Constante de Rydberg

Constantes físicas de energía y número de onda.

En espectroscopia , la constante de Rydberg , símbolo de los átomos pesados ​​o del hidrógeno, llamada así en honor al físico sueco Johannes Rydberg , es una constante física relacionada con los espectros electromagnéticos de un átomo. La constante surgió inicialmente como un parámetro de ajuste empírico en la fórmula de Rydberg para la serie espectral del hidrógeno , pero Niels Bohr demostró posteriormente que su valor podía calcularse a partir de constantes más fundamentales según su modelo del átomo . ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle R_{\text{H}}}$

Antes de la revisión de 2019 del SI , el factor g del espín del electrón eran las constantes físicas medidas con mayor precisión . ^[1] ${\displaystyle R_{\infty }}$

La constante se expresa para el hidrógeno como , o en el límite de masa nuclear infinita como . En cualquier caso, la constante se utiliza para expresar el valor límite del número de onda más alto (longitud de onda inversa) de cualquier fotón que puede emitirse desde un átomo de hidrógeno o, alternativamente, el número de onda del fotón de menor energía capaz de ionizar un átomo de hidrógeno desde su estado fundamental . La serie espectral del hidrógeno se puede expresar simplemente en términos de la constante de Rydberg para el hidrógeno y la fórmula de Rydberg . ${\displaystyle R_{\text{H}}}$ ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle R_{\text{H}}}$

En física atómica , la unidad de energía de Rydberg , símbolo Ry, corresponde a la energía del fotón cuyo número de onda es la constante de Rydberg, es decir, la energía de ionización del átomo de hidrógeno en un modelo simplificado de Bohr. ^{[ cita requerida ]}

Valor

Constante de Rydberg

El valor de CODATA es

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}=}$ 10 973 731 .568 157 (12) m ⁻¹ , ^[2]

dónde

• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$es la masa en reposo del electrón (es decir, la masa del electrón ),
• ${\displaystyle e}$es la carga elemental ,
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del espacio libre ,
• ${\displaystyle h}$es la constante de Planck , y
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz en el vacío.

El símbolo significa que se supone que el núcleo es infinitamente pesado, se puede realizar una mejora del valor utilizando la masa reducida del átomo: ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{\text{e}}}}+{\frac {1}{M}}}}}$

con la masa del núcleo. La constante de Rydberg corregida es: ${\displaystyle M}$

${\displaystyle R_{\text{M}}={\frac {\mu }{m_{\text{e}}}}R_{\infty }}$

que para el hidrógeno, donde es la masa del protón , se convierte en: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{\text{p}}}$

${\displaystyle R_{\text{H}}={\frac {m_{\text{p}}}{m_{\text{e}}+m_{\text{p}}}}R_{\infty }\approx 1.09678\times 10^{7}{\text{ m}}^{-1},}$

Como la constante de Rydberg está relacionada con las líneas espectrales del átomo, esta corrección provoca un desplazamiento isotópico entre diferentes isótopos. Por ejemplo, el deuterio, un isótopo del hidrógeno con un núcleo formado por un protón y un neutrón ( ), fue descubierto gracias a su espectro ligeramente desplazado. ^[3] ${\displaystyle M=m_{\text{p}}+m_{\text{n}}\approx 2m_{\text{p}}}$

Unidad de energía de Rydberg

La unidad de energía de Rydberg es

${\displaystyle 1\ {\text{Ry}}~~\equiv hc\,R_{\infty }=\alpha ^{2}m_{\text{e}}c^{2}/2}$

=2,179 872 361 1030 (24) × 10 ⁻¹⁸  J ‍ [ ^4]

=13,605 693 122 990 (15) eV ‍ [ ^5]

Frecuencia de Rydberg

${\displaystyle cR_{\infty }}$=3,289 841 960 2500 (36) × 10 ¹⁵  Hz . ^[6]

Longitud de onda de Rydberg

${\displaystyle {\frac {1}{R_{\infty }}}=9.112\;670\;505\;826(10)\times 10^{-8}\ {\text{m}}}$.

La longitud de onda angular correspondiente es

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}=1.450\;326\;555\;77(16)\times 10^{-8}\ {\text{m}}}$.

