Carga en movimiento

Load that changes in time

Ejemplos de carga en movimiento.

Tipos de carga en movimiento.

En dinámica estructural , una carga en movimiento cambia el punto en el que se aplica la carga a lo largo del tiempo. ^{[ cita requerida ]} Los ejemplos incluyen un vehículo que viaja a través de un puente ^{[ cita requerida ]} y un tren que se mueve a lo largo de una vía. ^{[ cita requerida ]}

Propiedades

En los modelos computacionales, la carga generalmente se aplica como

• una fuerza simple sin masa, ^{[ cita requerida ]}
• un oscilador, ^{[ cita requerida ]} o
• una fuerza inercial (masa y una fuerza sin masa). ^{[ cita requerida ]}

Existen numerosas revisiones históricas del problema de las cargas en movimiento. ^{[1] [2]} Varias publicaciones tratan problemas similares. ^[3]

La monografía fundamental está dedicada a las cargas sin masa. ^[4] La carga inercial en modelos numéricos se describe en ^[5].

^{En [6]} se describe una propiedad inesperada de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento de la partícula de masa que viaja sobre la cuerda, la viga de Timoshenko y la placa de Mindlin . Es la discontinuidad de la trayectoria de la masa cerca del final del tramo (bien visible en la cuerda a la velocidad v = 0,5 c ). ^{[ cita requerida ]} La carga en movimiento aumenta significativamente los desplazamientos. ^{[ cita requerida ]} La velocidad crítica, a la que el crecimiento de los desplazamientos es máximo, debe tenerse en cuenta en los proyectos de ingeniería. ^{[ cita requerida ]}

Las estructuras que transportan cargas móviles pueden tener dimensiones finitas o pueden ser infinitas y estar soportadas periódicamente o colocadas sobre una base elástica. ^{[ cita requerida ]}

Consideremos una cuerda de longitud l , sección transversal A , densidad de masa ρ y fuerza de tracción N , simplemente apoyada y sujeta a una fuerza constante P que se mueve con velocidad constante v . La ecuación de movimiento de la cuerda bajo la fuerza en movimiento tiene la forma ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle -N{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial x^{2}}}+\rho A{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial t^{2}}}=\delta (x-vt)P\ .}$

Los desplazamientos de cualquier punto de la cuerda simplemente apoyada están dados por la serie de senos ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle w(x,t)={\frac {2P}{\rho Al}}\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {1}{\omega _{(j)}^{2}-\omega ^{2}}}\left(\sin(\omega t)-{\frac {\omega }{\omega _{(j)}}}\sin(\omega _{(j)}t)\right)\sin {\frac {j\pi x}{l}}\ ,}$

dónde

${\displaystyle \omega ={\frac {j\pi v}{l}}\ ,}$

y la frecuencia circular natural de la cuerda

${\displaystyle \omega _{(j)}^{2}={\frac {j^{2}\pi ^{2}}{l^{2}}}{\frac {N}{\rho A}}\ .}$

En el caso de una carga en movimiento inercial, las soluciones analíticas son desconocidas. ^{[ cita requerida ]} La ecuación de movimiento se incrementa con el término relacionado con la inercia de la carga en movimiento. Una masa concentrada m acompañada de una fuerza puntual P : ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle -N{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial x^{2}}}+\rho A{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial t^{2}}}=\delta (x-vt)P-\delta (x-vt)m{\frac {{\mbox{d}}^{2}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}\ .}$

Convergencia de la solución para diferentes números de términos.

El último término, debido a la complejidad de los cálculos, es a menudo ignorado por los ingenieros. ^{[ cita requerida ]} La influencia de la carga se reduce al término de carga sin masa. ^{[ cita requerida ]} A veces, el oscilador se coloca en el punto de contacto. ^{[ cita requerida ]} Tales enfoques son aceptables solo en un rango bajo de la velocidad de la carga que se desplaza. ^{[ cita requerida ]} En rangos más altos, tanto la amplitud como la frecuencia de las vibraciones difieren significativamente en el caso de ambos tipos de carga. ^{[ cita requerida ]}

La ecuación diferencial se puede resolver de manera semianalítica sólo para problemas simples. ^{[ cita requerida ]} La serie que determina la solución converge bien y 2-3 términos son suficientes en la práctica. ^{[ cita requerida ]} Los problemas más complejos se pueden resolver mediante el método de elementos finitos ^{[ cita requerida ]} o el método de elementos finitos del espacio-tiempo. ^{[ cita requerida ]}

La discontinuidad de la trayectoria de la masa también es claramente visible en la viga de Timoshenko. ^{[ cita requerida ]} La alta rigidez al corte enfatiza el fenómeno. ^{[ cita requerida ]}

Vibraciones de la viga de Timoshenko: líneas rojas - ejes de la viga en el tiempo, línea negra - trayectoria de la masa (w ₀ - deflexión estática).

El enfoque de Renaudot contra el enfoque de Yakushev

Enfoque de Renaudot

${\displaystyle \delta (x-vt){\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}\left[m{\frac {{\mbox{d}}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t}}\right]=\delta (x-vt)m{\frac {{\mbox{d}}^{2}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}\ .}$^{[ cita requerida ]}

El enfoque de Yakushev

${\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}t}}\left[\delta (x-vt)m{\frac {{\mbox{d}}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t}}\right]=-\delta ^{\prime }(x-vt)mv{\frac {{\mbox{d}}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t}}+\delta (x-vt)m{\frac {{\mbox{d}}^{2}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}\ .}$^{[ cita requerida ]}

Cuerda sin masa bajo carga inercial en movimiento

Consideremos una cuerda sin masa, que es un caso particular de un problema de carga inercial en movimiento. El primero en resolver el problema fue Smith. ^[7] El análisis seguirá la solución de Fryba. ^[4] Suponiendo que ρ = 0, la ecuación de movimiento de una cuerda bajo una masa en movimiento se puede expresar de la siguiente forma ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle -N{\frac {\partial ^{2}w(x,t)}{\partial x^{2}}}=\delta (x-vt)P-\delta (x-vt)\,m{\frac {{\mbox{d}}^{2}w(vt,t)}{{\mbox{d}}t^{2}}}\ .}$

Imponemos condiciones de contorno con soporte simple y condiciones iniciales cero. ^{[ cita requerida ]} Para resolver esta ecuación usamos la propiedad de convolución. ^{[ cita requerida ]} Suponemos desplazamientos adimensionales de la cuerda y y tiempo adimensional τ : ^{[ cita requerida ]}

Cuerda sin masa y trayectoria masa-masa en movimiento.

${\displaystyle y(\tau )={\frac {w(vt,t)}{w_{st}}}\ ,\ \ \ \ \tau \ =\ {\frac {vt}{l}}\ ,}$

donde w _st es la deflexión estática en el medio de la cuerda. La solución viene dada por una suma

${\displaystyle y(\tau )={\frac {4\,\alpha }{\alpha \,-\,1}}\,\tau \,(\tau -1)\,\sum _{k=1}^{\infty }\,\prod _{i=1}^{k}{\frac {(a+i-1)(b+i-1)}{c+i-1}}\;{\frac {\tau ^{k}}{k!}}\ ,}$

donde α son los parámetros adimensionales:

${\displaystyle \alpha ={\frac {Nl}{2mv2}}\,>\,0\ \ \ \wedge \ \ \ \alpha \,\neq \,1\ .}$

Los parámetros a , b y c se dan a continuación

${\displaystyle a_{1,2}={\frac {3\,\pm \,{\sqrt {1+8\alpha }}}{2}}\ ,\ \ \ \ \ b_{1,2}={\frac {3\,\mp \,{\sqrt {1+8\alpha }}}{2}}\ ,\ \ \ \ \ c=2\ .}$

Cuerda sin masa y trayectoria masa-masa en movimiento, α=1.

En el caso de α = 1, el problema considerado tiene una solución cerrada: ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle y(\tau )=\left[{\frac {4}{3}}\tau (1-\tau )-{\frac {4}{3}}\tau \left(1+2\tau \ln(1-\tau )+2\ln(1-\tau )\right)\right]\ .}$

Referencias

1. Inglis, CE (1934). Tratado matemático sobre vibraciones en puentes ferroviarios . Cambridge University Press.
2. Schallenkamp, ​​A. (1937). "Schwingungen von Tragern bei bewegten Lasten". Ingenieur-Archiv (en alemán). 8 (3). Naturaleza del larguero: 182–98. doi :10.1007/BF02085995. S2CID  122387048.
3. AV Pesterev; LA Bergman; CA Tan; TC Tsao; B. Yang (2003). "Sobre la asintótica de la solución del problema del oscilador móvil" (PDF) . J. Sound Vib . Vol. 260. págs. 519–36. Archivado desde el original (PDF) el 2012-10-18 . Consultado el 2012-11-09 .
4. Fryba, L. (1999). Vibraciones de sólidos y estructuras bajo cargas en movimiento. Thomas Telford House. ISBN 9780727727411.
5. Bajer, CI; Dyniewicz, B. (2012). Análisis numérico de vibraciones de estructuras bajo carga inercial móvil . Apuntes de clase en mecánica aplicada y computacional. Vol. 65. Springer. doi :10.1007/978-3-642-29548-5. ISBN. 978-3-642-29547-8.
6. B. Dyniewicz y CI Bajer (2009). "Paradoja de la trayectoria de una partícula que se mueve sobre una cuerda". Arch. Appl. Mech . 79 (3): 213–23. Bibcode :2009AAM....79..213D. doi :10.1007/s00419-008-0222-9. S2CID  56291972.
7. CE Smith (1964). "Movimiento de una cuerda estirada que lleva una partícula de masa en movimiento". J. Appl. Mech . Vol. 31, núm. 1. págs. 29–37.