serie mercator

Serie de Taylor para el logaritmo natural

Aproximación polinómica al logaritmo con n=1, 2, 3 y 10 en el intervalo (0,2).

En matemáticas , la serie de Mercator o serie de Newton-Mercator es la serie de Taylor para el logaritmo natural :

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots }$

En notación sumatoria ,

${\displaystyle \ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}.}$

La serie converge al logaritmo natural (desplazado en 1) siempre que . ${\displaystyle -1<x\leq 1}$

Historia

La serie fue descubierta de forma independiente por Johannes Hudde (1656) ^[1] e Isaac Newton (1665), pero ninguno publicó el resultado. Nicholas Mercator también lo descubrió de forma independiente e incluyó valores de la serie para valores pequeños en su tratado Logarithmotechnia de 1668 ; la serie general se incluyó en la reseña del libro realizada por John Wallis en 1668 en Philosophical Transactions . ^[2]

Derivación

La serie se puede obtener a partir del teorema de Taylor , calculando inductivamente la n- ^ésima derivada de at , comenzando con ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.}$

Alternativamente, se puede comenzar con la serie geométrica finita ( ) ${\displaystyle t\neq -1}$

${\displaystyle 1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}={\frac {1-(-t)^{n}}{1+t}}}$

lo que da

${\displaystyle {\frac {1}{1+t}}=1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}.}$

Resulta que

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t}}=\int _{0}^{x}\left(1-t+t^{2}-\cdots +(-t)^{n-1}+{\frac {(-t)^{n}}{1+t}}\right)\ dt}$

y por integración temporal,

${\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots +(-1)^{n-1}{\frac {x^{n}}{n}}+(-1)^{n}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{1+t}}\ dt.}$

Si , el término restante tiende a 0 como . ${\displaystyle -1<x\leq 1}$ ${\displaystyle n\to \infty }$

Esta expresión puede integrarse iterativamente k más veces para producir

${\displaystyle -xA_{k}(x)+B_{k}(x)\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {x^{n+k}}{n(n+1)\cdots (n+k)}},}$

dónde

${\displaystyle A_{k}(x)={\frac {1}{k!}}\sum _{m=0}^{k}{k \choose m}x^{m}\sum _{l=1}^{k-m}{\frac {(-x)^{l-1}}{l}}}$

y

${\displaystyle B_{k}(x)={\frac {1}{k!}}(1+x)^{k}}$

son polinomios en x . ^[3]

Casos especiales

El ajuste en la serie de Mercator produce la serie armónica alterna ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln(2).}$

Serie compleja

La serie de potencias complejas

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}=z+{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{4}}{4}}+\cdots }$

es la serie de Taylor para , donde log denota la rama principal del logaritmo complejo . Esta serie converge precisamente para todo número complejo . De hecho, como se ve por la prueba de relación , tiene un radio de convergencia igual a 1, por lo tanto converge absolutamente en cada disco B (0,  r ) con radio r  < 1. Además, converge uniformemente en cada disco mordisqueado , con δ  > 0. Esto se sigue inmediatamente de la identidad algebraica: ${\displaystyle -\log(1-z)}$ ${\displaystyle |z|\leq 1,z\neq 1}$ ${\textstyle {\overline {B(0,1)}}\setminus B(1,\delta )}$

${\displaystyle (1-z)\sum _{n=1}^{m}{\frac {z^{n}}{n}}=z-\sum _{n=2}^{m}{\frac {z^{n}}{n(n-1)}}-{\frac {z^{m+1}}{m}},}$

observando que el lado derecho es uniformemente convergente en todo el disco unitario cerrado.

Ver también

• Juan Craig
• Logaritmo natural más 1

Referencias

1. Vermij, Rienk (3 de febrero de 2012). "Bijdrage tot de bio-bibliografie van Johannes Hudde". GEWINA / TGGNWT (en holandés). 18 (1): 25–35. ISSN  0928-303X.
2. Roy, Ranjan (2021) [1ª ed. 2011]. Series y Productos en el Desarrollo de la Matemática . vol. 1 (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs.107, 167.
3. Medina, Luis A.; Moll, Víctor H .; Rowland, Eric S. (2011). "Primitivas iteradas de potencias logarítmicas". Revista Internacional de Teoría de Números . 7 (3): 623–634. arXiv : 0911.1325 . doi :10.1142/S179304211100423X. S2CID  115164019.

• Weisstein, Eric W. "Serie Mercator". MundoMatemático .
• Anton von Braunmühl (1903) Vorlesungen über Geschichte der Trigonometrie, página 134, a través de Internet Archive
• Eriksson, Larsson y Wahde. Matematisk analys med illämpningar , parte 3. Gotemburgo 2002. p. 10.
• Algunos contemporáneos de Descartes, Fermat, Pascal y Huygens de Breve relato de la historia de las matemáticas (cuarta edición, 1908) de WW Rouse Ball