Descomposición generalizada en valores singulares

Nombre de dos técnicas diferentes basadas en la descomposición en valores singulares

En álgebra lineal , la descomposición en valores singulares generalizada ( GSVD ) es el nombre de dos técnicas diferentes basadas en la descomposición en valores singulares (SVD) . Las dos versiones difieren porque una versión descompone dos matrices (de manera similar a la SVD de orden superior o tensorial ) y la otra versión utiliza un conjunto de restricciones impuestas sobre los vectores singulares izquierdo y derecho de una SVD de matriz única.

Primera versión: descomposición en dos matrices

La descomposición en valores singulares generalizada ( GSVD ) es una descomposición matricial en un par de matrices que generaliza la descomposición en valores singulares . Fue introducida por Van Loan ^[1] en 1976 y desarrollada posteriormente por Paige y Saunders , ^[2] que es la versión descrita aquí. A diferencia de la SVD, la GSVD descompone simultáneamente un par de matrices con el mismo número de columnas. La SVD y la GSVD, así como algunas otras posibles generalizaciones de la SVD, ^{[3] [4] [5]} se utilizan ampliamente en el estudio del condicionamiento y regularización de sistemas lineales con respecto a seminormas cuadráticas . En lo que sigue, sea , o . ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }$

Definición

La descomposición en valores singulares generalizada de matrices y es donde ${\displaystyle A_{1}\in \mathbb {F} ^{m_{1}\times n}}$ ${\displaystyle A_{2}\in \mathbb {F} ^{m_{2}\times n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=U_{1}\Sigma _{1}[W^{*}D,0_{D}]Q^{*},\\A_{2}&=U_{2}\Sigma _{2}[W^{*}D,0_{D}]Q^{*},\end{aligned}}}$$

• ${\displaystyle U_{1}\in \mathbb {F} ^{m_{1}\times m_{1}}}$es unitario ,
• ${\displaystyle U_{2}\in \mathbb {F} ^{m_{2}\times m_{2}}}$es unitario,
• ${\displaystyle Q\in \mathbb {F} ^{n\times n}}$es unitario,
• ${\displaystyle W\in \mathbb {F} ^{k\times k}}$es unitario,
• ${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{k\times k}}$es una diagonal real con diagonal positiva y contiene los valores singulares distintos de cero de en orden decreciente, ${\displaystyle C={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle 0_{D}=0\in \mathbb {R} ^{k\times (n-k)}}$,
• ${\displaystyle \Sigma _{1}=\lceil I_{A},S_{1},0_{A}\rfloor \in \mathbb {R} ^{m_{1}\times k}}$es una diagonal de bloque real no negativa , donde con , , y , ${\displaystyle S_{1}=\lceil \alpha _{r+1},\dots ,\alpha _{r+s}\rfloor }$ ${\displaystyle 1>\alpha _{r+1}\geq \cdots \geq \alpha _{r+s}>0}$ ${\displaystyle I_{A}=I_{r}}$ ${\displaystyle 0_{A}=0\in \mathbb {R} ^{(m_{1}-r-s)\times (k-r-s)}}$
• ${\displaystyle \Sigma _{2}=\lceil 0_{B},S_{2},I_{B}\rfloor \in \mathbb {R} ^{m_{2}\times k}}$es una diagonal en bloque real no negativa, donde con , , y , ${\displaystyle S_{2}=\lceil \beta _{r+1},\dots ,\beta _{r+s}\rfloor }$ ${\displaystyle 0<\beta _{r+1}\leq \cdots \leq \beta _{r+s}<1}$ ${\displaystyle I_{B}=I_{k-r-s}}$ ${\displaystyle 0_{B}=0\in \mathbb {R} ^{(m_{2}-k+r)\times r}}$
• ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}=\lceil \alpha _{1}^{2},\dots ,\alpha _{k}^{2}\rfloor }$,
• ${\displaystyle \Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2}=\lceil \beta _{1}^{2},\dots ,\beta _{k}^{2}\rfloor }$,
• ${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}+\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2}=I_{k}}$,
• ${\displaystyle k={\textrm {rank}}(C)}$.

