La elección social fraccionaria , estocástica o ponderada es una rama de la teoría de la elección social en la que la decisión colectiva no es una única alternativa, sino una suma ponderada de dos o más alternativas. [1] Por ejemplo, si la sociedad tiene que elegir entre tres candidatos (A, B o C), entonces en la elección social estándar se elige exactamente uno de estos candidatos. Por el contrario, en la elección social fraccionaria es posible elegir cualquier combinación lineal de estos, por ejemplo, "2/3 de A y 1/3 de B". [2]
Una interpretación habitual de la suma ponderada es la de una lotería en la que el candidato A es elegido con una probabilidad de 2/3 y el candidato B con una probabilidad de 1/3. La regla también puede interpretarse como una receta para compartir, por ejemplo:
Existe un conjunto finito de alternativas (también llamadas: candidatos ) y un conjunto finito de votantes (también llamados: agentes ). Los votantes pueden tener diferentes preferencias sobre las alternativas. Las preferencias de los agentes pueden expresarse de varias maneras:
Una función de elección social aleatoria (RSCF) toma como entrada el conjunto de relaciones de preferencia de los votantes. Devuelve como salida una " mezcla ": un vector p de números reales en [0,1], un número para cada candidato, de modo que la suma de los números sea 1. Esta mezcla puede interpretarse como una variable aleatoria (una lotería), cuyo valor es igual a cada candidato x con probabilidad p ( x ). También puede interpretarse como una asignación determinista de una proporción fraccionaria a cada candidato.
Dado que los votantes expresan preferencias sobre candidatos individuales únicamente, para evaluar los RSCF es necesario "elevar" estas preferencias a preferencias sobre combinaciones. Este proceso de elevación se suele denominar extensión de lotería y da como resultado uno de varios ordenamientos estocásticos .
Dos propiedades básicas deseadas de las RSCF son el anonimato (los nombres de los votantes no importan) y la neutralidad (los nombres de los resultados no importan). El anonimato y la neutralidad no siempre pueden satisfacerse mediante una función de elección social determinista. Por ejemplo, si hay dos votantes y dos alternativas A y B, y cada votante quiere una alternativa diferente, entonces la única combinación anónima y neutral es 1/2*A+1/2*B. Por lo tanto, el uso de combinaciones es esencial para garantizar las propiedades básicas de equidad. [3] : 1
Las siguientes propiedades implican cambios en el conjunto de votantes o en el conjunto de alternativas.
Consistencia de Condorcet : si existe un ganador de Condorcet, entonces la función devuelve una mezcla degenerada en la que este ganador obtiene 1 y las otras alternativas obtienen 0 (es decir, el ganador de Condorcet se elige con probabilidad 1).
Consistencia de agenda : sea p una mezcla y sean A,B conjuntos de alternativas que contienen el apoyo de p . Entonces, la función devuelve p para A unión B, si y solo si devuelve p para A y para B. Esta propiedad fue llamada expansión/contracción por Sen. [4] [5] [6]
Consistencia de la población : si la función devuelve una mezcla p para dos conjuntos disjuntos de votantes, entonces devuelve el mismo p para su unión. [7] [8] [9]
Independencia de los clones (también llamada consistencia de clonación ): si una alternativa es "clonada", de tal manera que todos los votantes clasifican todos sus clones uno cerca del otro, entonces el peso (=probabilidad) de todas las otras alternativas en la mezcla devuelta no se ve afectado. [9]
Estas propiedades garantizan que un planificador central no pueda realizar manipulaciones simples como dividir alternativas, clonar alternativas o dividir la población.
Tenga en cuenta que las propiedades de consistencia dependen únicamente de la clasificación de las alternativas individuales: no requieren la clasificación de las mezclas.