Modelo de Bohr

El modelo de Bohr explica el espectro atómico del hidrógeno (véase Serie espectral del hidrógeno ) así como el de otros átomos e iones. No es del todo preciso, pero es una aproximación notablemente buena en muchos casos, y ha desempeñado históricamente un papel importante en el desarrollo de la mecánica cuántica . El modelo de Bohr postula que los electrones giran alrededor del núcleo atómico de forma análoga a los planetas que giran alrededor del Sol.

En la versión más simple del modelo de Bohr, la masa del núcleo atómico se considera infinita en comparación con la masa del electrón, ^[7] de modo que el centro de masa del sistema, el baricentro , se encuentra en el centro del núcleo. Esta aproximación de masa infinita es a lo que se alude con el subíndice . El modelo de Bohr predice entonces que las longitudes de onda de las transiciones atómicas del hidrógeno son (véase la fórmula de Rydberg ): ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=\mathrm {Ry} \cdot {1 \over hc}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)={\frac {m_{\text{e}}e^{4}}{8\varepsilon _{0}^{2}h^{3}c}}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

donde n ₁ y n ₂ son dos números enteros positivos diferentes (1, 2, 3, ...), y es la longitud de onda (en el vacío) de la luz emitida o absorbida, dando ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}=R_{M}\left({\frac {1}{n_{1}^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}^{2}}}\right)}$

donde y M es la masa total del núcleo. Esta fórmula se obtiene sustituyendo la masa reducida del electrón. ${\displaystyle R_{M}={\frac {R_{\infty }}{1+{\frac {m_{\text{e}}}{M}}}},}$

Medición de precisión

La constante de Rydberg fue una de las constantes físicas determinadas con mayor precisión, con una incertidumbre estándar relativa de1,1 × 10 ⁻¹² . ^[2] Esta precisión restringe los valores de las otras constantes físicas que la definen. ^[8]

Dado que el modelo de Bohr no es perfectamente preciso, debido a la estructura fina , la división hiperfina y otros efectos similares, la constante de Rydberg no se puede medir directamente con una precisión muy alta a partir de las frecuencias de transición atómica del hidrógeno solo. En cambio, la constante de Rydberg se infiere a partir de mediciones de frecuencias de transición atómica en tres átomos diferentes ( hidrógeno , deuterio y helio antiprotónico ). Se utilizan cálculos teóricos detallados en el marco de la electrodinámica cuántica para explicar los efectos de la masa nuclear finita, la estructura fina, la división hiperfina, etc. Finalmente, el valor de se determina a partir del mejor ajuste de las mediciones a la teoría. ^[9] ${\displaystyle R_{\infty }}$ ${\displaystyle R_{\infty }}$

Expresiones alternativas

La constante de Rydberg también se puede expresar en las siguientes ecuaciones.

${\displaystyle R_{\infty }={\frac {\alpha ^{2}m_{\text{e}}c}{2h}}={\frac {\alpha ^{2}}{2\lambda _{\text{e}}}}={\frac {\alpha }{4\pi a_{0}}}}$

y en unidades de energía

${\displaystyle {\text{Ry}}=hcR_{\infty }={\frac {1}{2}}m_{\text{e}}c^{2}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{4}m_{\text{e}}}{(4\pi \varepsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {m_{\text{e}}c^{2}r_{\text{e}}}{a_{0}}}={\frac {1}{2}}{\frac {hc\alpha ^{2}}{\lambda _{\text{e}}}}={\frac {1}{2}}hf_{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2}}\hbar \omega _{\text{C}}\alpha ^{2}={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}\left({\dfrac {\hbar }{a_{0}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{(4\pi \varepsilon _{0})a_{0}}},}$

dónde

• ${\displaystyle m_{\text{e}}}$es la masa en reposo del electrón ,
• ${\displaystyle e}$es la carga eléctrica del electrón,
• ${\displaystyle h}$es la constante de Planck ,
• ${\displaystyle \hbar =h/2\pi }$es la constante de Planck reducida ,
• ${\displaystyle c}$es la velocidad de la luz en el vacío,
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la constante eléctrica (permitividad del vacío),
• ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{\hbar c}}}$es la constante de estructura fina ,
• ${\displaystyle \lambda _{\text{e}}=h/m_{\text{e}}c}$es la longitud de onda Compton del electrón,
• ${\displaystyle f_{\text{C}}=m_{\text{e}}c^{2}/h}$es la frecuencia Compton del electrón,
• ${\displaystyle \omega _{\text{C}}=2\pi f_{\text{C}}}$es la frecuencia angular Compton del electrón,
• ${\displaystyle a_{0}={4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}/{e^{2}m_{\text{e}}}}$es el radio de Bohr ,
• ${\displaystyle r_{\mathrm {e} }={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}}$es el radio clásico del electrón .

