En teoría de grupos , el teorema de incrustación de Higman establece que todo grupo R presentado recursivamente y generado finitamente puede incrustarse como un subgrupo de algún grupo presentado finitamente G. Este es un resultado de Graham Higman de la década de 1960. [1]
Por otra parte, es un teorema fácil que cada subgrupo finitamente generado de un grupo finitamente presentado se presenta recursivamente, por lo que los grupos finitamente generados presentados recursivamente son (salvo isomorfismo) exactamente los subgrupos finitamente generados de los grupos finitamente presentados.
Dado que cada grupo contable es un subgrupo de un grupo generado finitamente, el teorema puede reformularse para esos grupos.
Como corolario , existe un grupo universal finitamente presentado que contiene todos los grupos finitamente presentados como subgrupos (salvo isomorfismo); de hecho, sus subgrupos finitamente generados son exactamente los grupos finitamente generados y presentados recursivamente (de nuevo, salvo isomorfismo).
El teorema de incrustación de Higman también implica el teorema de Novikov-Boone (probado originalmente en la década de 1950 por otros métodos) sobre la existencia de un grupo finitamente presentado con un problema verbal indecidible algorítmicamente . De hecho, es bastante fácil construir un grupo finitamente presentado recursivamente generado con un problema verbal indecidible. Entonces, cualquier grupo finitamente presentado que contenga a este grupo como subgrupo también tendrá un problema verbal indecidible.
La prueba habitual del teorema utiliza una secuencia de extensiones HNN que comienzan con R y terminan con un grupo G que se puede demostrar que tiene una presentación finita. [2]