Erlang (unidad)

Medida de carga en telecomunicaciones

El erlang (símbolo E ^[1] ) es una unidad adimensional que se utiliza en telefonía como medida de la carga ofrecida o transportada en elementos que proporcionan servicios, como circuitos telefónicos o equipos de conmutación telefónica. Un circuito de un solo cable tiene capacidad para usarse durante 60 minutos en una hora. La utilización total de esa capacidad, 60 minutos de tráfico, constituye 1 erlang. ^[2]

El tráfico transportado en erlangs es el número promedio de llamadas simultáneas medidas durante un período determinado (a menudo una hora), mientras que el tráfico ofrecido es el tráfico que se transportaría si todos los intentos de llamada tuvieran éxito. La cantidad de tráfico ofrecido que se transporte en la práctica dependerá de lo que suceda con las llamadas no respondidas cuando todos los servidores estén ocupados.

El CCITT nombró a la unidad internacional de tráfico telefónico erlang en 1946 en honor a Agner Krarup Erlang . ^{[3] [4]} En el análisis de Erlang sobre el uso eficiente de líneas telefónicas, derivó las fórmulas para dos casos importantes, Erlang-B y Erlang-C, que se convirtieron en resultados fundamentales en la ingeniería de teletráfico y la teoría de colas . Sus resultados, que todavía se utilizan hoy en día, relacionan la calidad del servicio con el número de servidores disponibles. Ambas fórmulas toman la carga ofrecida como una de sus entradas principales (en erlangs), que a menudo se expresa como la tasa de llegada de llamadas multiplicada por la duración promedio de la llamada.

Una suposición distintiva detrás de la fórmula de Erlang B es que no hay cola, de modo que si todos los elementos del servicio ya están en uso, una nueva llamada entrante se bloqueará y posteriormente se perderá. La fórmula da la probabilidad de que esto ocurra. Por el contrario, la fórmula de Erlang C ofrece la posibilidad de una cola ilimitada y da la probabilidad de que una nueva llamada deba esperar en la cola debido a que todos los servidores están en uso. Las fórmulas de Erlang se aplican ampliamente, pero pueden fallar cuando la congestión es especialmente alta, lo que provoca que el tráfico fallido reintente repetidamente. Una forma de contabilizar los reintentos cuando no hay cola disponible es el método Extended Erlang B.

Mediciones de tráfico de un circuito telefónico.

Cuando se utiliza para representar el tráfico transportado , un valor (que puede ser un número no entero como 43,5) seguido de "erlangs" representa el número promedio de llamadas simultáneas transportadas por los circuitos (u otros elementos que brindan servicios), donde ese promedio es calculado durante un período de tiempo razonable. El período durante el cual se calcula el promedio suele ser de una hora, pero se pueden utilizar períodos más cortos (por ejemplo, 15 minutos) cuando se sabe que hay períodos breves de demanda y se desea una medición del tráfico que no enmascare estos períodos. Un erlang de tráfico transportado se refiere a un único recurso en uso continuo, o dos canales cada uno en uso el cincuenta por ciento del tiempo, y así sucesivamente. Por ejemplo, si una oficina tiene dos operadores telefónicos que están ocupados todo el tiempo, eso representaría dos erlangs (2 E) de tráfico; o se dice que un canal de radio que está ocupado continuamente durante el período de interés (por ejemplo, una hora) tiene una carga de 1 erlang.

Cuando se utiliza para describir el tráfico ofrecido , un valor seguido de "erlangs" representa el número promedio de llamadas simultáneas que se habrían realizado si hubiera un número ilimitado de circuitos (es decir, si los intentos de llamada que se realizaron cuando todos los circuitos estaban en uso no había sido rechazado). La relación entre el tráfico ofrecido y el tráfico transportado depende del diseño del sistema y del comportamiento del usuario. Tres modelos comunes son (a) las personas que llaman cuyos intentos de llamada son rechazados se van y nunca regresan, (b) las personas que llaman cuyos intentos de llamada son rechazados lo intentan nuevamente dentro de un espacio de tiempo bastante corto, y (c) el sistema permite a los usuarios esperar en cola hasta que haya un circuito disponible.

Una tercera medida del tráfico es el tráfico instantáneo , expresado como un cierto número de erlangs, es decir, el número exacto de llamadas que se realizan en un momento dado. En este caso el número es un número entero no negativo. Los dispositivos de registro del nivel de tráfico, como las grabadoras de lápiz móvil, trazan el tráfico instantáneo.

El análisis de Erlang

Los conceptos y las matemáticas introducidos por Agner Krarup Erlang tienen una amplia aplicabilidad más allá de la telefonía. Se aplican allí donde los usuarios llegan más o menos al azar para recibir un servicio exclusivo de cualquiera de un grupo de elementos que prestan servicios sin reserva previa, por ejemplo, cuando los elementos que prestan servicios son ventanillas de venta de billetes, aseos en un avión o habitaciones de motel. (Los modelos de Erlang no se aplican cuando los elementos que proporcionan el servicio se comparten entre varios usuarios simultáneos o cuando diferentes usuarios consumen diferentes cantidades de servicio, por ejemplo, en circuitos que transportan tráfico de datos).

El objetivo de la teoría del tráfico de Erlang es determinar exactamente cuántos elementos de prestación de servicios deben proporcionarse para satisfacer a los usuarios, sin un desperdicio excesivo de aprovisionamiento. Para ello, se establece un objetivo para el grado de servicio (GoS) o la calidad de servicio (QoS). Por ejemplo, en un sistema donde no hay colas, el GoS puede ser que no más de 1 llamada entre 100 sea bloqueada (es decir, rechazada) debido a que todos los circuitos están en uso (un GoS de 0,01), lo que se convierte en la probabilidad objetivo. de bloqueo de llamadas, P _b , cuando se utiliza la fórmula Erlang B.

Hay varias fórmulas resultantes, incluidas Erlang B, Erlang C y la fórmula Engset relacionada , basadas en diferentes modelos de comportamiento del usuario y operación del sistema. Cada uno de ellos puede derivarse mediante un caso especial de procesos de Markov de tiempo continuo conocido como proceso de nacimiento-muerte . El método Extended Erlang B más reciente proporciona una solución de tráfico adicional que se basa en los resultados de Erlang.

Calcular el tráfico ofrecido

El tráfico ofrecido (en erlangs) está relacionado con la tasa de llegada de llamadas , λ , y el tiempo promedio de retención de llamadas (el tiempo promedio de una llamada telefónica), h , por:

${\displaystyle E=\lambda h}$

siempre que h y λ se expresen utilizando las mismas unidades de tiempo (segundos y llamadas por segundo, o minutos y llamadas por minuto).

La medición práctica del tráfico se basa normalmente en observaciones continuas durante varios días o semanas, durante las cuales el tráfico instantáneo se registra a intervalos cortos y regulares (por ejemplo, cada pocos segundos). Estas mediciones se utilizan luego para calcular un resultado único, más comúnmente el tráfico de la hora punta (en erlangs). Este es el número promedio de llamadas simultáneas durante un período determinado de una hora del día, donde ese período se selecciona para dar el resultado más alto. (Este resultado se denomina tráfico de hora punta consistente en el tiempo). Una alternativa es calcular un valor de tráfico en hora punta por separado para cada día (que puede corresponder a horas ligeramente diferentes cada día) y tomar el promedio de estos valores. Esto generalmente da un valor ligeramente mayor que el valor de hora punta consistente en el tiempo.