Denotamos , , , y . Si bien es diagonal, no siempre es diagonal, debido a la matriz cero rectangular principal; en cambio, es "diagonal inferior derecha". ${\displaystyle \alpha _{1}=\cdots =\alpha _{r}=1}$ ${\displaystyle \alpha _{r+s+1}=\cdots =\alpha _{k}=0}$ ${\displaystyle \beta _{1}=\cdots =\beta _{r}=0}$ ${\displaystyle \beta _{r+s+1}=\cdots =\beta _{k}=1}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$

Variaciones

Existen muchas variaciones de la GSVD. Estas variaciones están relacionadas con el hecho de que siempre es posible multiplicar desde la izquierda por donde es una matriz unitaria arbitraria. Denotamos ${\displaystyle Q^{*}}$ ${\displaystyle EE^{*}=I}$ ${\displaystyle E\in \mathbb {F} ^{n\times n}}$

• ${\displaystyle X=([W^{*}D,0_{D}]Q^{*})^{*}}$
• ${\displaystyle X^{*}=[0,R]{\hat {Q}}^{*}}$, donde es triangular superior e invertible, y es unitaria. Dichas matrices existen mediante descomposición RQ . ${\displaystyle R\in \mathbb {F} ^{k\times k}}$ ${\displaystyle {\hat {Q}}\in \mathbb {F} ^{n\times n}}$
• ${\displaystyle Y=W^{*}D}$. Entonces es invertible. ${\displaystyle Y}$

A continuación se muestran algunas variaciones del GSVD:

• MATLAB (gsvd): $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=U_{1}\Sigma _{1}X^{*},\\A_{2}&=U_{2}\Sigma _{2}X^{*}.\end{aligned}}}$$
• Paquete LA (LA_GGSVD): $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=U_{1}\Sigma _{1}[0,R]{\hat {Q}}^{*},\\A_{2}&=U_{2}\Sigma _{2}[0,R]{\hat {Q}}^{*}.\end{aligned}}}$$
• Simplificado: $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{1}&=U_{1}\Sigma _{1}[Y,0_{D}]Q^{*},\\A_{2}&=U_{2}\Sigma _{2}[Y,0_{D}]Q^{*}.\end{aligned}}}$$

Valores singulares generalizados

Un valor singular generalizado de y es un par tal que ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\delta \to 0}\det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2}+\delta I_{n})/\det(\delta I_{n-k})&=0,\\a^{2}+b^{2}&=1,\\a,b&\geq 0.\end{aligned}}}$$Tenemos

• ${\displaystyle A_{i}A_{j}^{*}=U_{i}\Sigma _{i}YY^{*}\Sigma _{j}^{*}U_{j}^{*}}$
• ${\displaystyle A_{i}^{*}A_{j}=Q{\begin{bmatrix}Y^{*}\Sigma _{i}^{*}\Sigma _{j}Y&0\\0&0\end{bmatrix}}Q^{*}=Q_{1}Y^{*}\Sigma _{i}^{*}\Sigma _{j}YQ_{1}^{*}}$

Por estas propiedades podemos demostrar que los valores singulares generalizados son exactamente los pares . Tenemos Por lo tanto ${\displaystyle (\alpha _{i},\beta _{i})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2}+\delta I_{n})\\=&\det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2}+\delta QQ^{*})\\=&\det \left(Q{\begin{bmatrix}Y^{*}(b^{2}\Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}-a^{2}\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2})Y+\delta I_{k}&0\\0&\delta I_{n-k}\end{bmatrix}}Q^{*}\right)\\=&\det(\delta I_{n-k})\det(Y^{*}(b^{2}\Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}-a^{2}\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2})Y+\delta I_{k}).\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}&\lim _{\delta \to 0}\det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2}+\delta I_{n})/\det(\delta I_{n-k})\\=&\lim _{\delta \to 0}\det(Y^{*}(b^{2}\Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}-a^{2}\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2})Y+\delta I_{k})\\=&\det(Y^{*}(b^{2}\Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}-a^{2}\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2})Y)\\=&|\det(Y)|^{2}\prod _{i=1}^{k}(b^{2}\alpha _{i}^{2}-a^{2}\beta _{i}^{2}).\end{aligned}}}$

