Aproximación de envolvente que varía lentamente

En física , la aproximación de envolvente de variación lenta ^[1] ( SVEA , a veces también llamada aproximación asimétrica de variación lenta o SVAA ) es la suposición de que la envolvente de un pulso de onda que viaja hacia adelante varía lentamente en el tiempo y el espacio en comparación con un período o longitud de onda . Esto requiere que el espectro de la señal sea de banda estrecha ; de ahí que también se la conozca como aproximación de banda estrecha .

La aproximación de envolvente de variación lenta se utiliza a menudo porque las ecuaciones resultantes son en muchos casos más fáciles de resolver que las ecuaciones originales, lo que reduce el orden de todas o algunas de las derivadas parciales de orden más alto . Pero es necesario justificar la validez de los supuestos que se hacen.

Ejemplo

Por ejemplo, considere la ecuación de ondas electromagnéticas :

$${\displaystyle \nabla ^{2}E-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial t^{2}}}=0\,,}$$

dónde ${\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}~.}$

Si k ₀ y ω ₀ son el número de onda y la frecuencia angular de la onda portadora (característica) de la señal E ( r , t ) , la siguiente representación es útil:

$${\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=\operatorname {\operatorname {Re} } \left[E_{0}(\mathbf {r} ,t)\,e^{i(\mathbf {k} _{0}\cdot \mathbf {r} -\omega _{0}t)}\right],}$$

donde denota la parte real de la cantidad entre paréntesis, y ${\displaystyle \operatorname {Re} [\,\cdot \,]}$ ${\displaystyle i^{2}\equiv -1.}$

En la aproximación de envolvente de variación lenta (SVEA), se supone que la amplitud compleja E ₀ ( r , t ) solo varía lentamente con r y t . Esto implica inherentemente que E ( r , t ) representa ondas que se propagan hacia adelante, predominantemente en la dirección k ₀ . Como resultado de la lenta variación de E ₀ ( r , t ) , al tomar derivadas, las derivadas de orden más alto pueden despreciarse: ^[2]

${\displaystyle \left|\nabla ^{2}E_{0}\right|\ll \left|\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}\right|}$  y con  ${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}E_{0}}{\partial t^{2}}}\right|\ll \left|\omega _{0}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}\right|,}$    ${\displaystyle k_{0}\equiv \left|\mathbf {k} _{0}\right|.}$

Aproximación completa

En consecuencia, la ecuación de onda se aproxima en el SVEA como:

$${\displaystyle 2i\mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+{\frac {2i\omega _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-\left(k_{0}^{2}-{\frac {\omega _{0}^{2}}{c^{2}}}\right)E_{0}=0~.}$$

Es conveniente elegir k ₀ y ω ₀ tales que satisfagan la relación de dispersión :

$${\displaystyle k_{0}^{2}-{\frac {\omega _{0}^{2}}{c^{2}}}=0~.}$$

Esto da la siguiente aproximación a la ecuación de onda, como resultado de la aproximación de la envolvente que varía lentamente:

$${\displaystyle \mathbf {k} _{0}\cdot \nabla E_{0}+{\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}\,{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}=0~.}$$

Esta es una ecuación diferencial parcial hiperbólica , como la ecuación de onda original, pero ahora de primer orden en lugar de segundo orden. Es válido para ondas coherentes que se propagan hacia adelante en direcciones cercanas a la dirección k ₀ . Las escalas de espacio y tiempo en las que varía E ₀ son generalmente mucho más largas que la longitud de onda espacial y el período temporal de la onda portadora. Por lo tanto, una solución numérica de la ecuación de la envolvente puede utilizar pasos de espacio y tiempo mucho mayores, lo que resulta en un esfuerzo computacional significativamente menor.

Aproximación parabólica

Supongamos que la propagación de ondas es predominantemente en la dirección z y que k ₀ se toma en esta dirección. El SVEA sólo se aplica a las derivadas espaciales de segundo orden en la dirección z y en el tiempo. Si es el operador de Laplace en el plano x × y , el resultado es: ^[3] ${\displaystyle \Delta _{\perp }\equiv \partial ^{2}/\partial x^{2}+\partial ^{2}/\partial y^{2}}$

$${\displaystyle k_{0}{\frac {\partial E_{0}}{\partial z}}+{\frac {\omega _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{0}}{\partial t}}-{\frac {1}{2}}\,i\,\Delta _{\perp }E_{0}=0~.}$$

Esta es una ecuación diferencial parcial parabólica . Esta ecuación tiene mayor validez en comparación con la SVEA completa: representa ondas que se propagan en direcciones significativamente diferentes de la dirección z .

Límite de validez alternativo

En el caso unidimensional, otra condición suficiente para la validez de SVEA es

${\displaystyle \ell _{\mathsf {g}}\gg \lambda }$  y con  ${\displaystyle \ell _{\mathsf {p}}\gg \lambda \left(1-{\frac {v}{c}}\right)\,,}$    ${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k_{0}}}\,,}$

donde es la longitud sobre la cual se amplifica el pulso de radiación, es el ancho del pulso y es la velocidad de grupo del sistema radiante. ^[4] ${\displaystyle \ell _{\mathsf {g}}}$ ${\displaystyle \ell _{\mathsf {p}}}$ ${\displaystyle v}$

Estas condiciones son mucho menos restrictivas en el límite relativista donde está cerca de 1, como en un láser de electrones libres , en comparación con las condiciones habituales requeridas para la validez de SVEA. ${\displaystyle {\frac {v}{c}}}$

Ver también

• Pulso ultracorto
• aproximación WKB

Referencias

1. Arecchi, F.; Bonifacio, R. (1965). "Teoría de los amplificadores máser ópticos". Revista IEEE de Electrónica Cuántica . 1 (4): 169-178. Código bibliográfico : 1965IJQE....1..169A. doi :10.1109/JQE.1965.1072212.
2. Carnicero, Paul N.; Cotter, David (1991). Los elementos de la óptica no lineal (reimpresión ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 216.ISBN​ 0-521-42424-0.
3. Svelto, Orazio (1974). "Autoenfoque, autoatrapamiento y modulación de autofase de rayos láser". En Wolf, Emil (ed.). Progresos en Óptica . vol. 12. Holanda del Norte . págs. 23-25. ISBN 0-444-10571-9.
4. Bonifacio, R.; Caloi, RM; Maroli, C. (1993). "Revisión de la aproximación de la envolvente que varía lentamente". Comunicaciones Ópticas . 101 (3–4): 185–187. Código Bib : 1993OptCo.101..185B. doi :10.1016/0030-4018(93)90363-A.