Gavilla equivariante

En matemáticas, dada una acción de un esquema de grupo G sobre un esquema X sobre un esquema base S , un haz equivariante F sobre X es un haz de -módulos junto con el isomorfismo de -módulos ${\displaystyle \sigma :G\times _{S}X\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{G\times _{S}X}}$

${\displaystyle \phi :\sigma ^{*}F\xrightarrow {\simeq } p_{2}^{*}F}$  

que satisface la condición del cociclo: ^{[1] [2]} escribiendo m para la multiplicación,

${\displaystyle p_{23}^{*}\phi \circ (1_{G}\times \sigma )^{*}\phi =(m\times 1_{X})^{*}\phi }$.

Notas sobre la definición

En el nivel del tallo, la condición del cociclo dice que el isomorfismo es lo mismo que la composición , es decir, la asociatividad de la acción del grupo. La condición de que la unidad del grupo actúe como identidad también es una consecuencia: se aplica a ambos lados para obtener y así es la identidad. ${\displaystyle F_{gh\cdot x}\simeq F_{x}}$ ${\displaystyle F_{g\cdot h\cdot x}\simeq F_{h\cdot x}\simeq F_{x}}$ ${\displaystyle (e\times e\times 1)^{*},e:S\to G}$ ${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi \circ (e\times 1)^{*}\phi =(e\times 1)^{*}\phi }$ ${\displaystyle (e\times 1)^{*}\phi }$

Nótese que es un dato adicional; es "una elevación" de la acción de G sobre X al haz F . Además, cuando G es un grupo algebraico conexo, F un haz invertible y X se reduce, la condición de cociclo es automática: cualquier isomorfismo satisface automáticamente la condición de cociclo (este hecho se señala al final de la prueba del Cap. 1, § 3., Proposición 1.5. de la "teoría del invariante geométrico" de Mumford). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \sigma ^{*}F\simeq p_{2}^{*}F}$

Si la acción de G es libre, entonces la noción de haz equivariante se simplifica a un haz en el cociente X / G , debido al descenso a lo largo de torsors .

Por el lema de Yoneda , dar la estructura de un haz equivariante a un módulo F es lo mismo que dar homomorfismos de grupo para anillos R sobre , ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle G(R)\to \operatorname {Aut} (X\times _{S}\operatorname {Spec} R,F\otimes _{S}R)}$. ^[3]

También existe una definición de haces equivariantes en términos de haces simpliciales . Alternativamente, se puede definir un haz equivariante como un objeto equivariante en la categoría de, por ejemplo, haces coherentes.

Haces de líneas linealizados

Una estructura de un haz equivariante en un haz invertible o un fibrado lineal también se denomina linealización .

Sea X una variedad completa sobre un cuerpo algebraicamente cerrado actuado por un grupo reductivo conexo G y L un haz invertible sobre él. Si X es normal, entonces alguna potencia tensorial de L es linealizable. ^[4] ${\displaystyle L^{n}}$

Además, si L es muy amplia y linealizada, entonces existe una inmersión cerrada G -lineal desde X hasta tal que está linealizada y la linealización en L es inducida por la de . ^[5] ${\displaystyle \mathbf {P} ^{N}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{N}}(1)}$

Los productos tensoriales y las inversas de haces invertibles linealizados se linealizan de nuevo de forma natural. Así, las clases de isomorfismo de los haces invertibles linealizados en un esquema X forman un grupo abeliano. Existe un homomorfismo al grupo de Picard de X que olvida la linealización; este homomorfismo no es inyectivo ni sobreyectivo en general, y su núcleo puede identificarse con las clases de isomorfismo de las linealizaciones del fibrado lineal trivial.

Consulte el Ejemplo 2.16 de [1] para ver un ejemplo de una variedad para la cual la mayoría de los haces de líneas no son linealizables.

Doble acción sobre secciones de poleas equivariantes

Dado un grupo algebraico G y un haz G -equivariante F sobre X sobre un cuerpo k , sea el espacio de secciones globales. Entonces admite la estructura de un G -módulo; es decir, V es una representación lineal de G como sigue. Escribiendo para la acción del grupo, para cada g en G y v en V , sea ${\displaystyle V=\Gamma (X,F)}$ ${\displaystyle \sigma :G\times X\to X}$