Esta expresión es cero exactamente cuando y para algún . ${\displaystyle a=\alpha _{i}}$ ${\displaystyle b=\beta _{i}}$ ${\displaystyle i}$

En ^[2] se afirma que los valores singulares generalizados son aquellos que resuelven . Sin embargo, esta afirmación solo se cumple cuando , ya que de lo contrario el determinante es cero para cada par ; esto se puede ver sustituyendo arriba. ${\displaystyle \det(b^{2}A_{1}^{*}A_{1}-a^{2}A_{2}^{*}A_{2})=0}$ ${\displaystyle k=n}$ ${\displaystyle (a,b)\in \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \delta =0}$

Inversa generalizada

Defina para cualquier matriz invertible , para cualquier matriz cero , y para cualquier matriz diagonal en bloques. Luego defina Se puede demostrar que como se define aquí es una inversa generalizada de ; en particular, una -inversa de . Dado que en general no satisface , esta no es la inversa de Moore-Penrose ; de lo contrario, podríamos derivar para cualquier elección de matrices, lo que solo se cumple para cierta clase de matrices . ${\displaystyle E^{+}=E^{-1}}$ ${\displaystyle E\in \mathbb {F} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle 0^{+}=0^{*}}$ ${\displaystyle 0\in \mathbb {F} ^{m\times n}}$ ${\displaystyle \left\lceil E_{1},E_{2}\right\rfloor ^{+}=\left\lceil E_{1}^{+},E_{2}^{+}\right\rfloor }$ $${\displaystyle A_{i}^{+}=Q{\begin{bmatrix}Y^{-1}\\0\end{bmatrix}}\Sigma _{i}^{+}U_{i}^{*}}$$ ${\displaystyle A_{i}^{+}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle (A_{i}^{+}A_{i})^{*}=A_{i}^{+}A_{i}}$ ${\displaystyle (AB)^{+}=B^{+}A^{+}}$

Supongamos que , donde y . Esta inversa generalizada tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}Q_{1}&Q_{2}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle Q_{1}\in \mathbb {F} ^{n\times k}}$ ${\displaystyle Q_{2}\in \mathbb {F} ^{n\times (n-k)}}$

• ${\displaystyle \Sigma _{1}^{+}=\lceil I_{A},S_{1}^{-1},0_{A}^{T}\rfloor }$
• ${\displaystyle \Sigma _{2}^{+}=\lceil 0_{B}^{T},S_{2}^{-1},I_{B}\rfloor }$
• ${\displaystyle \Sigma _{1}\Sigma _{1}^{+}=\lceil I,I,0\rfloor }$
• ${\displaystyle \Sigma _{2}\Sigma _{2}^{+}=\lceil 0,I,I\rfloor }$
• ${\displaystyle \Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}=\lceil 0,S_{1}S_{2}^{-1},0\rfloor }$
• ${\displaystyle \Sigma _{1}^{+}\Sigma _{2}=\lceil 0,S_{1}^{-1}S_{2},0\rfloor }$
• ${\displaystyle A_{i}A_{j}^{+}=U_{i}\Sigma _{i}\Sigma _{j}^{+}U_{j}^{*}}$
• ${\displaystyle A_{i}^{+}A_{j}=Q{\begin{bmatrix}Y^{-1}\Sigma _{i}^{+}\Sigma _{j}Y&0\\0&0\end{bmatrix}}Q^{*}=Q_{1}Y^{-1}\Sigma _{i}^{+}\Sigma _{j}YQ_{1}^{*}}$

