Submuestreo (procesamiento de señales)

Método de remuestreo

En el procesamiento de señales digitales , el submuestreo , la compresión y la decimación son términos asociados con el proceso de remuestreo en un sistema de procesamiento de señales digitales de múltiples frecuencias . Tanto el submuestreo como la decimación pueden ser sinónimos de compresión , o pueden describir un proceso completo de reducción de ancho de banda ( filtrado ) y reducción de frecuencia de muestreo. ^{[1] [2]} Cuando el proceso se realiza en una secuencia de muestras de una señal o una función continua, produce una aproximación de la secuencia que se habría obtenido al muestrear la señal a una frecuencia menor (o densidad , como en el caso de una fotografía).

La decimación es un término que históricamente significa la eliminación de cada décima muestra . ^[a] Pero en el procesamiento de señales, la decimación por un factor de 10 significa en realidad conservar solo una de cada diez muestras. Este factor multiplica el intervalo de muestreo o, equivalentemente, divide la frecuencia de muestreo. Por ejemplo, si se decima un audio de un disco compacto a 44.100 muestras/segundo por un factor de 5/4, la frecuencia de muestreo resultante es 35.280. Un componente del sistema que realiza la decimación se denomina decimador . La decimación por un factor entero también se denomina compresión . ^{[3] [4]}

Reducción de muestreo por un factor entero

La reducción de la tasa por un factor entero M se puede explicar como un proceso de dos pasos, con una implementación equivalente que es más eficiente: ^[5]

1. Reduce los componentes de señal de alta frecuencia con un filtro de paso bajo digital .
2. Diezmar la señal filtrada por M ; es decir, conservar sólo cada M ^muestra .

El paso 2 por sí solo crea un aliasing no deseado (es decir, los componentes de la señal de alta frecuencia se copiarán en la banda de frecuencia más baja y se confundirán con frecuencias más bajas). El paso 1, cuando es necesario, suprime el aliasing a un nivel aceptable. En esta aplicación, el filtro se denomina filtro anti-aliasing y su diseño se analiza a continuación. Consulte también submuestreo para obtener información sobre cómo diezmar las funciones y señales de paso de banda .

Cuando el filtro anti-aliasing es un diseño IIR , se basa en la retroalimentación de la salida a la entrada, antes del segundo paso. Con el filtrado FIR , es fácil calcular solo cada M ^ésima salida. El cálculo realizado por un filtro FIR decimador para la n ^ésima muestra de salida es un producto escalar : ^[b]

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[nM-k]\cdot h[k],}$

donde la secuencia h [•] es la respuesta al impulso y K es su longitud.  x [•] representa la secuencia de entrada que se está submuestreando. En un procesador de propósito general, después de calcular y [ n ], la forma más fácil de calcular y [ n +1] es avanzar el índice inicial en la matriz x [•] por M y volver a calcular el producto escalar. En el caso de que M = 2, h [•] se puede diseñar como un filtro de media banda , donde casi la mitad de los coeficientes son cero y no es necesario incluirlos en los productos escalares.

Los coeficientes de respuesta al impulso tomados a intervalos de M forman una subsecuencia, y hay M subsecuencias (fases) multiplexadas entre sí. El producto escalar es la suma de los productos escalares de cada subsecuencia con las muestras correspondientes de la secuencia x [•]. Además, debido al submuestreo por M , el flujo de x [•] muestras involucradas en cualquiera de los M productos escalares nunca está involucrado en los otros productos escalares. Por lo tanto, M filtros FIR de orden bajo filtran cada uno una de M fases multiplexadas del flujo de entrada, y las M salidas se suman. Este punto de vista ofrece una implementación diferente que podría ser ventajosa en una arquitectura de múltiples procesadores. En otras palabras, el flujo de entrada se demultiplexa y se envía a través de un banco de M filtros cuyas salidas se suman. Cuando se implementa de esa manera, se denomina filtro polifásico .

Para completar, ahora mencionamos que una implementación posible, pero improbable, de cada fase es reemplazar los coeficientes de las otras fases con ceros en una copia de la matriz h [•], procesar la secuencia x [•] original a la tasa de entrada (lo que significa multiplicar por ceros) y diezmar la salida por un factor de M . La equivalencia de este método ineficiente y la implementación descrita anteriormente se conoce como la primera identidad de Noble . ^{[6] [c]} A veces se utiliza en derivaciones del método polifásico.

