$

Comparaciones entre los modelos.

El modelo de probabilidades proporcionales tiene una estructura muy diferente a los otros tres modelos, y también un significado subyacente diferente. Tenga en cuenta que el tamaño de la categoría de referencia en el modelo de probabilidades proporcionales varía con , ya que se compara con , mientras que en los otros modelos el tamaño de la categoría de referencia permanece fijo, cuando se compara con o . $k$ $Y\leq k$ $Y>k$ $Y=k$ $Y=1$ $Y=k+1$

Diferentes funciones de enlace

Existen variantes de todos los modelos que utilizan diferentes funciones de enlace, como el enlace probit o el enlace log-log complementario.

Pruebas estadísticas

Las diferencias en datos ordinales se pueden probar mediante pruebas de rango .

Visualización y visualización

Los datos ordinales se pueden visualizar de varias maneras diferentes. Las visualizaciones comunes son el gráfico de barras o un gráfico circular . Las tablas también pueden resultar útiles para mostrar datos y frecuencias ordinales. Se pueden utilizar gráficos en mosaico para mostrar la relación entre una variable ordinal y una variable nominal u ordinal. ^[13] Un gráfico de relieve (un gráfico de líneas que muestra la clasificación relativa de los elementos de un momento al siguiente) también es apropiado para datos ordinales. ^[14]

Se puede utilizar una gradación de color o escala de grises para representar la naturaleza ordenada de los datos. Una escala unidireccional, como los rangos de ingresos, se puede representar con un gráfico de barras donde el aumento (o disminución) de la saturación o luminosidad de un solo color indica ingresos mayores (o menores). La distribución ordinal de una variable medida en una escala de doble dirección, como una escala Likert, también podría ilustrarse con colores en un gráfico de barras apiladas. Se podría usar un color neutro (blanco o gris) para el punto medio (cero o neutro), con colores contrastantes usados en direcciones opuestas desde el punto medio, donde el aumento de la saturación u oscuridad de los colores podría indicar categorías a una distancia cada vez mayor del punto medio. . ^[15] Los mapas de coropletas también utilizan sombreado en color o escala de grises para mostrar datos ordinales. ^[dieciséis]

Aplicaciones

El uso de datos ordinales se puede encontrar en la mayoría de las áreas de investigación donde se generan datos categóricos. Los entornos donde a menudo se recopilan datos ordinales incluyen las ciencias sociales y del comportamiento y entornos gubernamentales y comerciales donde se recopilan mediciones de personas mediante observación, pruebas o cuestionarios . Algunos contextos comunes para la recopilación de datos ordinales incluyen la investigación por encuestas ; ^[17]^[18] e inteligencia , aptitud , pruebas de personalidad y toma de decisiones . ^[2]^[4]^{: 89–90}

Se ha recomendado el cálculo del 'tamaño del efecto' (delta d de Cliff ) utilizando datos ordinales como medida de dominancia estadística. ^[19]

Ver también

Referencias

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Otras lecturas

Agresti, Alan (2010). Análisis de datos categóricos ordinales (2ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-0470082898.