Cociente SVD

Una razón singular generalizada de y es . Por las propiedades anteriores, . Nótese que es diagonal, y que, ignorando los ceros iniciales, contiene las razones singulares en orden decreciente. Si es invertible, entonces no tiene ceros iniciales, y las razones singulares generalizadas son los valores singulares, y y son las matrices de vectores singulares, de la matriz . De hecho, calcular la SVD de es una de las motivaciones para la GSVD, ya que "formar y encontrar su SVD puede conducir a errores numéricos innecesarios y grandes cuando está mal condicionado para la solución de ecuaciones". ^[2] De ahí el nombre usado a veces "SVD del cociente", aunque esta no es la única razón para usar GSVD. Si no es invertible, entonces sigue siendo la SVD de si relajamos el requisito de tener los valores singulares en orden decreciente. Alternativamente, una SVD de orden decreciente se puede encontrar moviendo los ceros iniciales hacia atrás: , donde y son matrices de permutación apropiadas. Dado que el rango es igual al número de valores singulares distintos de cero, . ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}=\alpha _{i}\beta _{i}^{+}}$ ${\displaystyle A_{1}A_{2}^{+}=U_{1}\Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}U_{2}^{*}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}=\lceil 0,S_{1}S_{2}^{-1},0\rfloor }$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle A_{1}A_{2}^{+}=A_{1}A_{2}^{-1}}$ ${\displaystyle A_{1}A_{2}^{-1}}$ ${\displaystyle AB^{-1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A_{2}}$ ${\displaystyle U_{1}\Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}U_{2}^{*}}$ ${\displaystyle A_{1}A_{2}^{+}}$ ${\displaystyle U_{1}\Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}U_{2}^{*}=(U_{1}P_{1})P_{1}^{*}\Sigma _{1}\Sigma _{2}^{+}P_{2}(P_{2}^{*}U_{2}^{*})}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {rank} (A_{1}A_{2}^{+})=s}$

Construcción

Dejar

• ${\displaystyle C=P\lceil D,0\rfloor Q^{*}}$sea ​​la SVD de , donde es unitaria, y y son como se describe, ${\displaystyle C={\begin{bmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle P\in \mathbb {F} ^{(m_{1}+m_{2})\times (m_{1}\times m_{2})}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D}$
• ${\displaystyle P=[P_{1},P_{2}]}$, donde y , ${\displaystyle P_{1}\in \mathbb {F} ^{(m_{1}+m_{2})\times k}}$ ${\displaystyle P_{2}\in \mathbb {F} ^{(m_{1}+m_{2})\times (n-k)}}$
• ${\displaystyle P_{1}={\begin{bmatrix}P_{11}\\P_{21}\end{bmatrix}}}$, donde y , ${\displaystyle P_{11}\in \mathbb {F} ^{m_{1}\times k}}$ ${\displaystyle P_{21}\in \mathbb {F} ^{m_{2}\times k}}$
• ${\displaystyle P_{11}=U_{1}\Sigma _{1}W^{*}}$por la SVD de , donde , y son como se describen, ${\displaystyle P_{11}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle W}$
• ${\displaystyle P_{21}W=U_{2}\Sigma _{2}}$mediante una descomposición similar a una descomposición QR , donde y son como se describe. ${\displaystyle U_{2}}$ ${\displaystyle \Sigma _{2}}$

Entonces también tenemos Por lo tanto Dado que tiene columnas ortonormales, . Por lo tanto También tenemos para cada tal que que Por lo tanto , y $${\displaystyle {\begin{aligned}C&=P\lceil D,0\rfloor Q^{*}\\{}&=[P_{1}D,0]Q^{*}\\{}&={\begin{bmatrix}U_{1}\Sigma _{1}W^{*}D&0\\U_{2}\Sigma _{2}W^{*}D&0\end{bmatrix}}Q^{*}\\{}&={\begin{bmatrix}U_{1}\Sigma _{1}[W^{*}D,0]Q^{*}\\U_{2}\Sigma _{2}[W^{*}D,0]Q^{*}\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}U_{1}^{*}&0\\0&U_{2}^{*}\end{bmatrix}}P_{1}W={\begin{bmatrix}\Sigma _{1}\\\Sigma _{2}\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \Sigma _{1}^{*}\Sigma _{1}+\Sigma _{2}^{*}\Sigma _{2}={\begin{bmatrix}\Sigma _{1}\\\Sigma _{2}\end{bmatrix}}^{*}{\begin{bmatrix}\Sigma _{1}\\\Sigma _{2}\end{bmatrix}}=W^{*}P_{1}^{*}{\begin{bmatrix}U_{1}&0\\0&U_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}^{*}&0\\0&U_{2}^{*}\end{bmatrix}}P_{1}W=I.}$$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle ||P_{1}||_{2}\leq 1}$ $${\displaystyle ||\Sigma _{1}||_{2}=||U_{1}^{*}P_{1}W||_{2}=||P_{1}||_{2}\leq 1.}$$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle ||x||_{2}=1}$ $${\displaystyle ||P_{21}x||_{2}^{2}\leq ||P_{11}x||_{2}^{2}+||P_{21}x||_{2}^{2}=||P_{1}x||_{2}^{2}\leq 1.}$$ ${\displaystyle ||P_{21}||_{2}\leq 1}$ $${\displaystyle ||\Sigma _{2}||_{2}=||U_{2}^{*}P_{21}W||_{2}=||P_{21}||_{2}\leq 1.}$$