Cuando el tráfico cursado existente en hora cargada, E _c , se mide en un sistema ya sobrecargado, con un nivel significativo de bloqueo, es necesario tener en cuenta las llamadas bloqueadas al estimar el tráfico ofrecido en hora cargada E _o (que es el valor de tráfico que se utilizará en las fórmulas de Erlang). El tráfico ofrecido se puede estimar mediante E _o = E _c /(1 −  P _b ). Para este propósito, cuando el sistema incluye un medio para contar las llamadas bloqueadas y las llamadas exitosas, P _b puede estimarse directamente a partir de la proporción de llamadas que están bloqueadas. De no ser así, P _b se puede estimar usando E _c en lugar de E _o en la fórmula de Erlang y la estimación resultante de P _b se puede usar en E _o = E _c /(1 −  P _b ) para proporcionar una primera estimación. de E _o .

Otro método para estimar E _o en un sistema sobrecargado es medir la tasa de llegada de llamadas en hora punta, λ (contando las llamadas exitosas y las llamadas bloqueadas), y el tiempo promedio de espera de llamadas (para llamadas exitosas), h , y luego estimar E _o usando la fórmula E = λh .

Para una situación en la que el tráfico a manejar es tráfico completamente nuevo, la única opción es intentar modelar el comportamiento esperado del usuario. Por ejemplo, se podría estimar la población de usuarios activos, N , el nivel esperado de uso, U (número de llamadas/transacciones por usuario por día), el factor de concentración en la hora punta, C (proporción de actividad diaria que caerá en la hora punta). y tiempo medio de retención/tiempo de servicio, h (expresado en minutos). Una proyección del tráfico ofrecido en la hora punta sería entonces E _o =NUC/60herlangs  . (La división por 60 traduce la tasa de llegada de llamadas/transacciones en horas pico a un valor por minuto, para que coincida con las unidades en las que se expresa h .)

Fórmula Erlang B

La fórmula de Erlang B (o Erlang-B con un guión), también conocida como fórmula de pérdida de Erlang , es una fórmula para la probabilidad de bloqueo que describe la probabilidad de pérdidas de llamadas para un grupo de recursos paralelos idénticos (líneas telefónicas, circuitos, tráfico canales, o equivalente), a veces denominada cola M/M/c/c . ^[5] Se utiliza, por ejemplo, para dimensionar los enlaces de una red telefónica. La fórmula fue deducida por Agner Krarup Erlang y no se limita a las redes telefónicas, ya que describe una probabilidad en un sistema de cola (aunque es un caso especial con varios servidores pero sin espacio en la cola para que las llamadas entrantes esperen a un servidor libre). Por lo tanto, la fórmula también se utiliza en ciertos sistemas de inventario con pérdida de ventas.

La fórmula se aplica con la condición de que una llamada fallida, debido a que la línea está ocupada, no se ponga en cola ni se vuelva a intentar, sino que desaparezca para siempre. Se supone que los intentos de llamada llegan siguiendo un proceso de Poisson , por lo que los instantes de llegada de la llamada son independientes. Además, se supone que las longitudes de los mensajes (tiempos de espera) están distribuidas exponencialmente (sistema Markoviano), aunque la fórmula resulta aplicable bajo distribuciones generales de tiempos de espera.

La fórmula de Erlang B supone una población infinita de fuentes (como suscriptores telefónicos), que ofrecen conjuntamente tráfico a N servidores (como líneas telefónicas). La tasa que expresa la frecuencia con la que llegan nuevas llamadas, λ, (tasa de natalidad, intensidad del tráfico, etc.) es constante y no depende del número de fuentes activas. Se supone que el número total de fuentes es infinito. La fórmula de Erlang B calcula la probabilidad de bloqueo de un sistema de pérdida sin buffer, donde una solicitud que no se atiende inmediatamente se cancela, lo que hace que ninguna solicitud quede en cola. El bloqueo se produce cuando llega una nueva solicitud en un momento en el que todos los servidores disponibles están ocupados. La fórmula también supone que el tráfico bloqueado se elimina y no regresa.

