Energía gravitacional

Tipo de energía potencial

Imagen que muestra el campo gravitatorio de la Tierra . Los objetos se aceleran hacia la Tierra, perdiendo así su energía gravitatoria y transformándola en energía cinética .

La energía gravitatoria o energía potencial gravitatoria es la energía potencial que tiene un objeto masivo debido a su posición en un campo gravitatorio . Es el trabajo mecánico realizado por la fuerza gravitatoria para llevar la masa desde un punto de referencia elegido (a menudo una "distancia infinita" de la masa que genera el campo) a algún otro punto en el campo, que es igual al cambio en las energías cinéticas de los objetos a medida que caen uno hacia el otro. La energía potencial gravitatoria aumenta cuando dos objetos se separan más y se convierte en energía cinética a medida que se les permite caer uno hacia el otro.

Formulación

Para dos partículas puntuales que interactúan por pares, la energía potencial gravitatoria es el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria para unir las masas: donde es el vector de desplazamiento entre las dos partículas y denota el producto escalar . Dado que la fuerza gravitatoria siempre es paralela al eje que une las partículas, esto se simplifica a: ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle U=-W_{g}={\textbf {-F}}_{g}\cdot {\textbf {r}},}$$ ${\textstyle {\textbf {r}}}$ ${\textstyle \cdot }$

$${\displaystyle U=-{\frac {GMm}{|{\textbf {r}}|}},}$$

donde y son las masas de las dos partículas y es la constante gravitacional . ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle G}$

Cerca de la superficie de la Tierra, el campo gravitacional es aproximadamente constante y la energía potencial gravitacional de un objeto se reduce a donde es la masa del objeto, es la gravedad de la Tierra y es la altura del centro de masa del objeto por encima de un nivel de referencia elegido. ^[1] $${\displaystyle U=m({\textbf {g}}\cdot {\textbf {r}})=m|{\textbf {g}}||{\textbf {r}}|=mh|{\textbf {g}}|,}$$ ${\displaystyle m}$ ${\textstyle {\textbf {g}}={\frac {{GM_{\oplus }}{\hat {\textbf {r}}}}{|{\textbf {r}}_{\oplus }^{2}|}}}$ ${\displaystyle h}$

Mecánica newtoniana

En la mecánica clásica , dos o más masas siempre tienen un potencial gravitatorio . La conservación de la energía requiere que esta energía del campo gravitatorio sea siempre negativa , de modo que sea cero cuando los objetos están infinitamente alejados. ^[2] La energía potencial gravitatoria es la energía potencial que tiene un objeto porque está dentro de un campo gravitatorio.

La magnitud de la fuerza entre una masa puntual, , y otra masa puntual, , viene dada por la ley de gravitación de Newton : ^[3] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle F={\frac {GMm}{r^{2}}}}$$

Para obtener el trabajo total realizado por la fuerza gravitacional al llevar la masa puntual desde el infinito hasta la distancia final (por ejemplo, el radio de la Tierra) desde la masa puntual , la fuerza se integra con respecto al desplazamiento: ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle R}$ ${\textstyle M}$ $${\displaystyle W=\int _{\infty }^{R}{\frac {GMm}{r^{2}}}dr=-\left.{\frac {GMm}{r}}\right|_{\infty }^{R}}$$

Porque , el trabajo total realizado sobre el objeto se puede escribir como: ^[4] ${\textstyle \lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r}}=0}$

Energía potencial gravitatoria

${\displaystyle U=-{\frac {GMm}{R}}}$

En la situación común en la que una masa mucho más pequeña se mueve cerca de la superficie de un objeto mucho más grande con masa , el campo gravitacional es casi constante y, por lo tanto, la expresión para la energía gravitacional se puede simplificar considerablemente. El cambio en la energía potencial al moverse desde la superficie (una distancia desde el centro) hasta una altura sobre la superficie es Si es pequeño, ya que debe estar cerca de la superficie donde es constante, entonces esta expresión se puede simplificar utilizando la aproximación binomial a Como el campo gravitacional es , esto se reduce a Tomando en la superficie (en lugar de en el infinito), surge la expresión familiar para la energía potencial gravitacional: ^[5] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle h}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta U&={\frac {GMm}{R}}-{\frac {GMm}{R+h}}\\&={\frac {GMm}{R}}\left(1-{\frac {1}{1+h/R}}\right).\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle h/R}$ ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle {\frac {1}{1+h/R}}\approx 1-{\frac {h}{R}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta U&\approx {\frac {GMm}{R}}\left[1-\left(1-{\frac {h}{R}}\right)\right]\\\Delta U&\approx {\frac {GMmh}{R^{2}}}\\\Delta U&\approx m\left({\frac {GM}{R^{2}}}\right)h.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle g=GM/R^{2}}$ $${\displaystyle \Delta U\approx mgh.}$$ ${\displaystyle U=0}$ $${\displaystyle U=mgh.}$$

Relatividad general

Representación bidimensional de geodésicas curvas ("líneas del mundo"). Según la relatividad general , la masa distorsiona el espacio-tiempo y la gravedad es una consecuencia natural de la primera ley de Newton. La masa le dice al espacio-tiempo cómo curvarse, y el espacio-tiempo le dice a la masa cómo moverse.

En la relatividad general, la energía gravitacional es extremadamente compleja y no existe una única definición consensuada del concepto. A veces se modela a través del pseudotensor de Landau-Lifshitz ^[6] que permite retener las leyes de conservación de energía-momento de la mecánica clásica . La adición del tensor de materia-energía al pseudotensor de Landau-Lifshitz da como resultado un pseudotensor combinado de materia más energía gravitacional que tiene una divergencia 4- que se desvanece en todos los marcos, lo que garantiza la ley de conservación. Algunas personas se oponen a esta derivación con el argumento de que los pseudotensores son inapropiados en la relatividad general, pero la divergencia del pseudotensor combinado de materia más energía gravitacional es un tensor . ^{[ cita requerida ]}

Véase también

• Energía de enlace gravitacional
• Potencial gravitacional
• Almacenamiento de energía potencial gravitacional
• Teorema de energía positiva

Referencias

1. "Energía potencial gravitatoria". hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . Consultado el 10 de enero de 2017 .
2. Para una demostración de la negatividad de la energía gravitacional, véase Alan Guth , The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins (Random House, 1997), ISBN 0-224-04448-6 , Apéndice A: Energía gravitacional. 
3. MacDougal, Douglas W. (2012). La gravedad de Newton: una guía introductoria a la mecánica del universo (edición ilustrada). Springer Science & Business Media. pág. 10. ISBN 978-1-4614-5444-1.Extracto de la página 10
4. Tsokos, KA (2010). Física para el Diploma del IB a todo color (edición revisada). Cambridge University Press . p. 143. ISBN 978-0-521-13821-5.Extracto de la página 143
5. Fitzpatrick, Richard (2 de febrero de 2006). "Energía potencial gravitatoria". farside.ph.utexas.edu . Universidad de Texas en Austin.
6. Lev Davidovich Landau y Evgeny Mikhailovich Lifshitz , La teoría clásica de los campos , (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7