Estabilidad lineal

En matemáticas, en la teoría de ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos , una solución particular estacionaria o cuasistacionaria de un sistema no lineal se denomina linealmente inestable si la linealización de la ecuación en esta solución tiene la forma , donde r es la perturbación al estado estacionario, A es un operador lineal cuyo espectro contiene valores propios con parte real positiva . Si todos los valores propios tienen parte real negativa , entonces la solución se denomina linealmente estable . Otros nombres para la estabilidad lineal incluyen estabilidad exponencial o estabilidad en términos de primera aproximación . ^{[1] [2]} Si existe un valor propio con parte real cero , entonces la cuestión sobre la estabilidad no se puede resolver sobre la base de la primera aproximación y nos acercamos al llamado "problema de centro y foco". ^[3] ${\displaystyle dr/dt=Ar}$

Ejemplos

Ecuación diferencial ordinaria

La ecuación diferencial tiene dos soluciones estacionarias (independientes del tiempo): x  = 0 y x  = 1. La linealización en x  = 0 tiene la forma . El operador linealizado es A ₀  = 1. El único valor propio es . Las soluciones de esta ecuación crecen exponencialmente; el punto estacionario x  = 0 es linealmente inestable. $${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x-x^{2}}$$ ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=x}$ ${\displaystyle \lambda =1}$

Para derivar la linealización en x = 1 , se escribe , donde r = x − 1. La ecuación linealizada es entonces ; el operador linealizado es A ₁ = −1 , el único valor propio es , por lo tanto, este punto estacionario es linealmente estable. ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=(1+r)-(1+r)^{2}=-r-r^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-r}$ ${\displaystyle \lambda =-1}$

Ecuación no lineal de Schrödinger

La ecuación no lineal de Schrödinger donde u ( x , t ) ∈ C y k > 0 , tiene soluciones de onda solitaria de la forma . ^[4] Para derivar la linealización en una onda solitaria, se considera la solución en la forma . La ecuación linealizada en está dada por donde con y los operadores diferenciales . Según el criterio de estabilidad de Vakhitov-Kolokolov , ^[5] cuando k > 2 , el espectro de A tiene valores propios puntuales positivos, de modo que la ecuación linealizada es linealmente (exponencialmente) inestable; para 0 < k ≤ 2 , el espectro de A es puramente imaginario, de modo que las ondas solitarias correspondientes son linealmente estables. $${\displaystyle i{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-|u|^{2k}u,}$$ ${\displaystyle \phi (x)e^{-i\omega t}}$ ${\displaystyle u(x,t)=(\phi (x)+r(x,t))e^{-i\omega t}}$ ${\displaystyle r(x,t)}$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}{\text{Re}}\,r\\{\text{Im}}\,r\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&L_{0}\\-L_{1}&0\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle L_{0}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-k\phi ^{2}-\omega }$$ $${\displaystyle L_{1}=-{\frac {\partial }{\partial x^{2}}}-(2k+1)\phi ^{2}-\omega }$$

Cabe mencionar que la estabilidad lineal no implica automáticamente estabilidad; en particular, cuando k = 2 , las ondas solitarias son inestables. Por otro lado, para 0 < k < 2 , las ondas solitarias no solo son linealmente estables sino también orbitalmente estables . ^[6]

Véase también

• Estabilidad asintótica
• Linealización (análisis de estabilidad)
• Estabilidad de Lyapunov
• Estabilidad orbital
• Teoría de la estabilidad
• Criterio de estabilidad de Vakhitov-Kolokolov

Referencias

1. VI Arnold, Ecuaciones diferenciales ordinarias. MIT Press, Cambridge, MA (1973)
2. P. Glendinning, Estabilidad, inestabilidad y caos: una introducción a la teoría de ecuaciones diferenciales no lineales. Cambridge University Press, 1994.
3. VV Nemytskii, VV Stepanov, "Teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales", Princeton Univ. Press (1960)
4. H. Berestycki y P.-L. Lions (1983). "Ecuaciones de campo escalares no lineales. I. Existencia de un estado fundamental". Arch. Rational Mech. Anal . 82 (4): 313–345. Bibcode :1983ArRMA..82..313B. doi :10.1007/BF00250555. S2CID  123081616.
5. NG Vakhitov y AA Kolokolov (1973). "Soluciones estacionarias de la ecuación de onda en el medio con saturación de no linealidad". Radiophys. Electron cuántico . 16 (7): 783–789. Bibcode :1973R&QE...16..783V. doi :10.1007/BF01031343. S2CID  123386885.
6. Manoussos Grillakis, Jalal Shatah y Walter Strauss (1987). "Teoría de la estabilidad de ondas solitarias en presencia de simetría". J. Funct. Anal . 74 : 160–197. doi : 10.1016/0022-1236(87)90044-9 .{{cite journal}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )