Coordenadas elipsoidales

Sistema de coordenadas tridimensional

Las coordenadas elipsoidales son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que generaliza el sistema de coordenadas elípticas bidimensionales . A diferencia de la mayoría de los sistemas de coordenadas ortogonales tridimensionales que presentan superficies de coordenadas cuadráticas , el sistema de coordenadas elipsoidal se basa en cuádricas confocales . ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$

Fórmulas básicas

Las coordenadas cartesianas se pueden obtener a partir de las coordenadas elipsoidales mediante las ecuaciones ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$

${\displaystyle x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}}$

${\displaystyle z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}}$

donde se aplican los siguientes límites a las coordenadas

${\displaystyle -\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.}$

En consecuencia, las superficies de constante son elipsoides. ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,}$

mientras que las superficies de constante son hiperboloides de una hoja ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,}$

porque el último término en el lado izquierdo es negativo y las superficies de constante son hiperboloides de dos hojas ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1}$

porque los dos últimos términos de la izquierda son negativos.

El sistema ortogonal de cuádricas utilizado para las coordenadas elipsoidales son cuádricas confocales .

Factores de escala y operadores diferenciales.

Por brevedad en las ecuaciones siguientes, introducimos una función

${\displaystyle S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)}$

donde puede representar cualquiera de las tres variables . Usando esta función, los factores de escala se pueden escribir ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$

${\displaystyle h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}}}$

${\displaystyle h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}}}$

${\displaystyle h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}}$

Por tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual

${\displaystyle dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu }$

y el laplaciano se define por

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\end{aligned}}}$

Otros operadores diferenciales como y se pueden expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales . ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\lambda ,\mu ,\nu )}$

Parametrización angular

Existe una parametrización alternativa que sigue de cerca la parametrización angular de coordenadas esféricas : ^[1]

${\displaystyle x=as\sin \theta \cos \phi ,}$

${\displaystyle y=bs\sin \theta \sin \phi ,}$

${\displaystyle z=cs\cos \theta .}$

Aquí, parametriza los elipsoides concéntricos alrededor del origen y son los ángulos polares y azimutales habituales de coordenadas esféricas, respectivamente. El elemento de volumen correspondiente es ${\displaystyle s>0}$ ${\displaystyle \theta \in [0,\pi ]}$ ${\displaystyle \phi \in [0,2\pi ]}$

${\displaystyle dx\,dy\,dz=abc\,s^{2}\sin \theta \,ds\,d\theta \,d\phi .}$

Ver también

• Latitud elipsoidal
• Focaloid (cáscara dada por dos superficies de coordenadas)
• Proyección cartográfica del elipsoide triaxial.

Referencias

1. "Momento cuadrupolo elipsoide".

Bibliografía

• Morse PM, Feshbach H (1953). Métodos de Física Teórica, Parte I. Nueva York: McGraw-Hill. pag. 663.
• Zwillinger D (1992). Manual de Integración . Boston, MA: Jones y Bartlett. pag. 114.ISBN​ 0-86720-293-9.
• Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nueva York: Springer Verlag. págs. 101-102. LCCN  67025285.
• Korn GA, Korn TM (1961). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 176. LCCN  59014456.
• Margenau H, Murphy GM (1956). Las Matemáticas de la Física y la Química . Nueva York: D. van Nostrand. págs. 178-180. LCCN  55010911.
• Luna PH, Spencer DE (1988). "Coordenadas elipsoidales (η, θ, λ)". Manual de teoría de campos, incluidos sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (segunda y tercera edición impresa corregida). Nueva York: Springer Verlag. Págs. 40 a 44 (cuadro 1.10). ISBN 0-387-02732-7.

Convención inusual

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Electrodinámica de Medios Continuos (Volumen 8 del Curso de Física Teórica ) (2ª ed.). Nueva York: Pergamon Press. págs. 19-29. ISBN 978-0-7506-2634-7. Utiliza coordenadas (ξ, η, ζ) que tienen las unidades de distancia al cuadrado.

enlaces externos

• Descripción de MathWorld de coordenadas elipsoidales confocales