Residual (análisis numérico)

En términos generales, un residual es el error en un resultado. ^[1] Para ser precisos, supongamos que queremos encontrar x tal que

${\displaystyle f(x)=b.}$

Dada una aproximación x ₀ de x , el residual es

${\displaystyle b-f(x_{0})}$

es decir, "lo que queda del lado derecho" después de restar f ( x ₀ )" (de ahí el nombre "residual": lo que queda, el resto). Por otro lado, el error es

${\displaystyle x-x_{0}}$

Si no se conoce el valor exacto de x , se puede calcular el residual, pero no el error.

Residual de la aproximación de una función

Se utiliza terminología similar al tratar con ecuaciones diferenciales , integrales y funcionales . Para la aproximación de la solución de la ecuación. ${\displaystyle f_{\text{a}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle T(f)(x)=g(x)\,,}$

el residual puede ser la función

${\displaystyle ~g(x)~-~T(f_{\text{a}})(x)}$,

o se puede decir que es el máximo de la norma de esta diferencia

${\displaystyle \max _{x\in {\mathcal {X}}}|g(x)-T(f_{\text{a}})(x)|}$

sobre el dominio , donde se espera que la función se aproxime a la solución , ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ ${\displaystyle f_{\text{a}}}$ ${\displaystyle f}$

o alguna integral de una función de la diferencia, por ejemplo:

${\displaystyle \int _{\mathcal {X}}|g(x)-T(f_{\text{a}})(x)|^{2}~\mathrm {d} x.}$

En muchos casos, la pequeñez del residual significa que la aproximación está cerca de la solución, es decir,

${\displaystyle \left|{\frac {f_{\text{a}}(x)-f(x)}{f(x)}}\right|\ll 1.}$

En estos casos, la ecuación inicial se considera bien planteada ; y el residual puede considerarse como una medida de desviación de la aproximación de la solución exacta.

Uso de residuos

Cuando no se conoce la solución exacta, se puede buscar la aproximación con residuo pequeño.

Los residuos aparecen en muchas áreas de las matemáticas, incluidos los solucionadores iterativos como el método residual mínimo generalizado , que busca soluciones a ecuaciones minimizando sistemáticamente el residuo.

Referencias

1. Shewchuk, Jonathan Richard (1994). "Una introducción al método del gradiente conjugado sin el dolor agonizante" (PDF) . pag. 6.