Órbita de Kepler con una excentricidad menor que uno.
En astrodinámica o mecánica celeste , una órbita elíptica u órbita elíptica es una órbita de Kepler con una excentricidad menor que 1; esto incluye el caso especial de una órbita circular , con excentricidad igual a 0. En un sentido más estricto, es una órbita de Kepler con una excentricidad mayor que 0 y menor que 1 (excluyendo así la órbita circular). En un sentido más amplio, se trata de una órbita de Kepler con energía negativa . Esto incluye la órbita elíptica radial , con excentricidad igual a 1.
Bajo suposiciones estándar, no actúan otras fuerzas excepto dos cuerpos esféricamente simétricos m 1 y m 2 , [1] la velocidad orbital ( ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una órbita elíptica se puede calcular a partir de la ecuación de vis-viva como: [2]
dónde:
es el parámetro gravitacional estándar , G(m 1 +m 2 ), a menudo expresado como GM cuando un cuerpo es mucho más grande que el otro.
es la distancia entre el cuerpo en órbita y el centro de masa.
El período orbital es igual al de una órbita circular con el radio orbital igual al semieje mayor ( ),
Para un semieje mayor dado, el período orbital no depende de la excentricidad (Ver también: Tercera ley de Kepler ).
Energía
Bajo supuestos estándar, la energía orbital específica ( ) de una órbita elíptica es negativa y la ecuación de conservación de energía orbital (la ecuación de Vis-viva ) para esta órbita puede tomar la forma: [4]
el promedio temporal de la energía potencial específica es igual a −2ε
el promedio temporal de r −1 es a −1
el promedio temporal de la energía cinética específica es igual a ε
Energía en términos de semieje mayor.
Puede resultar útil conocer la energía en términos del semieje mayor (y las masas involucradas). La energía total de la órbita está dada por
,
donde a es el semieje mayor.
Derivación
Como la gravedad es una fuerza central, el momento angular es constante:
En las aproximaciones más cercana y más alejada, el momento angular es perpendicular a la distancia desde la masa orbitada, por lo tanto:
.
La energía total de la órbita viene dada por [5]
.
Sustituyendo v, la ecuación queda
.
Esto es cierto para r siendo la distancia más cercana/más lejana, por lo que se hacen dos ecuaciones simultáneas, que cuando se resuelven para E:
Dado que y , donde épsilon es la excentricidad de la órbita, se alcanza el resultado indicado.
Ángulo de la trayectoria de vuelo
El ángulo de la trayectoria de vuelo es el ángulo entre el vector de velocidad del cuerpo en órbita (igual al vector tangente a la órbita instantánea) y la horizontal local. Bajo supuestos estándar de conservación del momento angular, el ángulo de la trayectoria de vuelo satisface la ecuación: [6]
es la distancia radial del cuerpo en órbita desde el cuerpo central ,
es el ángulo de la trayectoria de vuelo
es el ángulo entre el vector de velocidad orbital y el semieje mayor. es la verdadera anomalía local . , por lo tanto,
¿Dónde está la excentricidad?
El momento angular está relacionado con el producto vectorial vectorial de la posición y la velocidad, que es proporcional al seno del ángulo entre estos dos vectores. Aquí se define como el ángulo que difiere 90 grados de este, por lo que aparece el coseno en lugar del seno.
Sin embargo, las ecuaciones de trayectoria de forma cerrada independientes del tiempo de una órbita elíptica con respecto a un cuerpo central se pueden determinar solo a partir de una posición inicial ( ) y una velocidad ( ).
Para este caso es conveniente utilizar los siguientes supuestos que difieren algo de los supuestos estándar anteriores:
La posición del cuerpo central es en el origen y es el foco principal ( ) de la elipse (alternativamente, se puede usar el centro de masa si el cuerpo en órbita tiene una masa significativa)
Se conoce la masa del cuerpo central (m1).
Se conocen la posición inicial ( ) y la velocidad ( ) del cuerpo en órbita.
La elipse se encuentra dentro del plano XY.
El cuarto supuesto se puede hacer sin pérdida de generalidad porque tres puntos (o vectores) cualesquiera deben estar dentro de un plano común. Según estos supuestos, el segundo foco (a veces llamado foco "vacío") también debe estar dentro del plano XY: .
Usando vectores
La ecuación general de una elipse bajo estos supuestos usando vectores es:
Debido a que se requieren absolutamente al menos seis variables para representar completamente una órbita elíptica con este conjunto de parámetros, entonces se requieren seis variables para representar una órbita con cualquier conjunto de parámetros. Otro conjunto de seis parámetros que se utilizan habitualmente son los elementos orbitales .