Las siguientes propiedades implican comparaciones de mezclas. Para definirlas con exactitud, se necesita una suposición sobre cómo los votantes clasifican las mezclas. Esto requiere un orden estocástico en las loterías. Existen varios de estos ordenamientos; los más comunes en la teoría de la elección social, en orden de fuerza, son DD (dominación determinista), BD (dominación bilineal), SD (dominación estocástica) y PC (dominación por comparación por pares). Consulte el orden estocástico para obtener definiciones y ejemplos.
Eficiencia : ninguna combinación es mejor para al menos un votante y al menos igual de buena para todos los votantes. Se puede definir la eficiencia DD, la eficiencia BD, la eficiencia SD, la eficiencia PC y la eficiencia ex post (el resultado final siempre es eficiente).
A prueba de estrategias : informar preferencias falsas no conduce a una combinación que sea mejor para el votante. Una vez más, se puede definir la a prueba de estrategias DD, la a prueba de estrategias BD, la a prueba de estrategias SD y la a prueba de estrategias PC.
Participación : abstenerse de participar no conduce a una combinación que sea mejor para el votante. Una vez más, se puede definir la participación DD, la participación BD, la participación SD y la participación PC.
Algunas reglas comúnmente utilizadas para la elección social aleatoria son: [3]
Dictadura aleatoria : se selecciona un votante al azar y este determina el resultado. Si las preferencias son estrictas, se obtiene una mezcla en la que el peso de cada alternativa es exactamente proporcional al número de votantes que la clasifican en primer lugar. Si las preferencias son débiles y el votante elegido es indiferente entre dos o más opciones mejores, se selecciona un segundo votante al azar para que elija entre ellas, y así sucesivamente. Esta extensión se denomina dictadura aleatoria serial . Satisface los requisitos de eficiencia ex post, fuerte resistencia a la estrategia de SD, participación muy fuerte en SD, consistencia de agenda y consistencia de clonación. No cumple con los requisitos de consistencia de Condorcet, consistencia de composición y (con preferencias débiles) consistencia de población.
Max Borda : devuelve una combinación en la que todas las alternativas con el mayor recuento de Borda tienen un peso igual y todas las demás alternativas tienen un peso de 0. En otras palabras, elige aleatoriamente uno de los ganadores de Borda (se pueden utilizar otras funciones de puntuación en lugar de Borda). Satisface la eficiencia de SD, la participación de SD fuerte y la consistencia de la población, pero no satisface ninguna forma de prueba de estrategia ni ninguna otra consistencia.
Borda proporcional : devuelve una combinación en la que el peso de cada alternativa es proporcional a su recuento de Borda . En otras palabras, realiza una aleatorización entre todas las alternativas, donde la probabilidad de cada alternativa es proporcional a su puntaje (se pueden usar otras funciones de puntaje en lugar de Borda). Satisface una sólida resistencia a la estrategia de SD, una sólida participación de SD y una consistencia de población, pero no cualquier forma de eficiencia ni ninguna otra consistencia.
Loterías máximas : una regla basada en comparaciones de alternativas por pares. Para dos alternativas cualesquiera x,y , calculamos cuántos votantes prefieren x a y, y cuántos votantes prefieren y a x , y sea M xy la diferencia. La matriz resultante M se llama matriz de margen mayoritario . Una mezcla p se llama máxima si y solo si. Cuando se interpreta como una lotería, significa que p es débilmente preferida a cualquier otra lotería por una mayoría esperada de votantes (el número esperado de agentes que prefieren la alternativa devuelta por p a la devuelta por cualquier otra lotería q , es al menos tan grande como el número esperado de agentes que prefieren la alternativa devuelta por q a la devuelta por p ). Una lotería máxima es el análogo continuo de un ganador de Condorcet . Sin embargo, aunque un ganador de Condorcet podría no existir, una lotería máxima siempre existe. Esto se deduce de la aplicación del teorema Minimax a un juego de suma cero simétrico apropiado para dos jugadores. Satisface la eficiencia de PC, la resistencia a la estrategia DD, la participación de PC y todas las propiedades de consistencia, en particular, la consistencia Condorcet.
