El problema del ganado según Arquímedes

Problema matemático en teoría de números

La solución más pequeña al problema del ganado de Arquímedes, donde cada ícono representa alrededor de 10^{206 543} cabezas de ganado

El problema del ganado de Arquímedes (o problema bovinum o problema Archimedis ) es un problema del análisis diofántico , el estudio de ecuaciones polinómicas con soluciones enteras . Atribuido a Arquímedes , el problema implica calcular el número de ganado en una manada del dios sol a partir de un conjunto dado de restricciones. El problema fue descubierto por Gotthold Ephraim Lessing en un manuscrito griego que contiene un poema de cuarenta y cuatro líneas, en la Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel , Alemania en 1773. ^[1]

El problema permaneció sin resolver durante varios años, debido en parte a la dificultad de calcular los enormes números involucrados en la solución. La solución general fue encontrada en 1880 por Carl Ernst August Amthor  [de] (1845-1916), director del Gymnasium zum Heiligen Kreuz ( Gimnasio de la Santa Cruz) en Dresde, Alemania. ^{[2] [3] [4]} Utilizando tablas logarítmicas , calculó los primeros dígitos de la solución más pequeña, demostrando que se trata de7,76 × 10 ^{206 544} cabezas de ganado, mucho más de lo que podría caber en el universo observable . ^[5] La forma decimal es demasiado larga para que los humanos la calculen con exactitud, pero los paquetes aritméticos de precisión múltiple en las computadoras pueden escribirla explícitamente.

Historia

En 1769, Gotthold Ephraim Lessing fue nombrado bibliotecario de la Biblioteca Herzog August en Wolfenbüttel , Alemania, que contenía muchos manuscritos griegos y latinos. ^[6] Unos años más tarde, Lessing publicó traducciones de algunos de los manuscritos con comentarios. Entre ellos había un poema griego de cuarenta y cuatro líneas, que contenía un problema aritmético que pedía al lector encontrar el número de ganado en la manada del dios del sol . Ahora se le atribuye generalmente a Arquímedes. ^{[7] [8]}

Problema

El problema, tal como lo tradujo al inglés Ivor Thomas, dice: ^[9]

Si eres diligente y sabio, ¡oh extranjero!, calcula el número de vacas del Sol que pastaban en los campos de la isla trinacia de Sicilia, divididas en cuatro manadas de diferentes colores, una blanca como la leche, otra de un negro brillante, una tercera amarilla y la última moteada. En cada manada había toros, poderosos en número según estas proporciones: Entiende, extranjero, que los toros blancos equivalían a la mitad y la tercera parte de los negros junto con todo el amarillo, mientras que los negros equivalían a la cuarta parte de los moteados y una quinta parte, junto con, una vez más, todo el amarillo. Observa además que los toros restantes, los moteados, equivalían a una sexta parte de los blancos y una séptima parte, junto con todo el amarillo. Estas eran las proporciones de las vacas: las blancas equivalían exactamente a la tercera parte y la cuarta parte de todo el rebaño de las negras; Mientras que los negros equivalían a la cuarta parte de los moteados y con ellos a la quinta parte, cuando todos, incluidos los toros, iban a pastar juntos. Ahora bien, los moteados en cuatro partes equivalían en número a una quinta parte y una sexta parte de la manada amarilla. Finalmente, los amarillos equivalían en número a una sexta parte y una séptima parte de la manada blanca. Si puedes decir con exactitud, oh extranjero, el número de ganado del Sol, dando por separado el número de toros bien alimentados y nuevamente el número de hembras según cada color, no serás llamado inexperto o ignorante en números, pero aún no serás contado entre los sabios.

Pero, ven, comprende también todas estas condiciones relativas a los ganados del Sol. Cuando los toros blancos se mezclaron en número con los negros, se mantuvieron firmes, iguales en profundidad y anchura, y las llanuras de Trinacia, que se extendían lejos en todos los sentidos, se llenaron con su multitud. De nuevo, cuando los toros amarillos y los moteados se reunieron en una manada, se mantuvieron de tal manera que su número, comenzando por uno, fue aumentando lentamente hasta completar una figura triangular, no habiendo toros de otros colores en medio ni faltando ninguno de ellos. Si eres capaz, ¡oh extranjero!, de descubrir todas estas cosas y reunirlas en tu mente, dando todas las relaciones, partirás coronado de gloria y sabiendo que has sido juzgado perfecto en esta especie de sabiduría.