Sistema solar
En el Sistema Solar , los planetas , los asteroides , la mayoría de los cometas y algunos fragmentos de basura espacial tienen órbitas aproximadamente elípticas alrededor del Sol. Estrictamente hablando, ambos cuerpos giran alrededor del mismo foco de la elipse, el que está más cerca del cuerpo más masivo, pero cuando un cuerpo es significativamente más masivo, como el Sol en relación con la Tierra, el foco puede estar contenido dentro del mayor. cuerpo masa, y por eso se dice que el más pequeño gira alrededor de él. El siguiente gráfico del perihelio y afelio de los planetas , los planetas enanos y el cometa Halley demuestra la variación de la excentricidad de sus órbitas elípticas. Para distancias similares del sol, las barras más anchas denotan una mayor excentricidad. Tenga en cuenta la excentricidad casi nula de la Tierra y Venus en comparación con la enorme excentricidad del cometa Halley y Eris .
Distancias de cuerpos seleccionados del Sistema Solar al Sol. Los bordes izquierdo y derecho de cada barra corresponden al perihelio y afelio del cuerpo, respectivamente, por lo que las barras largas denotan una alta excentricidad orbital . El radio del Sol es de 0,7 millones de kilómetros y el radio de Júpiter (el planeta más grande) es de 0,07 millones de kilómetros, ambos demasiado pequeños para resolverlos en esta imagen.
Trayectoria elíptica radial
Una trayectoria radial puede ser un segmento de recta doble , que es una elipse degenerada con semieje menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, esta no es una órbita parabólica. Se aplican la mayoría de las propiedades y fórmulas de las órbitas elípticas. Sin embargo, la órbita no se puede cerrar. Es una órbita abierta correspondiente a la parte de la elipse degenerada desde que los cuerpos se tocan y se alejan hasta que se vuelven a tocar. En el caso de masas puntuales es posible una órbita completa, comenzando y terminando con una singularidad. Las velocidades al principio y al final son infinitas en direcciones opuestas y la energía potencial es igual a menos infinito.
La trayectoria elíptica radial es la solución de un problema de dos cuerpos con velocidad cero en algún instante, como en el caso de dejar caer un objeto (despreciando la resistencia del aire).
Historia
Los babilonios fueron los primeros en darse cuenta de que el movimiento del Sol a lo largo de la eclíptica no era uniforme, aunque desconocían por qué; hoy se sabe que esto se debe a que la Tierra se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol, moviéndose más rápido cuando está más cerca del Sol en el perihelio y más lento cuando está más lejos en el afelio . [8]
^ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; Blanco, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (Primera ed.). Nueva York: Dover. págs. 11-12. ISBN 0-486-60061-0.
^ Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Ciencias Planetarias Fundamentales: física, química y habitabilidad . Nueva York, NY, Estados Unidos: Cambridge University Press. págs. 29-31. ISBN9781108411981.
^ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; Blanco, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (Primera ed.). Nueva York: Dover. pag. 33.ISBN0-486-60061-0.
^ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; Blanco, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (Primera ed.). Nueva York: Dover. págs. 27-28. ISBN0-486-60061-0.
^ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; Blanco, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (Primera ed.). Nueva York: Dover. pag. 15.ISBN0-486-60061-0.
^ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; Blanco, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (Primera ed.). Nueva York: Dover. pag. 18.ISBN0-486-60061-0.
^ Bate, Roger R.; Mueller, Donald D.; Blanco, Jerry E. (1971). Fundamentos de la astrodinámica (Primera ed.). Nueva York: Dover. pag. 17.ISBN0-486-60061-0.
^ David Leverington (2003), De Babilonia a la Voyager y más allá: una historia de la astronomía planetaria, Cambridge University Press , págs. 6–7, ISBN0-521-80840-5
Fuentes
D'Eliseo, Maurizio M. (2007). "La ecuación orbital de primer orden". Revista Estadounidense de Física . 75 (4): 352–355. Código bibliográfico : 2007AmJPh..75..352D. doi : 10.1119/1.2432126.
D'Eliseo, Maurizio M.; Mironov, Sergey V. (2009). "La elipse gravitacional". Revista de Física Matemática . 50 (2): 022901. arXiv : 0802.2435 . Código Bib : 2009JMP....50a2901M. doi : 10.1063/1.3078419.
Subprograma de Java que anima la órbita de un satélite en una órbita elíptica de Kepler alrededor de la Tierra con cualquier valor para el semieje mayor y la excentricidad.