Aplicaciones

La GSVD tensorial es una de las descomposiciones espectrales comparativas, generalizaciones multitensoriales de la SVD, inventadas para identificar simultáneamente lo similar y lo diferente, y crear un único modelo coherente a partir de cualquier tipo de datos, de cualquier número y dimensión.

La GSVD, formulada como una descomposición espectral comparativa, ^[6] se ha aplicado con éxito al procesamiento de señales y a la ciencia de datos, por ejemplo, en el procesamiento de señales genómicas. ^{[7] [8] [9]}

Estas aplicaciones inspiraron varias descomposiciones espectrales comparativas adicionales, es decir, la GSVD de orden superior (HO GSVD) ^[10] y la GSVD tensorial. ^{[11] [12]}

También ha encontrado aplicaciones para estimar las descomposiciones espectrales de operadores lineales cuando las funciones propias se parametrizan con un modelo lineal, es decir, un espacio de Hilbert de núcleo reproductor . ^[13]

Segunda versión: descomposición ponderada de matriz única

La versión ponderada de la descomposición en valores singulares generalizada ( GSVD ) es una descomposición matricial restringida con restricciones impuestas a los vectores singulares izquierdo y derecho de la descomposición en valores singulares . ^{[14] [15] [16]} Esta forma de la GSVD es una extensión de la SVD como tal. Dado el SVD de una matriz real o compleja de m×n M

${\displaystyle M=U\Sigma V^{*}\,}$

dónde

${\displaystyle U^{*}W_{u}U=V^{*}W_{v}V=I.}$

Donde I es la matriz identidad y donde y son ortonormales dadas sus restricciones ( y ). Además, y son matrices definidas positivas (a menudo matrices diagonales de pesos). Esta forma de la GSVD es el núcleo de ciertas técnicas, como el análisis de componentes principales generalizado y el análisis de correspondencias . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W_{u}}$ ${\displaystyle W_{v}}$ ${\displaystyle W_{u}}$ ${\displaystyle W_{v}}$

La forma ponderada del GSVD se denomina así porque, con la selección correcta de pesos, generaliza muchas técnicas (como el escalamiento multidimensional y el análisis discriminante lineal ). ^[17]

