Atlas (topología)

Conjunto de gráficos que describe una variedad.

En matemáticas , particularmente en topología , un atlas es un concepto utilizado para describir una variedad . Un atlas consta de mapas individuales que, en términos generales, describen regiones individuales de la variedad. En general, la noción de atlas subyace a la definición formal de variedad y estructuras relacionadas, como haces de vectores y otros haces de fibras .

Gráficos

La definición de atlas depende de la noción de carta . Un gráfico para un espacio topológico M (también llamado gráfico de coordenadas , parche de coordenadas , mapa de coordenadas o marco local ) es un homeomorfismo de un subconjunto abierto U de M a un subconjunto abierto de un espacio euclidiano . El gráfico se registra tradicionalmente como el par ordenado . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$

Definición formal de atlas

Un atlas para un espacio topológico es una familia indexada de cartas en las que se cubren (es decir, ). Si para algún n fijo , la imagen de cada gráfico es un subconjunto abierto del espacio euclidiano de n dimensiones , entonces se dice que es una variedad de n dimensiones . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha }):\alpha \in I\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\textstyle \bigcup _{\alpha \in I}U_{\alpha }=M}$ ${\displaystyle M}$

El plural de atlas es atlas , aunque algunos autores utilizan atlantes . ^{[1] [2]}

Un atlas sobre una variedad de dimensiones se denomina atlas adecuado si se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$

• La imagen de cada gráfico es o , donde está el medio espacio cerrado , ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$
• ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$es una cubierta abierta localmente finita de , y ${\displaystyle M}$
• ${\textstyle M=\bigcup _{i\in I}\varphi _{i}^{-1}\left(B_{1}\right)}$, donde está la bola abierta de radio 1 centrada en el origen. ${\displaystyle B_{1}}$

Cada segunda variedad contable admite un atlas adecuado. ^[3] Además, si hay una cubierta abierta de la segunda variedad contable , entonces hay un atlas adecuado en , tal que es un refinamiento de . ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(V_{j}\right)_{j\in J}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left(U_{i},\varphi _{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \left(U_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Mapas de transición

Un mapa de transición proporciona una forma de comparar dos cartas de un atlas. Para hacer esta comparación, consideramos la composición de un gráfico con la inversa del otro. Esta composición no está bien definida a menos que restrinjamos ambos gráficos a la intersección de sus dominios de definición. (Por ejemplo, si tenemos un gráfico de Europa y un gráfico de Rusia, entonces podemos comparar estos dos gráficos en cuanto a su superposición, es decir, la parte europea de Rusia).

Para ser más precisos, supongamos que y son dos gráficos para una variedad M tal que no está vacía . El mapa de transición es el mapa definido por ${\displaystyle (U_{\alpha },\varphi _{\alpha })}$ ${\displaystyle (U_{\beta },\varphi _{\beta })}$ ${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }:\varphi _{\alpha }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })\to \varphi _{\beta }(U_{\alpha }\cap U_{\beta })}$

$${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }=\varphi _{\beta }\circ \varphi _{\alpha }^{-1}.}$$

Tenga en cuenta que dado que y son ambos homeomorfismos, el mapa de transición también es un homeomorfismo. ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \varphi _{\beta }}$ ${\displaystyle \tau _{\alpha ,\beta }}$

Más estructura

A menudo se desea más estructura en una variedad que simplemente la estructura topológica. Por ejemplo, si uno desea una noción inequívoca de diferenciación de funciones en una variedad, entonces es necesario construir un atlas cuyas funciones de transición sean diferenciables . Tal variedad se llama diferenciable . Dada una variedad diferenciable, se puede definir sin ambigüedades la noción de vectores tangentes y luego derivadas direccionales .

Si cada función de transición es un mapa suave , entonces el atlas se llama atlas suave y la variedad misma se llama suave . Alternativamente, se podría exigir que los mapas de transición tengan sólo k derivadas continuas, en cuyo caso se dice que el atlas es . ${\displaystyle C^{k}}$

De manera muy general, si cada función de transición pertenece a un pseudogrupo de homeomorfismos del espacio euclidiano, entonces el atlas se denomina -atlas. Si los mapas de transición entre cartas de un atlas conservan una trivialización local , entonces el atlas define la estructura de un haz de fibras. ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Ver también

• Atlas liso
• Marco liso

Referencias

1. Jost, Jürgen (11 de noviembre de 2013). Geometría riemanniana y análisis geométrico. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 9783662223857. Consultado el 16 de abril de 2018 a través de Google Books.
2. Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan (9 de marzo de 2013). Cálculo de Variaciones II. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 9783662062012. Consultado el 16 de abril de 2018 a través de Google Books.
3. Kosinski, Antoni (2007). Colectores diferenciales . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-46244-8. OCLC  853621933.

• Dieudonné, Jean (1972). "XVI. Colectores diferenciales". Tratado de Análisis . Matemática Pura y Aplicada. vol. III. Traducido por Ian G. Macdonald . Prensa académica . SEÑOR  0350769.
• Lee, John M. (2006). Introducción a los colectores lisos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
• Loomis, Lynn ; Sternberg, Shlomo (2014). "Múltiples diferenciables". Cálculo avanzado (edición revisada). Científico mundial. págs. 364–372. ISBN 978-981-4583-93-0. SEÑOR  3222280.
• Sepanski, Mark R. (2007). Grupos de mentira compactos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.
• Husemoller, D (1994), Haces de fibras , Springer, Capítulo 5 "Descripción de coordenadas locales de haces de fibras".

enlaces externos

• Atlas de Rowland, Todd