Fig. 1: Estos gráficos representan las distribuciones espectrales de una función sobremuestreada y la misma función muestreada a 1/3 de la tasa original. El ancho de banda, B, en este ejemplo es lo suficientemente pequeño como para que el muestreo más lento no provoque superposición (aliasing). A veces, una función muestreada se vuelve a muestrear a una tasa menor manteniendo solo cada M ^muestra y descartando las demás, lo que comúnmente se denomina "diezmado". El posible aliasing se evita filtrando las muestras con un filtro de paso bajo antes del diezmado. El ancho de banda máximo del filtro se tabula en las unidades de ancho de banda utilizadas por las aplicaciones de diseño de filtros comunes.

Filtro anti-aliasing

Sea X ( f ) la transformada de Fourier de cualquier función, x ( t ), cuyas muestras en algún intervalo, T , sean iguales a la secuencia x [ n ]. Entonces, la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) es una representación en serie de Fourier de una suma periódica de X ( f ): ^[d]

${\displaystyle \underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X{\Bigl (}f-{\frac {k}{T}}{\Bigr )}.}$

Cuando T tiene unidades de segundos, tiene unidades de hercios . Reemplazando T por MT en las fórmulas anteriores se obtiene la DTFT de la secuencia diezmada, x [ nM ]: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\cdot MT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fn(MT)}={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {k}{MT}}\right).}$

La suma periódica se ha reducido en amplitud y periodicidad por un factor de M . Un ejemplo de ambas distribuciones se representa en las dos trazas de la Fig. 1. ^{[e] [f] [g]} El aliasing ocurre cuando copias adyacentes de X ( f ) se superponen. El propósito del filtro anti-aliasing es asegurar que la periodicidad reducida no cree superposición. La condición que asegura que las copias de X ( f ) no se superpongan entre sí es: por lo que es la frecuencia de corte máxima de un filtro anti-aliasing ideal . ^[A] ${\displaystyle B<{\tfrac {0.5}{T}}\cdot {\tfrac {1}{M}},}$

Por un factor racional

Sea M/L el factor de diezmado, ^[B] donde: M, L ∈ ; M > L. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

1. Aumentar (remuestrear) la secuencia por un factor de L. Esto se llama sobremuestreo o interpolación .
2. Diezmar por un factor de M

El paso 1 requiere un filtro de paso bajo después de aumentar ( expandir ) la velocidad de datos, y el paso 2 requiere un filtro de paso bajo antes de la reducción. Por lo tanto, ambas operaciones se pueden lograr con un solo filtro con la frecuencia de corte más baja de las dos. Para el caso M  >  L , el corte del filtro anti-aliasing,  ciclos por muestra intermedia , es la frecuencia más baja. ${\displaystyle {\tfrac {0.5}{M}}}$

Véase también

• Muestreo ascendente
• Posterización
• Conversión de frecuencia de muestreo
• Alias
• Algoritmo de Visvalingam-Whyatt

Notas

1. Los filtros de paso bajo que se pueden realizar tienen una "falda", donde la respuesta disminuye desde cerca de uno hasta cerca de cero. En la práctica, la frecuencia de corte se coloca lo suficientemente por debajo del corte teórico como para que la falda del filtro quede contenida por debajo del corte teórico.
2. Las técnicas generales para la conversión de frecuencia de muestreo por factor R ∈ incluyen la interpolación polinómica y la estructura de Farrow. ^[7] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$

Citas de páginas

1. Harris 2004. "6.1". pág. 128.
2. Crochiere y Rabiner "2". pág. 32. ecuación 2.55a.
3. Harris 2004. "2.2.1". pág. 25.
4. Oppenheim y Schafer. "4.2". pág. 143. ecuación 4.6, donde :     y   ${\displaystyle \Omega \triangleq 2\pi f,}$  ${\displaystyle X_{s}(i\Omega )\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Omega nT},}$ ${\displaystyle X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).}$
5. Harris 2004. "2.2". pág. 22. figura 2.10.
6. Oppenheim y Schafer. "4.6". pág. 171. figura 4.22.
7. Tan 2008. "1.2.1". figura 12.2.

