Teorema de Eberhard

Teorema que relaciona el número de aristas, vértices y caras de un poliedro

En matemáticas , y más particularmente en combinatoria poliédrica , el teorema de Eberhard caracteriza parcialmente los multiconjuntos de polígonos que pueden formar las caras de poliedros convexos simples . Afirma que, para un número dado de triángulos, cuadriláteros, pentágonos, heptágonos y otros polígonos distintos de los hexágonos, existe un poliedro convexo con ese número dado de caras de cada tipo (y un número no especificado de caras hexagonales) si y solo si ese número de polígonos obedece a una ecuación lineal derivada de la fórmula poliédrica de Euler . ^[1]

El teorema debe su nombre a Victor Eberhard , un matemático alemán ciego , que lo publicó en 1888 en su tesis de habilitación y en forma ampliada en un libro de 1891 sobre poliedros. ^{[1] [2] [3]}

Definiciones y declaraciones

Para un poliedro convexo arbitrario, se pueden definir los números , , , etc., donde cuenta las caras del poliedro que tienen exactamente lados. Un poliedro convexo tridimensional se define como simple cuando cada vértice del poliedro incide exactamente en tres aristas. En un poliedro simple, cada vértice incide en tres ángulos de las caras y cada arista incide en dos lados de las caras. Dado que se dan los números de ángulos y lados de las caras, se pueden calcular los tres números (el número total de vértices), (el número total de aristas) y (el número total de caras), sumando todas las caras y multiplicando por un factor apropiado: ^[1] ${\displaystyle p_{3}}$ ${\displaystyle p_{4}}$ ${\displaystyle p_{5}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle v={\frac {1}{3}}\sum _{i}i\,p_{i},}$

${\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{i}i\,p_{i},}$

y

${\displaystyle f=\sum _{i}p_{i}.}$

Introduciendo estos valores en la fórmula poliédrica de Euler y despejando los denominadores se llega a la ecuación ${\displaystyle v-e+f=2}$

${\displaystyle \sum _{i}(6-i)p_{i}=12,}$

que debe ser satisfecha por el número de caras de cada poliedro simple. Sin embargo, esta ecuación no se ve afectada por el valor de (ya que su multiplicador es cero) y, para algunas elecciones de los otros números de caras, cambiar puede cambiar si existe o no un poliedro con esos números de caras. Es decir, obedecer esta ecuación en los números de caras es una condición necesaria para la existencia de un poliedro, pero no una condición suficiente, y una caracterización completa de qué números de caras son realizables necesitaría tener en cuenta el valor de . ^[1] ${\displaystyle p_{6}}$ ${\displaystyle 6-i}$ ${\displaystyle p_{6}}$ ${\displaystyle p_{6}}$

El teorema de Eberhard implica que la ecuación anterior es la única condición necesaria que no depende de . Afirma que, si una asignación de números a (omitiendo ) obedece la ecuación ${\displaystyle p_{6}}$ ${\displaystyle p_{3},p_{4},p_{5},p_{7},\dots }$ ${\displaystyle p_{6}}$

${\displaystyle \sum _{i}(6-i)p_{i}=12,}$

entonces existe un valor de y un poliedro convexo simple con caras de lados exactos para todos . ^[1] ${\displaystyle p_{6}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

Ejemplos

Hay tres sólidos platónicos simples , el tetraedro , el cubo y el dodecaedro . El tetraedro tiene , el cubo tiene , y el dodecaedro tiene , siendo todos los demás valores de cero. Estas tres asignaciones de números a obedecen todas a la ecuación que el teorema de Eberhard requiere que obedezcan. La existencia de estos poliedros muestra que, para estas tres asignaciones de números a , existe un poliedro con . El caso del dodecaedro, con y todos los demás excepto cero, describe de forma más general los fulerenos . No existe ningún fulereno con pero estos gráficos son realizables para cualquier otro valor de ; ^[4] véase, por ejemplo, el gráfico de 26-fulerenos , con . ${\displaystyle p_{3}=4}$ ${\displaystyle p_{4}=6}$ ${\displaystyle p_{5}=12}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{6}=0}$ ${\displaystyle p_{5}=12}$ ${\displaystyle p_{6}}$ ${\displaystyle p_{6}=1}$ ${\displaystyle p_{6}}$ ${\displaystyle p_{6}=3}$

Un hexágono divide el cubo en dos copias de un poliedro simple con una cara hexagonal, tres caras de triángulos rectángulos isósceles y tres caras pentagonales irregulares. No es posible formar un poliedro simple utilizando solo tres triángulos y tres pentágonos sin el hexágono agregado.