Referencias

1. Van Loan CF (1976). "Generalización de la descomposición en valores singulares". SIAM J. Numer. Anal . 13 (1): 76–83. Bibcode :1976SJNA...13...76V. doi :10.1137/0713009.
2. Paige CC, Saunders MA (1981). "Hacia una descomposición generalizada en valores singulares". SIAM J. Numer. Anal . 18 (3): 398–405. Bibcode :1981SJNA...18..398P. doi :10.1137/0718026.
3. Hansen PC (1997). Problemas deficientes en rangos y discretos mal planteados: aspectos numéricos de la inversión lineal . Monografías SIAM sobre modelado y computación matemática. ISBN 0-89871-403-6.
4. de Moor BL, Golub GH (1989). "Descomposiciones generalizadas en valores singulares: una propuesta para una nomenclatura estándar" (PDF) .
5. de Moor BL, Zha H (1991). "Un árbol de generalizaciones de la descomposición en valores singulares ordinarios". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 147 : 469–500. doi : 10.1016/0024-3795(91)90243-P .
6. Alter O, Brown PO, Botstein D (marzo de 2003). "Descomposición generalizada en valores singulares para el análisis comparativo de conjuntos de datos de expresión a escala del genoma de dos organismos diferentes". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 100 (6): 3351–6. Bibcode :2003PNAS..100.3351A. doi : 10.1073/pnas.0530258100 . PMC 152296 . PMID  12631705. 
7. Lee CH, Alpert BO, Sankaranarayanan P, Alter O (enero de 2012). "La comparación de GSVD de perfiles aCGH normales y tumorales emparejados por pacientes revela alteraciones globales en el número de copias que predicen la supervivencia del glioblastoma multiforme". PLOS ONE . ​​7 (1): e30098. Bibcode :2012PLoSO...730098L. doi : 10.1371/journal.pone.0030098 . PMC 3264559 . PMID  22291905. 
8. Aiello KA, Ponnapalli SP, Alter O (septiembre de 2018). "El genotipo de astrocitoma matemáticamente universal y biológicamente consistente codifica la transformación y predice el fenotipo de supervivencia". APL Bioengineering . 2 (3): 031909. doi :10.1063/1.5037882. PMC 6215493 . PMID  30397684. 
9. Ponnapalli SP, Bradley MW, Devine K, Bowen J, Coppens SE, Leraas KM, Milash BA, Li F, Luo H, Qiu S, Wu K, Yang H, Wittwer CT, Palmer CA, Jensen RL, Gastier-Foster JM, Hanson HA, Barnholtz-Sloan JS , Alter O (mayo de 2020). "Un ensayo clínico retrospectivo valida experimentalmente el patrón de alteraciones del número de copias de ADN en todo el genoma del glioblastoma como predictor de supervivencia". APL Bioengineering . 4 (2): 026106. doi : 10.1063/1.5142559 . PMC 7229984 . PMID  32478280. Nota de prensa. 
10. Ponnapalli SP, Saunders MA, Van Loan CF, Alter O (diciembre de 2011). "Una descomposición en valores singulares generalizada de orden superior para la comparación de la expresión global de ARNm de múltiples organismos". PLOS ONE . ​​6 (12): e28072. Bibcode :2011PLoSO...628072P. doi : 10.1371/journal.pone.0028072 . PMC 3245232 . PMID  22216090. 
11. Sankaranarayanan P, Schomay TE, Aiello KA, Alter O (abril de 2015). "El tensor GSVD de perfiles de número de copias de ADN tumoral y normal coincidentes con el paciente y la plataforma revela patrones de alteraciones exclusivas del tumor consistentes con la plataforma en todo el brazo cromosómico que codifican la transformación celular y predicen la supervivencia del cáncer de ovario". PLOS ONE . ​​10 (4): e0121396. Bibcode :2015PLoSO..1021396S. doi : 10.1371/journal.pone.0121396 . PMC 4398562 . PMID  25875127. 
12. Bradley MW, Aiello KA, Ponnapalli SP, Hanson HA, Alter O (septiembre de 2019). "Los patrones de alteraciones del número de copias de ADN descubiertos por GSVD y GSVD tensor predicen la supervivencia de los adenocarcinomas en general y en respuesta al platino". APL Bioengineering . 3 (3): 036104. doi :10.1063/1.5099268. PMC 6701977 . PMID  31463421. Material complementario. 
13. Cabannes, Vivien; Pillaud-Vivien, Loucas; Bach, Francis; Rudi, Alessandro (2021). "Superando la maldición de la dimensionalidad con la regularización laplaciana en el aprendizaje semisupervisado". arXiv : 2009.04324 [stat.ML].
14. Jolliffe IT (2002). Análisis de componentes principales . Springer Series in Statistics (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-95442-4.
15. Greenacre M (1983). Teoría y aplicaciones del análisis de correspondencias . Londres: Academic Press. ISBN 978-0-12-299050-2.
16. Abdi H, Williams LJ (2010). "Análisis de componentes principales". Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics . 2 (4): 433–459. doi :10.1002/wics.101. S2CID  122379222.
17. Abdi H (2007). "Descomposición en valores singulares (SVD) y descomposición en valores singulares generalizada (GSVD)". En Salkind NJ (ed.). Enciclopedia de medición y estadística . Thousand Oaks (CA): Sage. págs. 907–912.

Lectura adicional

• Golub G, Van Loan C (1996). Matrix Computation (Tercera edición). Baltimore: Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5414-8.
• Manual de LAPACK [1]