La fórmula proporciona el GoS ( grado de servicio ), que es la probabilidad P _b de que una nueva llamada que llega al grupo de recursos sea rechazada porque todos los recursos (servidores, líneas, circuitos) están ocupados: B ( E , m ) donde E es el Tráfico total ofrecido en erlang, ofrecido a m recursos paralelos idénticos (servidores, canales de comunicación, carriles de tráfico).

${\displaystyle P_{b}=B(E,m)={\frac {\frac {E^{m}}{m!}}{\sum _{i=0}^{m}{\frac {E^{i}}{i!}}}}}$

dónde:

• ${\displaystyle P_{b}}$es la probabilidad de bloquear
• m es el número de recursos paralelos idénticos, como servidores, líneas telefónicas, etc.
• E = λh es la carga de ingreso normalizada (tráfico ofrecido expresado en erlang).

Nota: El erlang es una unidad de carga adimensional calculada como la tasa media de llegada, λ, multiplicada por el tiempo medio de retención de llamadas, h . Consulte la ley de Little para demostrar que la unidad erlang debe ser adimensional para que la ley de Little sea dimensionalmente sensata.

Esto puede expresarse recursivamente ^[6] de la siguiente manera, en una forma que se utiliza para simplificar el cálculo de tablas de la fórmula de Erlang B:

${\displaystyle B(E,0)=1.\,}$

${\displaystyle B(E,j)={\frac {EB(E,j-1)}{EB(E,j-1)+j}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

Normalmente, en lugar de B ( E , m ) se calcula la inversa 1/ B ( E , m ) en cálculo numérico para garantizar la estabilidad numérica :

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,0)}}=1}$

${\displaystyle {\frac {1}{B(E,j)}}=1+{\frac {j}{E}}{\frac {1}{B(E,j-1)}}\ \forall {j}=1,2,\ldots ,m.}$

Función ErlangB ( E como doble , m como entero ) como doble tenue InvB como doble tenue j como entero                  InvB = 1,0 Para j = 1 To m InvB = 1,0 + InvB * j / E Siguiente j ErlangB = 1,0 / InvB Función final                          

o una versión de Python

def  erlang_b ( E ,  m ):  inv_b  =  1,0  para  j  en  el rango ( 1 , m + 1 ):  inv_b  =  1,0  +  inv_b  *  j  /  E  devuelve  1,0  /  inv_b

La fórmula de Erlang B es decreciente y convexa en m . ^[7] Requiere que las llegadas de llamadas puedan modelarse mediante un proceso de Poisson , que no siempre es una buena coincidencia, pero es válido para cualquier distribución estadística de tiempos de espera de llamadas con una media finita. Se aplica a los sistemas de transmisión de tráfico que no amortiguan el tráfico. Ejemplos más modernos en comparación con POTS donde Erlang B todavía es aplicable son la conmutación de ráfagas ópticas (OBS) y varios enfoques actuales para la conmutación óptica de paquetes (OPS). Erlang B fue desarrollado como una herramienta de dimensionamiento de troncales para redes telefónicas con tiempos de ocupación en el rango de minutos, pero al ser una ecuación matemática se aplica en cualquier escala de tiempo.

Erlang B extendido

Erlang B extendido se diferencia de los supuestos clásicos de Erlang-B al permitir que una proporción de personas bloqueadas vuelvan a intentarlo, lo que provoca un aumento en el tráfico ofrecido desde el nivel inicial. Es un cálculo iterativo en lugar de una fórmula y agrega un parámetro adicional, el factor de recuperación , que define los intentos de recuperación. ^[8] ${\displaystyle R_{f}}$

Los pasos del proceso son los siguientes. ^[9] Comienza en la iteración con un nivel de referencia inicial conocido de tráfico , que se ajusta sucesivamente para calcular una secuencia de nuevos valores de tráfico ofrecido , cada uno de los cuales tiene en cuenta los retiros que surgen del tráfico ofrecido calculado previamente . ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle E_{k+1}}$ ${\displaystyle E_{k}}$

1. Calcule la probabilidad de que una persona que llama sea bloqueada en su primer intento.

${\displaystyle P_{b}=B(E_{k},m)\,}$

como arriba para Erlang B.

