Cuadro de centro de momento

Marco inercial único en el que el impulso total de un sistema físico desaparece

En física , el marco de centro de momento ( marco COM ), también conocido como marco de momento cero , es el marco inercial en el que el momento total del sistema se desvanece. Es único hasta la velocidad, pero no hasta el origen.

El centro de impulso de un sistema no es una ubicación, sino un conjunto de momentos/velocidades relativas: un marco de referencia. Por tanto, "centro de impulso" es una abreviatura de " marco de centro de impulso ". ^[1]

Un caso especial del sistema de centro de momento es el sistema de centro de masa : un sistema inercial en el que el centro de masa (que es un único punto) permanece en el origen. En todos los sistemas de centro de momento, el centro de masa está en reposo , pero no necesariamente está en el origen del sistema de coordenadas.

En relatividad especial , la trama COM es necesariamente única sólo cuando el sistema está aislado.

Propiedades

General

El sistema de centro de momento se define como el sistema inercial en el que la suma de los momentos lineales de todas las partículas es igual a 0. Sea S el sistema de referencia de laboratorio y S ′ el sistema de referencia del centro de momento. Usando una transformación galileana , la velocidad de la partícula en S ′ es

${\displaystyle v'=v-V_{c},}$

dónde

${\displaystyle V_{c}={\frac {\sum _{i}m_{i}v_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}}$

es la velocidad del centro de masa. El impulso total en el sistema de centro de impulso entonces desaparece:

${\displaystyle \sum _{i}p'_{i}=\sum _{i}m_{i}v'_{i}=\sum _{i}m_{i}(v_{i}-V_{c})=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{i}m_{i}{\frac {\sum _{j}m_{j}v_{j}}{\sum _{j}m_{j}}}=\sum _{i}m_{i}v_{i}-\sum _{j}m_{j}v_{j}=0.}$

Además, la energía total del sistema es la energía mínima vista desde todos los sistemas de referencia inerciales .

Relatividad especial

En relatividad , el marco COM existe para un sistema masivo aislado. Esta es una consecuencia del teorema de Noether . En el marco COM, la energía total del sistema es la energía en reposo , y esta cantidad (cuando se divide por el factor c ² , donde c es la velocidad de la luz ) da la masa en reposo ( masa invariante ) del sistema:

${\displaystyle m_{0}={\frac {E_{0}}{c^{2}}}.}$

La masa invariante del sistema está dada en cualquier sistema inercial por la relación invariante relativista

${\displaystyle m_{0}{}^{2}=\left({\frac {E}{c^{2}}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{c}}\right)^{2},}$

pero para un momento cero, el término de momento ( p / c ) ² desaparece y, por tanto, la energía total coincide con la energía en reposo.

Los sistemas que tienen energía distinta de cero pero masa en reposo cero (como los fotones que se mueven en una sola dirección o, de manera equivalente, ondas electromagnéticas planas ) no tienen marcos COM, porque no hay ningún marco en el que tengan un momento neto cero. Debido a la invariancia de la velocidad de la luz , un sistema sin masa debe viajar a la velocidad de la luz en cualquier marco y siempre posee un impulso neto. Su energía es, para cada sistema de referencia, igual a la magnitud del impulso multiplicada por la velocidad de la luz:

${\displaystyle E=pc.}$

problema de dos cuerpos

A continuación se ofrece un ejemplo del uso de este marco: en una colisión de dos cuerpos, no necesariamente elástico (donde se conserva la energía cinética ). El marco COM se puede utilizar para encontrar el momento de las partículas mucho más fácilmente que en un marco de laboratorio : el marco donde se realiza la medición o el cálculo. La situación se analiza utilizando transformaciones galileanas y conservación del momento (para generalidad, en lugar de energías cinéticas únicamente), para dos partículas de masa m ₁ y m ₂ , que se mueven a velocidades iniciales (antes de la colisión) u ₁ y u ₂ respectivamente. Las transformaciones se aplican para tomar la velocidad del marco desde la velocidad de cada partícula desde el marco del laboratorio (cantidades no preparadas) al marco COM (cantidades preparadas): ^[1]