La última expresión de la primera ecuación muestra que la longitud de onda de la luz necesaria para ionizar un átomo de hidrógeno es 4 π / α veces el radio de Bohr del átomo.

La segunda ecuación es relevante porque su valor es el coeficiente de la energía de los orbitales atómicos de un átomo de hidrógeno: . ${\displaystyle E_{n}=-hcR_{\infty }/n^{2}}$

Véase también

• Límite de Lyman

Referencias

1. Pohl, Randolf; Antognini, Aldo; Nez, François; Amaro, Fernando D.; Biraben, François; Cardoso, João MR; Covita, Daniel S.; Dax, Andrés; Dhawan, satish; Fernández, Luis MP; Giesen, Adolf; Graf, Thomas; Hänsch, Theodor W.; Indelicato, Paul; Julien, Lucila; Kao, Cheng-Yang; Knowles, Pablo; Le Bigot, Eric-Olivier; Liu, Yi-Wei; Lopes, José AM; Ludhova, Livia; Monteiro, Cristina MB; Mulhauser, Françoise; Nebel, Tobías; Rabinowitz, Paul; Dos Santos, Joaquim MF; Schaller, Lucas A.; Schuhmann, Karsten; Schwob, Catalina; Taqqu, David (2010). "El tamaño del protón". Naturaleza . 466 (7303): 213–216. Código Bibliográfico :2010Natur.466..213P. doi :10.1038/nature09250. PMID  20613837. S2CID  4424731.
2. "Valor CODATA 2022: constante de Rydberg". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
3. Mecánica cuántica (2.ª edición), BH Bransden, CJ Joachain , Prentice Hall Publishers, 2000, ISBN 0-582-35691-1 
4. "Valor CODATA 2022: constante de Rydberg multiplicada por hc en J". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
5. "Valor CODATA 2022: constante de Rydberg multiplicada por hc en eV". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
6. "Valor CODATA 2022: constante de Rydberg multiplicada por c en Hz". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
7. Coffman, Moody L. (1965). "Corrección de la constante de Rydberg para masa nuclear finita". American Journal of Physics . 33 (10): 820–823. Código Bibliográfico :1965AmJPh..33..820C. doi :10.1119/1.1970992.
8. PJ Mohr, BN Taylor y DB Newell (2015), "Valores recomendados por CODATA para las constantes físicas fundamentales en 2014" (versión web 7.0). Esta base de datos fue desarrollada por J. Baker, M. Douma y S. Kotochigova . Disponible en: http://physics.nist.gov/constants. Instituto Nacional de Estándares y Tecnología, Gaithersburg, MD 20899. Enlace a R∞, Enlace a hcR∞. Publicado en Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2012). "Valores recomendados por CODATA para las constantes físicas fundamentales: 2010". Reseñas de física moderna . 84 (4): 1527–1605. arXiv : 1203.5425 . Código Bibliográfico :2012RvMP...84.1527M. doi :10.1103/RevModPhys.84.1527.S2CID 103378639  ""{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link)y Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2012). "Valores recomendados por CODATA de las constantes físicas fundamentales: 2010". Journal of Physical and Chemical Reference Data . 41 (4): 043109. arXiv : 1507.07956 . Bibcode :2012JPCRD..41d3109M. doi :10.1063/1.4724320""{{cite journal}}: CS1 maint: postscript (link).
9. Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). "Valores recomendados por CODATA de las constantes físicas fundamentales: 2006". Reseñas de Física Moderna . 80 (2): 633–730. arXiv : 0801.0028 . Código Bibliográfico :2008RvMP...80..633M. doi :10.1103/RevModPhys.80.633.