2. Calcula el número probable de llamadas bloqueadas.

${\displaystyle B_{e}=E_{k}P_{b}\,}$

3. Calcule el número de retiros, suponiendo un factor de retiro fijo , ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R_{f}}$

${\displaystyle R=B_{e}R_{f}\,}$

4. Calcule el nuevo tráfico ofrecido.

${\displaystyle E_{k+1}=E_{0}+R\,}$

¿ Dónde está el nivel de tráfico inicial (línea de base)? ${\displaystyle E_{0}}$

5. Regrese al paso 1, sustituyendo y repita hasta obtener un valor estable de. ${\displaystyle E_{k+1}}$ ${\displaystyle E_{k}}$ ${\displaystyle E}$

Una vez que se ha encontrado un valor satisfactorio de , la probabilidad de bloqueo y el factor de recuperación se pueden utilizar para calcular la probabilidad de que se pierdan todos los intentos de una persona que llama, no sólo su primera llamada sino también los reintentos posteriores. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P_{b}}$

Fórmula de Erlang C

La fórmula de Erlang C expresa la probabilidad de que un cliente que llegue deba hacer cola (en lugar de ser atendido inmediatamente). ^[10] Al igual que la fórmula de Erlang B, Erlang C supone una población infinita de fuentes, que ofrecen conjuntamente tráfico de erlangs a los servidores. Sin embargo, si todos los servidores están ocupados cuando llega una solicitud de una fuente, la solicitud se pone en cola. De esta manera se puede mantener en la cola un número ilimitado de solicitudes simultáneamente. Esta fórmula calcula la probabilidad de poner en cola el tráfico ofrecido, asumiendo que las llamadas bloqueadas permanecen en el sistema hasta que puedan ser atendidas. Esta fórmula se utiliza para determinar la cantidad de agentes o representantes de servicio al cliente necesarios para dotar de personal a un centro de llamadas , para una probabilidad específica deseada de hacer cola. Sin embargo, la fórmula de Erlang C supone que las personas que llaman nunca cuelgan mientras están en la cola, lo que hace que la fórmula prediga que se deben utilizar más agentes de los que realmente se necesitan para mantener el nivel de servicio deseado. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle P_{w}={{{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{m-E}}} \over \left(\sum \limits _{i=0}^{m-1}{\frac {E^{i}}{i!}}\right)+{\frac {E^{m}}{m!}}{\frac {m}{m-E}}}\,}$

dónde:

• ${\displaystyle E}$es el tráfico total ofrecido en unidades de erlangs
• ${\displaystyle m}$es el número de servidores
• ${\displaystyle P_{w}}$es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar para recibir servicio.

Se supone que las llegadas de llamadas se pueden modelar mediante un proceso de Poisson y que los tiempos de espera de las llamadas se describen mediante una distribución exponencial ; por lo tanto, la fórmula de Erlang C se deriva de los supuestos del modelo de cola M/M/c .

Limitaciones de la fórmula de Erlang

Cuando Erlang desarrolló las ecuaciones de tráfico de Erlang-B y Erlang-C, se basaron en un conjunto de suposiciones. Estas suposiciones son precisas en la mayoría de las condiciones; sin embargo, en caso de una congestión de tráfico extremadamente alta, las ecuaciones de Erlang no logran predecir con precisión el número correcto de circuitos necesarios debido al tráfico reentrante. Esto se denomina sistema de altas pérdidas , donde la congestión genera más congestión en las horas pico. En tales casos, primero es necesario disponer de muchos circuitos adicionales para poder aliviar las elevadas pérdidas. Una vez que se haya tomado esta medida, la congestión volverá a niveles razonables y las ecuaciones de Erlang podrán usarse para determinar exactamente cuántos circuitos se necesitan realmente. ^[11]