${\displaystyle \pi (g)v=(\varphi \circ \sigma ^{*})(v)(g^{-1})}$

donde y es el isomorfismo dado por la estructura de haz equivariante en F . La condición de cociclo asegura entonces que es un homomorfismo de grupo (es decir, es una representación). ${\displaystyle \sigma ^{*}:V\to \Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F)}$ ${\displaystyle \varphi :\Gamma (G\times X,\sigma ^{*}F){\overset {\sim }{\to }}\Gamma (G\times X,p_{2}^{*}F)=k[G]\otimes _{k}V}$ ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle \pi }$

Ejemplo : tomemos y la acción de G sobre sí misma. Entonces , y ${\displaystyle X=G,F={\mathcal {O}}_{G}}$ ${\displaystyle \sigma =}$ ${\displaystyle V=k[G]}$ ${\displaystyle (\varphi \circ \sigma ^{*})(f)(g,h)=f(gh)}$

${\displaystyle (\pi (g)f)(h)=f(g^{-1}h)}$,

significado es la representación regular izquierda de G. ${\displaystyle \pi }$

La representación definida anteriormente es una representación racional : para cada vector v en V , existe un G -submódulo de dimensión finita de V que contiene a v . ^[6] ${\displaystyle \pi }$

Fibrado vectorial equivariante

Una definición más sencilla es la de un fibrado vectorial (es decir, una variedad correspondiente a un haz localmente libre de rango constante). Decimos que un fibrado vectorial E sobre una variedad algebraica X actuada por un grupo algebraico G es equivariante si G actúa en forma de fibra: es decir, es un isomorfismo "lineal" de espacios vectoriales. ^[7] En otras palabras, un fibrado vectorial equivariante es un par que consiste en un fibrado vectorial y la elevación de la acción a la de de modo que la proyección es equivariante. ${\displaystyle g:E_{x}\to E_{gx}}$ ${\displaystyle G\times X\to X}$ ${\displaystyle G\times E\to E}$ ${\displaystyle E\to X}$

Al igual que en el entorno no equivariante, se puede definir una clase característica equivariante de un haz vectorial equivariante.

Ejemplos

• El fibrado tangente de una variedad o variedad suave es un fibrado vectorial equivariante.
• El haz de formas diferenciales equivariantes .
• Sea G un grupo algebraico semisimple y λ:H→ C un carácter en un toro maximal H . Se extiende a un subgrupo de Borel λ:B→ C , dando una representación unidimensional W _λ de B . Entonces GxW _λ es un fibrado vectorial trivial sobre G sobre el que actúa B. El cociente L _λ =Gx _B W _λ por la acción de B es un fibrado lineal sobre la variedad bandera G/B . Nótese que G→G/B es un fibrado B , por lo que este es solo un ejemplo de la construcción de fibrado asociada. El teorema de Borel–Weil–Bott dice que todas las representaciones de G surgen como las cohomologías de tales fibrados lineales.
• Si X=Spec(A) es un esquema afín, una G _m -acción sobre X es lo mismo que una gradación Z sobre A. De manera similar, un haz cuasicoherente equivariante G _{m sobre} X es lo mismo que un módulo A con gradación Z. ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Teoría K algebraica equivariante
• Paquete equivariante
• Cohomología equivariante
• Pila de cocientes

Notas

1. MFK 1994, capítulo 1. § 3. Definición 1.6.
2. Gaitsgory 2005, § 6.
3. Thompson 1987, § 1.2.
4. MFK 1994, Cap. 1. § 3. Corolario 1.6.
5. MFK 1994, Cap. 1. § 3. Proposición 1.7.
6. MFK 1994, Cap. 1. § 1. el lema justo después de la Definición 1.3.
7. Si E se considera como un haz, entonces g debe reemplazarse por . ${\displaystyle g^{-1}}$

Referencias

• J. Bernstein, V. Lunts, "Hacerías y funtores equivariantes", Springer Lecture Notes in Math. 1578 (1994).
• Mumford, David; Fogarty, John; Kirwan, Frances (1994). Teoría de invariantes geométricos. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56963-3.Señor 1304906  .
• Gaitsgory, D. (2005). "Geometric Representation theory, Math 267y, otoño de 2005" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de enero de 2015.
• Thompson, RW (1987). "Teoría K algebraica de acciones de esquemas grupales". En Browser, William (ed.). Topología algebraica y teoría K algebraica: actas de una conferencia, 24-28 de octubre de 1983 en la Universidad de Princeton, dedicada a John C. Moore en su 60 cumpleaños . Vol. 113. Princeton, NJ: Princeton University Press. págs. 539-563. ISBN . 9780691084268.

Enlaces externos

• Haces equivariantes