Teleparalelismo

El teleparalelismo (también llamado gravedad teleparalela ) fue un intento de Albert Einstein ^[1] de basar una teoría unificada del electromagnetismo y la gravedad en la estructura matemática del paralelismo distante, también conocido como paralelismo absoluto o teleparalelismo. En esta teoría, un espacio-tiempo se caracteriza por una conexión lineal sin curvatura junto con un campo tensorial métrico , ambos definidos en términos de un campo de tétrada dinámico .

Espacio-tiempos teleparalelos

La idea crucial nueva, para Einstein, fue la introducción de un campo de tétrada , es decir, un conjunto ${X 1, X 2, X 3, X 4}$ de cuatro campos vectoriales definidos en todo M tales que para cada $p$ $\in$ $M$ el conjunto ${X$ $1$ $($ $p$ $), X$ $2$ $($ $p$ $), X$ $3$ $($ $p$ $), X$ $4$ $($ $p$ $)}$ es una base de $T$ $p$ $M$ , donde $T$ $p$ $M$ denota la fibra sobre $p$ del fibrado vectorial tangente $TM$ . Por lo tanto, la variedad espaciotemporal de cuatro dimensiones $M$ debe ser una variedad paralelizable . El campo de tétrada se introdujo para permitir la comparación distante $de$ la dirección de los vectores tangentes en diferentes puntos de la variedad, de ahí el nombre de paralelismo distante. Su intento fracasó porque no había una solución de Schwarzschild en su ecuación de campo simplificada.

De hecho, se puede definir la conexión de la paralelización (también llamada conexión de Weitzenböck ) ${X i}$ como la conexión lineal $\nabla$ en $M$ tal que ^[2]

$\nabla _{v}(f^{i}\mathrm {X} _{i}\right)=\left(vf^{i}\right)\mathrm {X} _{i}(p),$

donde $v \in T p M$ y $f i$ son funciones (globales) en $M$ ; por lo tanto $f i X i$ es un campo vectorial global en $M$ . En otras palabras, los coeficientes de conexión de Weitzenböck $\nabla$ con respecto a ${X i}$ son todos idénticamente cero, definidos implícitamente por:

$\nabla _{\mathrm {X} _{i}}\mathrm {X} _{j}=0,$

por eso

${W^{k}}_{ij}=\omega ^{k}\left(\nabla _{\mathrm {X} _{i}}\mathrm {X} _{j}\right)\equiv 0,$

para los coeficientes de conexión (también llamados coeficientes de Weitzenböck) en esta base global. Aquí $ω k$ es la base global dual (o coframe) definida por $ω i (X j) = δ Yo, yo$ .

Esto es lo que suele ocurrir en $R n$ , en cualquier espacio afín o grupo de Lie (por ejemplo la esfera 'curva' $S 3$ pero variedad 'Weitzenböck plana').

Utilizando la ley de transformación de una conexión, o equivalentemente las propiedades $\nabla$ , tenemos el siguiente resultado.

Proposición . En una base natural, asociada a coordenadas locales $(U, x μ)$ , es decir, en el marco holonómico $\partial μ$ , los coeficientes de conexión (locales) de la conexión de Weitzenböck están dados por:
${\Gamma ^{\beta }}_{\mu \nu }=h_{i}^{\beta }\partial _ {\nu }h_{\mu }^{i},$
donde $Xi = h yo \partial μ$ para $i, μ = 1, 2,\dots n$ son las expresiones locales de un objeto global, es decir, la tétrada dada.

La conexión de Weitzenböck tiene una curvatura que se desvanece, pero – en general – una torsión que no se desvanece .

Dado el cuerpo de referencia ${X i}$ , también se puede definir una métrica concibiendo el cuerpo de referencia como un cuerpo vectorial ortonormal. Se obtendría entonces un cuerpo tensorial métrico pseudo-riemanniano $g$ de signatura (3,1) mediante

$g\left(\mathrm {X} _{i},\mathrm {X} _{j}\right)=\eta _{ij},$

dónde

$\eta _{ij}=\operatorname {diag} (-1,-1,-1,1).$

El espacio-tiempo subyacente correspondiente se denomina, en este caso, espacio-tiempo de Weitzenböck . ^[3]

Vale la pena señalar que estos "campos vectoriales paralelos" dan lugar al tensor métrico como subproducto.

Nueva teoría de la gravedad teleparalela

La nueva teoría de la gravedad teleparalela (o nueva relatividad general ) es una teoría de la gravitación en el espacio-tiempo de Weitzenböck, y atribuye la gravitación al tensor de torsión formado por los campos vectoriales paralelos.

En la nueva teoría de la gravedad teleparalela los supuestos fundamentales son los siguientes:

El espacio-tiempo subyacente es el espacio-tiempo de Weitzenböck, que tiene como estructura fundamental un cuarteto de campos vectoriales paralelos. Estos campos vectoriales paralelos dan lugar al tensor métrico como subproducto. Todas las leyes físicas se expresan mediante ecuaciones que son covariantes o invariantes de forma bajo el grupo de transformaciones generales de coordenadas.
El principio de equivalencia sólo es válido en la física clásica.
Las ecuaciones del campo gravitacional se pueden derivar del principio de acción.
Las ecuaciones de campo son ecuaciones diferenciales parciales en las variables de campo de no mayor que el segundo orden.