No existe ningún poliedro convexo simple con tres caras triangulares, tres caras pentagonales y ninguna otra cara. Es decir, es imposible tener un poliedro convexo simple con , y para . Sin embargo, el teorema de Eberhard establece que debería ser posible formar un poliedro simple agregando una cierta cantidad de hexágonos, y en este caso un hexágono es suficiente: dividir un cubo en dos en un hexágono regular que pase por seis de sus caras produce dos copias de un poliedro simple sin techo con tres caras triangulares, tres caras pentagonales y una cara hexagonal. Es decir, en este caso es suficiente establecer para producir una combinación realizable de números de caras. ^[5] ${\displaystyle p_{3}=p_{5}=3}$ ${\displaystyle p_{i}=0}$ ${\displaystyle i\notin \{3,5\}}$ ${\displaystyle p_{6}=1}$

Resultados relacionados

Un resultado análogo al del teorema de Eberhard se cumple para la existencia de poliedros en los que todos los vértices inciden sobre exactamente cuatro aristas. En este caso, la ecuación derivada de la fórmula de Euler no se ve afectada por el número de cuadriláteros, y para cada asignación al número de caras de otros tipos que obedece a esta ecuación es posible elegir un número de cuadriláteros que permita realizar un poliedro 4-regular. ^[1] ${\displaystyle p_{4}}$

Una versión reforzada del teorema de Eberhard establece que, en las mismas condiciones que el teorema original, existe un número tal que todas las opciones que son mayores que iguales y tienen la misma paridad que las realizables por poliedros convexos simples. ^[6] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p_{6}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Un teorema de David W. Barnette establece un límite inferior para el número de hexágonos que se necesitan, siempre que el número de caras de orden siete o superior sea al menos tres. Afirma que, en estos casos,

${\displaystyle p_{6}\geq 2+{\frac {p_{3}}{2}}-{\frac {p_{5}}{2}}-\sum _{i>6}p_{i}.}$

En el caso de polígonos con pocos pentágonos y muchas caras de orden superior, esta desigualdad puede obligar a que el número de hexágonos sea arbitrariamente grande. Más concretamente, se puede utilizar para encontrar asignaciones a los números de caras para los que el número requerido de hexágonos no puede limitarse mediante ninguna función del número máximo de lados de una cara. ^[7]

También se han estudiado análogos del teorema de Eberhard para otros sistemas de caras y números de caras distintos de los poliedros convexos simples, por ejemplo para gráficos toroidales ^[8] y para teselaciones . ^[9]

Véase también

• Teorema de Erdös-Gallai
• Teorema de Grinberg

Referencias

1. Grünbaum, Branko (2003), "13.3 Teorema de Eberhard", Polítopos convexos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 221 (2.ª ed.), Springer, págs. 253-271
2. Eberhard, Victor (1891), Zur Morphologie der Polyeder (en alemán), Teubner, JFM  23.0544.03
3. "Viktor Eberhard", Catalogus Professorum Halensis (en alemán), Universidad Martín Lutero de Halle-Wittenberg , consultado el 2 de septiembre de 2020
4. Grünbaum, Branko (1968), "Algunos análogos del teorema de Eberhard sobre politopos convexos", Israel Journal of Mathematics , 6 : 398–411 (1969), doi : 10.1007/BF02771220 , MR  0244854
5. Para la inexistencia de un poliedro con tres triángulos, tres pentágonos y ningún hexágono, y la existencia de un poliedro con un hexágono, véase Grünbaum (2003), tercera fila de la Tabla 13.3.1, página 268.
6. Fisher, JC (1974), "Un teorema de existencia para poliedros convexos simples", Discrete Mathematics , 7 : 75–97, doi : 10.1016/S0012-365X(74)80020-8 , MR  0333984
7. Barnette, David (1969), "Sobre los vectores de 3-politopos", Journal of Combinatorial Theory , 7 : 99–103, doi : 10.1016/S0021-9800(69)80042-6 , MR  0244851 ${\displaystyle p}$
8. Gritzmann, Peter (1983), "El análogo toroidal del teorema de Eberhard", Mathematika , 30 (2): 274–290 (1984), doi :10.1112/S002557930001055X, MR  0737179
9. Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1982), "Los teoremas de Euler y Eberhard para teselación del plano", Results in Mathematics , 5 (1): 19–44, doi :10.1007/bf03323298, MR  0662793