${\displaystyle \mathbf {u} _{1}^{\prime }=\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} ,\quad \mathbf {u} _{2}^{\prime }=\mathbf {u} _{2}-\mathbf {V} }$

donde V es la velocidad del marco COM. Dado que V es la velocidad del COM, es decir, la derivada temporal de la ubicación R del COM (posición del centro de masa del sistema): ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}$

entonces en el origen de la trama COM, R' = 0 , esto implica

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

Se pueden obtener los mismos resultados aplicando la conservación del momento en el marco del laboratorio, donde los momentos son p ₁ y p ₂ :

${\displaystyle \mathbf {V} ={\frac {\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

y en el marco COM, donde se afirma definitivamente que los momentos totales de las partículas, p ₁ ' y p ₂ ', desaparecen:

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }+\mathbf {p} _{2}^{\prime }=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

El uso de la ecuación del marco COM para resolver V devuelve la ecuación del marco de laboratorio anterior, lo que demuestra que se puede usar cualquier marco (incluido el marco COM) para calcular los momentos de las partículas. Se ha establecido que la velocidad del marco COM se puede eliminar del cálculo utilizando el marco anterior, por lo que los momentos de las partículas en el marco COM se pueden expresar en términos de las cantidades en el marco de laboratorio (es decir, los valores iniciales dados ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} _{1}^{\prime }&=m_{1}\mathbf {u} _{1}^{\prime }\\&=m_{1}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {V} \right)={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\left(\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}\right)\\&=-m_{2}\mathbf {u} _{2}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }\\\end{aligned}}}$

Observe que la velocidad relativa en el marco del laboratorio de las partículas 1 a 2 es

${\displaystyle \Delta \mathbf {u} =\mathbf {u} _{1}-\mathbf {u} _{2}}$

y la masa reducida de 2 cuerpos es

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

por lo que los momentos de las partículas se reducen de forma compacta a

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {u} }$

Éste es un cálculo sustancialmente más simple de los momentos de ambas partículas; la masa reducida y la velocidad relativa se pueden calcular a partir de las velocidades iniciales en el marco del laboratorio y las masas, y el impulso de una partícula es simplemente el negativo de la otra. El cálculo se puede repetir para las velocidades finales v ₁ y v ₂ en lugar de las velocidades iniciales u ₁ y u ₂ , ya que después de la colisión las velocidades aún satisfacen las ecuaciones anteriores: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\rm {d}}\mathbf {R} }{{\rm {d}}t}}&={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}\left({\frac {m_{1}\mathbf {r} _{1}+m_{2}\mathbf {r} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\right)\\&={\frac {m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\&=\mathbf {V} \\\end{aligned}}}$

entonces en el origen de la trama COM, R = 0 , esto implica después de la colisión

${\displaystyle m_{1}\mathbf {v} _{1}^{\prime }+m_{2}\mathbf {v} _{2}^{\prime }={\boldsymbol {0}}}$

En el marco del laboratorio, la conservación del impulso dice completamente:

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}+m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} }$

Esta ecuación no implica que

${\displaystyle m_{1}\mathbf {u} _{1}=m_{1}\mathbf {v} _{1}=m_{1}\mathbf {V} ,\quad m_{2}\mathbf {u} _{2}=m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{2}\mathbf {V} }$

en cambio, simplemente indica que la masa total M multiplicada por la velocidad del centro de masa V es el momento total P del sistema:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} &=\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}\\&=(m_{1}+m_{2})\mathbf {V} \\&=M\mathbf {V} \end{aligned}}}$

Se obtiene un análisis similar al anterior

${\displaystyle \mathbf {p} _{1}^{\prime }=-\mathbf {p} _{2}^{\prime }=\mu \Delta \mathbf {v} =\mu \Delta \mathbf {u} }$

donde la velocidad relativa final en el marco del laboratorio de las partículas 1 a 2 es

${\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}=\Delta \mathbf {u} .}$

Ver también

• Marco de referencia del laboratorio.
• Marco Breit

Referencias

1. Dinámica y relatividad, JR Forshaw, AG Smith, Wiley, 2009, ISBN  978-0-470-01460-8
2. Mecánica clásica, TWB Kibble, Serie europea de física, 1973, ISBN 0-07-084018-0 
3. Introducción a la mecánica , D. Kleppner, RJ Kolenkow, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19821-9