Teorema de Isserlis

En teoría de la probabilidad , el teorema de Isserlis o teorema de probabilidad de Wick es una fórmula que permite calcular momentos de orden superior de la distribución normal multivariada en términos de su matriz de covarianza. Lleva el nombre de León Isserlis .

Este teorema también es particularmente importante en la física de partículas , donde se conoce como teorema de Wick por el trabajo de Wick (1950). ^[1] Otras aplicaciones incluyen el análisis de los rendimientos de carteras, ^[2] la teoría cuántica de campos ^[3] y la generación de ruido coloreado. ^[4]

Declaración

Si es un vector aleatorio normal multivariado de media cero , entonces la suma está sobre todos los pares de , es decir, todas las formas distintas de dividir en pares , y el producto está sobre los pares contenidos en . ^{[5] [6]} ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{n}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {E} [\,X_{i}X_{j}\,]=\sum _{p\in P_{n}^{2}}\prod _{\{i,j\}\in p}\operatorname {Cov} (\,X_{i},X_{j}\,),}$$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle \{i,j\}}$ ${\displaystyle p}$

De manera más general, si es un vector aleatorio normal multivariado de valor complejo de media cero , entonces la fórmula sigue siendo válida. ${\displaystyle (Z_{1},\dots ,Z_{n})}$

La expresión del lado derecho también se conoce como hafniano de la matriz de covarianza de . ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{n})}$

Caso extraño

Si es impar, no existe ningún par de . Bajo esta hipótesis, el teorema de Isserlis implica que Esto también se deriva del hecho de que tiene la misma distribución que , lo que implica que . ${\displaystyle n=2m+1}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,2m+1\}}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}\cdots X_{2m+1}\,]=0.}$$ ${\displaystyle -X=(-X_{1},\dots ,-X_{n})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=\operatorname {E} [\,(-X_{1})\cdots (-X_{2m+1})\,]=-\operatorname {E} [\,X_{1}\cdots X_{2m+1}\,]=0}$

caso par

En su artículo original, ^[7] Leon Isserlis demuestra este teorema por inducción matemática, generalizando la fórmula para los momentos de orden, ^[8] que toma la apariencia ${\displaystyle 4^{\text{th}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\,X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}\,]=\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]\,\operatorname {E} [X_{3}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{3}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{4}]+\operatorname {E} [X_{1}X_{4}]\,\operatorname {E} [X_{2}X_{3}].}$

Si es par, existen (ver factorial doble ) particiones de pares de : esto produce términos en la suma. Por ejemplo, para los momentos de orden (es decir, variables aleatorias) hay tres términos. Para los momentos de orden hay términos, y para los momentos de orden hay términos. ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,2m\}}$ ${\displaystyle (2m)!/(2^{m}m!)=(2m-1)!!}$ ${\displaystyle 4^{\text{th}}}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 6^{\text{th}}}$ ${\displaystyle 3\times 5=15}$ ${\displaystyle 8^{\text{th}}}$ ${\displaystyle 3\times 5\times 7=105}$

Ejemplo

Podemos evaluar la función característica de las gaussianas mediante el teorema de Isserlis: $${\displaystyle E[e^{-iX}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{k}}{k!}}E[X^{k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}E[X^{2k}]=\sum _{k}{\frac {(-i)^{2k}}{(2k)!}}{\frac {(2k)!}{k!2^{k}}}E[X^{2}]^{k}=e^{-{\frac {1}{2}}E[X^{2}]}}$$

Prueba

Dado que ambos lados de la fórmula son multilineales , si podemos probar el caso real, obtenemos el caso complejo de forma gratuita. ${\displaystyle X_{1},...,X_{n}}$

Sea la matriz de covarianza, de modo que tengamos el vector aleatorio normal multivariado de media cero . Dado que ambos lados de la fórmula son continuos con respecto a , basta probar el caso cuando es invertible. ${\displaystyle \Sigma _{ij}=\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})}$ ${\displaystyle (X_{1},...,X_{n})\sim N(0,\Sigma )}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Usando factorización cuadrática , obtenemos ${\displaystyle -x^{T}\Sigma ^{-1}x/2+v^{T}x-v^{T}\Sigma v/2=-(x-\Sigma v)^{T}\Sigma ^{-1}(x-\Sigma v)/2}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{n}\det \Sigma }}}\int e^{-x^{T}\Sigma ^{-1}x/2+v^{T}x}dx=e^{v^{T}\Sigma v/2}}$$

Diferenciar bajo el signo integral con para obtener ${\displaystyle \partial _{v_{1},...,v_{n}}|_{v_{1},...,v_{n}=0}}$

$${\displaystyle E[X_{1}\cdots X_{n}]=\partial _{v_{1},...,v_{n}}|_{v_{1},...,v_{n}=0}e^{v^{T}\Sigma v/2}}$$.