En 1961, Christian Møller ^[4] revivió la idea de Einstein, y Pellegrini y Plebanski ^[5] encontraron una formulación lagrangiana para el paralelismo absoluto .

Teoría de la gravitación en tétrada de Møller

En 1961, Møller ^[4]^[6] demostró que una descripción de los campos gravitatorios en tétradas permite un tratamiento más racional del complejo energía-momento que en una teoría basada únicamente en el tensor métrico . La ventaja de utilizar tétradas como variables gravitatorias estaba relacionada con el hecho de que esto permitía construir expresiones para el complejo energía-momento que tenían propiedades de transformación más satisfactorias que en una formulación puramente métrica. En 2015, se demostró que la energía total de la materia y la gravitación es proporcional al escalar de Ricci del espacio tridimensional hasta el orden lineal de perturbación. ^[7]

Nueva traducción de la teoría de la gravedad de calibración teleparalela

Independientemente en 1967, Hayashi y Nakano ^[8] revivieron la idea de Einstein, y Pellegrini y Plebanski ^[5] comenzaron a formular la teoría de calibración del grupo de traslación del espacio-tiempo . ^{[ aclaración necesaria ]} Hayashi señaló la conexión entre la teoría de calibración del grupo de traslación del espacio-tiempo y el paralelismo absoluto. La primera formulación del haz de fibras fue proporcionada por Cho. ^[9] Este modelo fue estudiado posteriormente por Schweizer et al., ^[10] Nitsch y Hehl, Meyer; ^{[ cita requerida ]} Se pueden encontrar avances más recientes en Aldrovandi y Pereira, Gronwald, Itin, Maluf y da Rocha Neto, Münch, Obukhov y Pereira, y Schucking y Surowitz. ^{[ cita requerida ]}

En la actualidad, el teleparalelismo se estudia puramente como teoría de la gravedad ^[11] sin intentar unificarlo con el electromagnetismo. En esta teoría, el campo gravitatorio resulta estar completamente representado por el potencial de calibración traslacional $B a μ$ , como debería ser para una teoría de calibración para el grupo de traslación.

Si se hace esta elección, entonces ya no hay simetría de calibración de Lorentz porque la fibra interna del espacio de Minkowski —sobre cada punto de la variedad del espacio-tiempo— pertenece a un fibrado de fibras con el grupo abeliano $R$ $4$ como grupo estructural . Sin embargo, se puede introducir una simetría de calibración traslacional de la siguiente manera: En lugar de ver las tétradas como fundamentales, introducimos en cambio una simetría de calibración traslacional fundamental $R$ $4$ (que actúa sobre las fibras internas del espacio de Minkowski de manera afín de modo que esta fibra se vuelve local una vez más) con una conexión $B$ y un "campo de coordenadas" $x$ que toma valores en la fibra del espacio de Minkowski.

Más precisamente, sea $π : M \to M$ el fibrado de Minkowski sobre la variedad espaciotemporal $M$ . Para cada punto $p$ $\in$ $M$ , la fibra $M$ $p$ es un espacio afín . En un gráfico de fibras $($ $V$ $,$ $ψ$ $)$ , las coordenadas se denotan usualmente por $ψ$ $= ($ $x$ $μ$ $,$ $x$ $a$ $)$ , donde $x$ $μ$ son coordenadas en la variedad espaciotemporal $M$ , y $x$ $a$ son coordenadas en la fibra $M$ $p$ .

Usando la notación de índice abstracto , sea $a, b, c,\dots$ que se refieren a $M p$ y $μ, ν,\dots$ que se refieren al fibrado tangente $TM$ . En cualquier calibre particular, el valor de $x a$ en el punto p está dado por la sección

$x^{\mu }\to \left(x^{\mu },x^{a}=\xi ^{a}(p)\right).$

La derivada covariante

$D_{\mu}\xi ^{a}\equiv \left(d\xi ^{a}\right)_{\mu}+{B^{a}}_{\mu}=\partial _{\mu}\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu}$

se define con respecto a la forma de conexión $B$ , una 1-forma que asume valores en el álgebra de Lie del grupo abeliano traslacional $R 4$ . Aquí, d es la derivada exterior del componente $a$ ésimo de $x$ , que es un campo escalar (por lo que no es una notación de índice abstracta pura). Bajo una transformación de calibre por el campo de traslación $α$ $a$ ,

$x^{a}\to x^{a}+\alpha ^{a}$

${B^{a}}_{\mu }\to {B^{a}}_{\mu }-\partial _{\mu }\alpha ^{a}$

y por lo tanto, la derivada covariante de $x a = ξ a (p)$ es invariante de calibre . Esto se identifica con la (co-)tétrada traslacional