Referencias

1. Oppenheim, Alan V .; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). "4". Procesamiento de señales en tiempo discreto (2.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pág. 168. ISBN 0-13-754920-2.
2. Tan, Li (2008-04-21). "Upsampling and downsampling". eetimes.com . EE Times . Consultado el 2017-04-10 . El proceso de reducir una frecuencia de muestreo por un factor entero se conoce como downsampling de una secuencia de datos. También nos referimos al downsampling como decimación . El término decimación utilizado para el proceso de downsampling ha sido aceptado y utilizado en muchos libros de texto y campos.
3. Crochiere, RE; Rabiner, LR (1983). "2". Procesamiento de señales digitales de múltiples frecuencias. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall. p. 32. ISBN 0136051626.
4. Poularikas, Alexander D. (septiembre de 1998). Manual de fórmulas y tablas para el procesamiento de señales (1.ª edición). CRC Press. pp. 42–48. ISBN 0849385792.
5. Harris, Frederic J. (24 de mayo de 2004). "2.2". Procesamiento de señales multifrecuencia para sistemas de comunicación . Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. págs. 20-21. ISBN 0131465112El proceso de reducción de la frecuencia de muestreo se puede visualizar como una progresión de dos pasos. El proceso comienza con una serie de entrada x(n) que se procesa mediante un filtro h(n) para obtener la secuencia de salida y(n) con un ancho de banda reducido. La frecuencia de muestreo de la secuencia de salida se reduce entonces en Q-a-1 hasta una frecuencia proporcional al ancho de banda de la señal reducida. En realidad, los procesos de reducción del ancho de banda y de reducción de la frecuencia de muestreo se fusionan en un único proceso llamado filtro multifrecuencia.
6. Strang, Gilbert ; Nguyen, Truong (1 de octubre de 1996). Wavelets y bancos de filtros (2.ª edición). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. pp. 100–101. ISBN 0961408871Ningún ingeniero sensato haría eso.
7. Milić, Ljiljana (2009). Filtrado multivelocidad para procesamiento de señales digitales . Nueva York: Hershey. pag. 192.ISBN​ 978-1-60566-178-0. Generalmente, este enfoque es aplicable cuando la relación Fy/Fx es un número racional o irracional, y es adecuado para el aumento de la frecuencia de muestreo y para la disminución de la frecuencia de muestreo.

Lectura adicional

• Proakis, John G. (2000). Procesamiento de señales digitales: principios, algoritmos y aplicaciones (3.ª ed.). India: Prentice-Hall. ISBN 8120311299.
• Lyons, Richard (2001). Comprensión del procesamiento de señales digitales . Prentice Hall. pág. 304. ISBN 0-201-63467-8La disminución de la frecuencia de muestreo se conoce como diezmado.
• Antoniou, Andreas (2006). Procesamiento de señales digitales . McGraw-Hill. pág. 830. ISBN 0-07-145424-1Los diezmadores se pueden utilizar para reducir la frecuencia de muestreo, mientras que los interpoladores se pueden utilizar para aumentarla.
• Milic, Ljiljana (2009). Filtrado multivelocidad para procesamiento de señales digitales . Nueva York: Hershey. pag. 35.ISBN​ 978-1-60566-178-0Los sistemas de conversión de frecuencia de muestreo se utilizan para cambiar la frecuencia de muestreo de una señal. El proceso de disminución de la frecuencia de muestreo se denomina diezmado y el proceso de aumento de la frecuencia de muestreo se denomina interpolación.
• T. Schilcher. Aplicaciones de RF en el procesamiento de señales digitales//" Procesamiento de señales digitales". Actas, CERN Accelerator School, Sigtuna, Suecia, 31 de mayo-9 de junio de 2007. - Ginebra, Suiza: CERN (2008). - P. 258. - DOI: 10.5170/CERN-2008-003. [1]
• Sliusar II, Slyusar VI, Voloshko SV, Smolyar VG Acceso óptico de próxima generación basado en N-OFDM con diezmado.// Tercera Conferencia Científico-Práctica Internacional "Problemas de las infocomunicaciones. Ciencia y tecnología (PIC S&T'2016)". – Járkov. - 3 al 6 de octubre de 2016. [2]
• Saska Lindfors, Aarno Pärssinen, Kari AI Halonen. Un submuestreador de diezmado CMOS de 3 V y 230 MHz.// Transacciones IEEE en circuitos y sistemas: vol. 52, núm. 2, febrero de 2005. – Pág. 110.