Es decir, sólo necesitamos encontrar el coeficiente del término en el desarrollo de Taylor de . ${\displaystyle v_{1}\cdots v_{n}}$ ${\displaystyle e^{v^{T}\Sigma v/2}}$

Si es impar, es cero. Entonces , entonces solo necesitamos encontrar el coeficiente del término en el polinomio . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle v_{1}\cdots v_{n}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{m!}}(v^{T}\Sigma v/2)^{m}}$

Ampliamos el polinomio y contamos, obtenemos la fórmula. ${\displaystyle \square }$

Generalizaciones

Integración gaussiana por partes

Una formulación equivalente de la fórmula de probabilidad de Wick es la integración gaussiana por partes . Si es un vector aleatorio normal multivariado de media cero , entonces ${\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})}$

$${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}f(X_{1},\ldots ,X_{n}))=\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Cov} (X_{1},X_{i})\operatorname {E} (\partial _{X_{i}}f(X_{1},\ldots ,X_{n})).}$$Esta es una generalización del lema de Stein .

La fórmula de probabilidad de Wick se puede recuperar por inducción, considerando la función definida por . Entre otras cosas, esta formulación es importante en la teoría de campos conforme de Liouville para obtener identidades de Ward conformes , ecuaciones BPZ ^[9] y para probar la fórmula de Fyodorov-Bouchaud. ^[10] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{2}\ldots x_{n}}$

Variables aleatorias no gaussianas

Para variables aleatorias no gaussianas, la fórmula de momento- acumulantes ^[11] reemplaza la fórmula de probabilidad de Wick. Si es un vector de variables aleatorias , entonces cuando la suma está sobre todas las particiones de , el producto está sobre los bloques de y es el acumulante conjunto de . ${\displaystyle (X_{1},\dots X_{n})}$ $${\displaystyle \operatorname {E} (X_{1}\ldots X_{n})=\sum _{p\in P_{n}}\prod _{b\in p}\kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )},}$$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \kappa {\big (}(X_{i})_{i\in b}{\big )}}$ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in b}}$

Ver también

• teorema de wick
• Acumulantes
• Distribución normal

Referencias

1. Mecha, GC (1950). "La evaluación de la matriz de colisiones". Revisión física . 80 (2): 268–272. Código Bib : 1950PhRv...80..268W. doi : 10.1103/PhysRev.80.268.
2. Repetowicz, Przemysław; Richmond, Peter (2005). "Inferencia estadística de parámetros de distribución multivariados para series temporales distribuidas no gaussianas" (PDF) . Acta Física Polonica B. 36 (9): 2785–2796. Código Bib : 2005AcPPB..36.2785R.
3. Pérez-Martín, S.; Robledo, LM (2007). "El teorema de Wick generalizado para la superposición de multicuasipartículas como límite del teorema de Gaudin". Revisión Física C. 76 (6): 064314. arXiv : 0707.3365 . Código bibliográfico : 2007PhRvC..76f4314P. doi : 10.1103/PhysRevC.76.064314. S2CID  119627477.
4. Bartosch, L. (2001). "Generación de ruido de colores". Revista Internacional de Física Moderna C. 12 (6): 851–855. Código Bib : 2001IJMPC..12..851B. doi :10.1142/S0129183101002012. S2CID  54500670.
5. Janson, Svante (junio de 1997). Espacios gaussianos de Hilbert. Núcleo de Cambridge. doi :10.1017/CBO9780511526169. ISBN 9780521561280. Consultado el 30 de noviembre de 2019 .
6. Michalowicz, JV; Nicols, JM; Bucholtz, F.; Olson, CC (2009). "Un teorema de Isserlis para variables gaussianas mixtas: aplicación a la densidad autobiespectral". Revista de Física Estadística . 136 (1): 89-102. Código Bib : 2009JSP...136...89M. doi :10.1007/s10955-009-9768-3. S2CID  119702133.
7. Isserlis, L. (1918). "Sobre una fórmula para el coeficiente producto-momento de cualquier orden de una distribución de frecuencia normal en cualquier número de variables". Biometrika . 12 (1–2): 134–139. doi :10.1093/biomet/12.1-2.134. JSTOR  2331932.
8. Isserlis, L. (1916). "Sobre ciertos errores probables y coeficientes de correlación de distribuciones de frecuencias múltiples con regresión sesgada". Biometrika . 11 (3): 185-190. doi :10.1093/biomet/11.3.185. JSTOR  2331846.
9. Kupiainen, Antti; Rodas, Rémi; Vargas, Vicente (1 de noviembre de 2019). "Estructura conformal local de la gravedad cuántica de Liouville". Comunicaciones en Física Matemática . 371 (3): 1005–1069. arXiv : 1512.01802 . Código Bib : 2019CMaPh.371.1005K. doi :10.1007/s00220-018-3260-3. ISSN  1432-0916. S2CID  55282482.
10. Rémy, Guillaume (2020). "La fórmula de Fyodorov-Bouchaud y la teoría de campos conforme de Liouville". Revista de Matemáticas de Duke . 169 . arXiv : 1710.06897 . doi :10.1215/00127094-2019-0045. S2CID  54777103.
11. Leonov, vicepresidente; Shiryaev, AN (enero de 1959). "Sobre un método de cálculo de semiinvariantes". Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones . 4 (3): 319–329. doi :10.1137/1104031.

Otras lecturas

• Koopmans, Lambert G. (1974). El análisis espectral de series temporales . San Diego, CA: Prensa académica .