Concordancia de enlaces

Relación de equivalencia de enlace más débil que la isotopía pero más fuerte que la homotopía

En matemáticas , dos enlaces y son concordantes si existe una incrustación tal que y . ${\displaystyle L_{0}\subset S^{n}}$ ${\displaystyle L_{1}\subset S^{n}}$ ${\displaystyle f:L_{0}\times [0,1]\to S^{n}\times [0,1]}$ ${\displaystyle f(L_{0}\times \{0\})=L_{0}\times \{0\}}$ ${\displaystyle f(L_{0}\times \{1\})=L_{1}\times \{1\}}$

Por su naturaleza, la concordancia de enlace es una relación de equivalencia . Es más débil que la isotopía y más fuerte que la homotopía : la isotopía implica concordancia, lo que implica homotopía. Un enlace es un enlace de corte si es concordante con el desenlace .

Invariantes de concordancia

Una función de un enlace que es invariante bajo concordancia se denomina invariante de concordancia .

El número de enlace de dos componentes cualesquiera de un enlace es uno de los invariantes de concordancia más elementales. La firma de un nudo también es un invariante de concordancia. Un invariante de concordancia más sutil son los invariantes de Milnor y, de hecho, todos los invariantes de concordancia de tipo finito racional son invariantes de Milnor y sus productos, ^[1] aunque existen invariantes de concordancia de tipo no finito.

Dimensiones superiores

Se puede definir análogamente la concordancia para dos subvariedades cualesquiera . En este caso se consideran dos subvariedades concordantes si existe un cobordismo entre ellas , es decir, si existe una variedad con borde cuyo borde consiste en y ${\displaystyle M_{0},M_{1}\subset N}$ ${\displaystyle N\times [0,1],}$ ${\displaystyle W\subset N\times [0,1]}$ ${\displaystyle M_{0}\times \{0\}}$ ${\displaystyle M_{1}\times \{1\}.}$

Esta concordancia de dimensiones superiores es una forma relativa de cobordismo: requiere que dos subvariedades no sólo sean cobordantes de manera abstracta, sino "cobordantes en N ".

Véase también

• Nudo de rebanada

Referencias

1. Habegger, Nathan; Masbaum, Gregor (2000), "La integral de Kontsevich y los invariantes de Milnor", Topología , 39 (6): 1253–1289, doi : 10.1016/S0040-9383(99)00041-5

Lectura adicional

• J. Hillman, Invariantes algebraicos de enlaces. Serie sobre nudos y todo lo demás. Vol 32. World Scientific.
• Livingston, Charles, Un estudio de la concordancia clásica de nudos, en: Handbook of knot theory , pp 319–347, Elsevier , Amsterdam, 2005. MR 2179265 ISBN 0-444-51452-X