${h^{a}}_{\mu }=\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }$

que es una forma unitaria que toma valores en el álgebra de Lie del grupo abeliano traslacional $R 4$ , por lo que es invariante de calibración. ^[12] Pero, ¿qué significa esto? $x a = ξ a (p)$ es una sección local del fibrado interno afín (traslacional puro) $M \to M$ , otra estructura importante además del campo de calibración traslacional $B a μ$ . Geométricamente, este campo determina el origen de los espacios afines; se conoce como vector de radio de Cartan . En el marco de la teoría de calibración, la forma unitaria

$h^{a}={h^{a}}_{\mu }dx^{\mu }=\left(\partial _{\mu }\xi ^{a}+{B^{a}}_{\mu }\right)dx^{\mu }$

surge como el campo de calibración traslacional no lineal con $ξ a$ interpretado como el campo de Goldstone que describe la ruptura espontánea de la simetría traslacional.

Una analogía burda: piense en $M p$ como la pantalla de la computadora y el desplazamiento interno como la posición del puntero del mouse. Piense en un mouse pad curvo como el espacio-tiempo y la posición del mouse como la posición. Manteniendo la orientación del mouse fija, si movemos el mouse sobre el mouse pad curvo, la posición del puntero del mouse (desplazamiento interno) también cambia y este cambio depende de la trayectoria; es decir, no depende solo de la posición inicial y final del mouse. El cambio en el desplazamiento interno a medida que movemos el mouse sobre una trayectoria cerrada sobre el mouse pad es la torsión.

Otra analogía burda: piense en un cristal con defectos lineales ( dislocaciones de borde y dislocaciones helicoidales , pero no disinclinaciones ). El transporte paralelo de un punto de M a lo largo de una trayectoria se da contando el número de enlaces cristalinos (arriba/abajo, adelante/atrás e izquierda/derecha) atravesados. El vector de Burgers corresponde a la torsión. Las disinclinaciones corresponden a la curvatura, por lo que se descuidan.

La torsión, es decir, la intensidad del campo traslacional de la Gravedad Teleparalela (o la "curvatura" traslacional)

${T^{a}}_{\mu \nu }\equiv \left(DB^{a}\right)_{\mu \nu }=D_{\mu }{B^{a}}_{\nu }-D_{\nu }{B^{a}}_{\mu },$

es invariante de calibre .

Siempre podemos elegir el calibre donde $x a$ es cero en todas partes, aunque $M p$ es un espacio afín y también una fibra; por lo tanto, el origen debe definirse punto por punto, lo que puede hacerse de manera arbitraria. Esto nos lleva de nuevo a la teoría donde la tétrada es fundamental.

El teleparalelismo se refiere a cualquier teoría de la gravitación basada en este marco. Existe una elección particular de la acción que la hace exactamente equivalente ^[9] a la relatividad general, pero también hay otras elecciones de la acción que no son equivalentes a la relatividad general. En algunas de estas teorías, no hay equivalencia entre masas inerciales y gravitacionales . ^[13]

A diferencia de la relatividad general, la gravedad no se debe a la curvatura del espacio-tiempo sino a su torsión.

Contextos no gravitacionales

Existe una estrecha analogía entre la geometría del espacio-tiempo y la estructura de los defectos en los cristales. ^[14]^[15] Las dislocaciones se representan mediante torsión, las disclinaciones mediante curvatura. Estos defectos no son independientes entre sí. Una dislocación equivale a un par de disclinación-antidisclinación, una disclinación equivale a una cadena de dislocaciones. Esta es la razón básica por la que la teoría de Einstein basada puramente en la curvatura puede reescribirse como una teoría teleparalela basada únicamente en la torsión. Existen, además, infinitas maneras de reescribir la teoría de Einstein, dependiendo de cuánta curvatura se quiera reexpresar en términos de torsión, siendo la teoría teleparalela meramente una versión específica de estas. ^[16]

Otra aplicación del teleparalelismo se da en la teoría cuántica de campos, a saber, los modelos sigma no lineales bidimensionales con espacio objetivo en variedades geométricas simples, cuyo comportamiento de renormalización está controlado por un flujo de Ricci , que incluye torsión . Esta torsión modifica el tensor de Ricci y, por lo tanto, conduce a un punto fijo infrarrojo para el acoplamiento, debido al teleparalelismo ("geometrostasis"). ^[17]

Véase también

Referencias

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Lectura adicional

Aldrovandi, R.; Pereira, JG (2012). Gravedad teleparalela: una introducción . Springer: Dordrecht. ISBN 978-94-007-5142-2.
Bishop, RL ; Goldberg, SI (1968). Análisis tensorial en variedades (Primera edición de Dover, 1980). Macmillan. ISBN 978-0-486-64039-6.
Weitzenböck, R. (1923). Teoría invariante . Groninga: Noordhoff.

Enlaces externos

Artículos seleccionados sobre teleparalelismo, traducidos y editados por DH Delphenich
Gravedad teleparalela en el laboratorio n
Estructuras teleparalelas y teorías de la gravedad por Luca Bombelli