Un ejemplo de un caso que causaría el desarrollo de un sistema de alta pérdida sería si un anuncio en televisión anunciara un número de teléfono en particular al que llamar a una hora específica. En este caso, un gran número de personas llamarían simultáneamente al número indicado. Si el proveedor de servicios no hubiera atendido este repentino pico de demanda, se desarrollaría una congestión de tráfico extrema y no se podrían utilizar las ecuaciones de Erlang. ^[11]

Ver también

• Eficiencia espectral del sistema (discutiendo la capacidad de la red celular en Erlang/MHz/celda)
• AK Erlang
• Centro de llamadas
• Simulación de eventos discretos
• fórmula engset
• lenguaje de programación erlang
• Distribución de Erlang
• ley de poco
• distribución de veneno
• Mezcla de tráfico

Referencias

1. "¿Cuántos? Diccionario de unidades de medida". Archivado desde el original el 18 de junio de 2017 . Consultado el 20 de abril de 2008 .
2. Freeman, Roger L. (2005). Fundamentos de las Telecomunicaciones . Juan Wiley. pag. 57.ISBN _ 978-0471710455.
3. "Tráfico gestionado en un circuito o grupo de circuitos", CCIF - XIV Asamblea Plenaria , Montreux, 26 a 31 de octubre: Comité Consultivo Telefónico Internacional, 1946, págs. 60 a 62, hdl : 11.1004/020.1000/4.237.43.en .1001{{citation}}: Mantenimiento CS1: ubicación ( enlace )
4. Brockmeyer, E.; Halstrom, HL; Jensen, Arne (1948), La vida y obra de AK Erlang (PDF) , Transacciones de la Academia Danesa de Ciencias Técnicas, vol. 2, Akademiet for de Tekniske Videnskaber, archivado desde el original (PDF) el 19 de julio de 2011^{: 19-22}
5. Allen, Arnold (1978). Probabilidad, estadística y teoría de colas: con aplicaciones informáticas . Nueva York: Academic Press. pag. 184.ISBN _ 978-0120510504.
6. Guoping Zeng (junio de 2003), "Dos propiedades comunes de la función erlang-B, la función erlang-C y la función de bloqueo Engset", Modelado matemático e informático , Elsevier Science, 37 (12-13): 1287-1296, doi : 10.1016/S0895-7177(03)90040-9
7. Messerli, EJ, 1972. 'Prueba de una propiedad de convexidad de la fórmula de Erlang B'. Revista técnica de Bell System 51, 951–953.
8. 'Diseño de redes de voz óptimas para empresas, gobiernos y compañías telefónicas' por J. Jewett, J. Shrago, B. Yomtov, TelCo Research, Chicago, 1980.
9. Inayatullah, M., Ullah, FK, Khan., AN, 'An Automated Grade Of Service Measurement System', IEEE — ICET 2006, segunda conferencia internacional sobre tecnologías emergentes, Peshawar, Pakistán, 13 y 14 de noviembre de 2006, págs. 237
10. Kleinrock, Leonard (1975). Sistemas de colas Volumen 1: Teoría . pag. 103.ISBN _ 978-0471491101.
11. "Kennedy I., Escuela de Ingeniería Eléctrica y de la Información, Universidad de Witwatersrand, Comunicación personal". Archivado desde el original el 1 de mayo de 2003 . Consultado el 1 de octubre de 2017 .

Otras lecturas

• «Solución de algunos Problemas de la Teoría de Probabilidades de Significancia en Centrales Telefónicas Automáticas» (PDF) . Elektrotkeknikeren . 13 : 5. 1917. Archivado desde el original (PDF) el 19 de julio de 2011.