El error de aproximación en un valor de datos es la discrepancia entre un valor exacto y alguna aproximación a él. Este error se puede expresar como un error absoluto (la cantidad numérica de la discrepancia) o como un error relativo (el error absoluto dividido por el valor de los datos).
Un error de aproximación puede ocurrir por una variedad de razones, entre ellas un error de precisión o de medición de la máquina de cálculo (por ejemplo, la longitud de una hoja de papel es 4,53 cm pero la regla solo le permite estimarla al 0,1 cm más cercano, por lo que la mide como 4,5 cm).
En el campo matemático del análisis numérico , la estabilidad numérica de un algoritmo indica hasta qué punto los errores en la entrada del algoritmo darán lugar a grandes errores en la salida; los algoritmos numéricamente estables no producen un error significativo en la salida cuando la entrada está mal formada y viceversa. [1]
Dado un valor v , decimos que v approx se aproxima a v con un error absoluto ε >0 si [2] [3]
donde las barras verticales indican el valor absoluto .
Decimos que v approx se aproxima a v con un error relativo η > 0 si
.
Si v ≠ 0, entonces
El error porcentual (una expresión del error relativo) es [3]
Un límite de error es un límite superior en el tamaño relativo o absoluto de un error de aproximación. [4]
Por ejemplo, si el valor exacto es 50 y la aproximación es 49,9, entonces el error absoluto es 0,1 y el error relativo es 0,1/50 = 0,002 = 0,2 %. Como ejemplo práctico, al medir un vaso de precipitados de 6 ml, el valor leído fue 5 ml. Como la lectura correcta es 6 ml, esto significa que el error porcentual en esa situación particular es, redondeado, 16,7 %.
El error relativo se utiliza a menudo para comparar aproximaciones de números de tamaño muy diferente; por ejemplo, aproximar el número 1.000 con un error absoluto de 3 es, en la mayoría de las aplicaciones, mucho peor que aproximar el número 1.000.000 con un error absoluto de 3; en el primer caso, el error relativo es 0,003 mientras que en el segundo es sólo 0,000003.
Hay dos características del error relativo que se deben tener en cuenta. En primer lugar, el error relativo no está definido cuando el valor verdadero es cero, tal como aparece en el denominador (ver más abajo). En segundo lugar, el error relativo solo tiene sentido cuando se mide en una escala de proporción (es decir, una escala que tiene un cero verdadero y significativo); de lo contrario, es sensible a las unidades de medida. Por ejemplo, cuando un error absoluto en una medición de temperatura dada en la escala Celsius es 1 °C y el valor verdadero es 2 °C, el error relativo es 0,5. Pero si se realiza exactamente la misma aproximación con la escala Kelvin , un error absoluto de 1 K con el mismo valor verdadero de 275,15 K = 2 °C da un error relativo de 3,63 × 10-3 .
Las afirmaciones sobre errores relativos son sensibles a la suma de constantes, pero no a la multiplicación por constantes. Para los errores absolutos , ocurre lo contrario: son sensibles a la multiplicación por constantes, pero no a la suma de constantes. [5] : 34
Decimos que un valor real v es polinomialmente computable con error absoluto a partir de una entrada si, para cada número racional ε > 0, es posible calcular un número racional v approx que se aproxima a v con error absoluto ε , en tiempo polinomial en el tamaño de la entrada y el tamaño de codificación de ε (que es O(log(1/ ε )). Análogamente, v es polinomialmente computable con error relativo si, para cada número racional η > 0, es posible calcular un número racional v approx que se aproxima a v con error relativo η , en tiempo polinomial en el tamaño de la entrada y el tamaño de codificación de η .
Si v es polinomialmente computable con error relativo (mediante algún algoritmo llamado REL), entonces también es polinomialmente computable con error absoluto. Demostración . Sea ε > 0 el error absoluto deseado. Primero, use REL con error relativo η = 1/2; encuentre un número racional r 1 tal que | v - r 1 | ≤ | v |/2, y por lo tanto | v | ≤ 2 | r 1 |. Si r 1 = 0, entonces v = 0 y hemos terminado. Dado que REL es polinomial, la longitud de codificación de r 1 es polinomial en la entrada. Ahora, ejecute REL nuevamente con error relativo η = ε / (2 | r 1 |). Esto produce un número racional r 2 que satisface | v - r 2 | ≤ ε | v | / (2 r 1 ) ≤ ε , por lo que tiene un error absoluto ε como se deseaba. [5] : 34
La implicación inversa no suele ser cierta. Pero, si suponemos que se puede calcular algún límite inferior positivo de |v| en tiempo polinómico, p. ej., | v | > b > 0, y v es polinómicamente computable con error absoluto (mediante algún algoritmo llamado ABS), entonces también es polinómicamente computable con error relativo, ya que podemos simplemente llamar ABS con error absoluto ε = η b.
Un algoritmo que, para cada número racional η > 0, calcula un número racional v approx que se aproxima a v con un error relativo η , en un polinomio de tiempo en el tamaño de la entrada y 1/ η (en lugar de log(1/ η )), se denomina FPTAS .
En la mayoría de los instrumentos indicadores, la precisión está garantizada hasta un cierto porcentaje de la lectura de escala completa. Los límites de estas desviaciones con respecto a los valores especificados se conocen como errores límite o errores de garantía. [6]
Las definiciones se pueden extender al caso en que y son vectores n -dimensionales , reemplazando el valor absoluto con una n -norma . [7]