Solución

La primera parte del problema se puede resolver fácilmente planteando un sistema de ecuaciones . Si el número de toros blancos, negros, moteados y amarillos se escribe como y , y el número de vacas blancas, negras, moteadas y amarillas se escribe como y , el problema consiste simplemente en encontrar una solución para ${\displaystyle W,B,D,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle w,b,d,}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W&={\frac {5}{6}}B+Y,\\B&={\frac {9}{20}}D+Y,\\D&={\frac {13}{42}}W+Y,\\w&={\frac {7}{12}}(B+b),\\b&={\frac {9}{20}}(D+d),\\d&={\frac {11}{30}}(Y+y),\\y&={\frac {13}{42}}(W+w),\end{aligned}}}$

que es un sistema de siete ecuaciones con ocho incógnitas. Es indeterminado y tiene infinitas soluciones. Los números enteros positivos más pequeños que satisfacen las siete ecuaciones son

${\displaystyle {\begin{aligned}B&=7\,460\,514=4657\times 1602,\\W&=10\,366\,482=4657\times 2226,\\D&=7\,358\,060=4657\times 1580,\\Y&=4\,149\,387=4657\times 891,\\b&=4\,893\,246,\\w&=7\,206\,360,\\d&=3\,515\,820,\\y&=5\,439\,213,\end{aligned}}}$

lo cual es un total de50 389 082 reses, ^[10] y las otras soluciones son múltiplos enteros de estos. Nótese que dado el número primo p = 4657, entonces los primeros cuatro números son múltiplos de p , y tanto p como p+1 aparecerán repetidamente a continuación.

La segunda parte del problema establece que es un número cuadrado y es un número triangular . La solución general de esta parte del problema fue encontrada por primera vez por A. Amthor ^[11] en 1880. La siguiente versión fue descrita por H. W. Lenstra ^[5] , basada en la ecuación de Pell : la solución dada anteriormente para la primera parte del problema debe ser multiplicada por ${\displaystyle W+B}$ ${\displaystyle Y+D}$

${\displaystyle n={\frac {(w^{4658j}-w^{-4658j})^{2}}{(4657)(79072)}},}$

donde j es cualquier entero positivo y

${\displaystyle w=300\,426\,607\,914\,281\,713\,365{\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\,258{\sqrt {7766}},}$

De manera equivalente, elevar al cuadrado w da como resultado

${\displaystyle w^{2}=u+v{\sqrt {(609)(7766)}},}$

¿Dónde está la solución fundamental de la ecuación de Pell? ${\displaystyle (u,v)}$

${\displaystyle u^{2}-(609)(7766)v^{2}=1.}$

El tamaño de la manada más pequeña que podría satisfacer tanto la primera como la segunda parte del problema está dado por j = 1 y es aproximadamente (resuelto por primera vez por Amthor). Las computadoras modernas pueden imprimir fácilmente todos los dígitos de la respuesta. Esto lo hicieron por primera vez en la Universidad de Waterloo , en 1965, Hugh C. Williams , R. A. German y Charles Robert Zarnke. Utilizaron una combinación de las computadoras IBM 7040 e IBM 1620. ^[12] ${\displaystyle 7.76\times 10^{206\,544}}$

Ecuación de Pell

Las restricciones de la segunda parte del problema son sencillas y la ecuación de Pell real que se necesita resolver se puede dar fácilmente. Primero, se pide que B + W sea un cuadrado o, utilizando los valores dados anteriormente,

${\displaystyle B+W=7\,460\,514\,k+10\,366\,482\,k=(2^{2})(3)(11)(29)(4657)k,}$

Por lo tanto, se debe establecer k = (3)(11)(29)(4657) q ² para algún entero q . Esto resuelve la primera condición. Para la segunda, se requiere que D + Y sea un número triangular :

${\displaystyle D+Y={\frac {t^{2}+t}{2}}.}$

Resolviendo para t ,

${\displaystyle t={\frac {-1\pm {\sqrt {1+8(D+Y)}}}{2}}.}$

Sustituir el valor de D + Y y k y encontrar un valor de q ² tal que el discriminante de esta cuadrática sea un cuadrado perfecto p ² implica resolver la ecuación de Pell.

${\displaystyle p^{2}-(2^{2})(609)(7766)(4657^{2})q^{2}=1.}$

El enfoque de Amthor que se analizó en la sección anterior consistía básicamente en encontrar el número más pequeño que sea divisible integralmente por . La solución fundamental de esta ecuación tiene más de 100.000 dígitos decimales. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle 2\times 4657}$

Referencias

1. Lessing, Gotthold Ephraim (1773). Zur Geschichte und Litteratur: aus den Schätzen der Herzoglichen Bibliothek zu Wolfenbüttel, Zweyter Beytrag [ Sobre historia y literatura: de los tesoros de la biblioteca ducal de Wolfenbüttel, segundo artículo ] (en alemán y griego). Braunschweig, (Alemania): Fürstlicher Waysenhaus. págs. 421–425.De las páginas 422 a 423: " Denn, wie gesagt, das Problem soll, wenn es nicht von dem Archimedes selbst abgefaßt worden, doch von ihm für werth erkannt seyn, daß er es den Eratosthenes geschicket hätte, um es den Meßkünstern zu Alexandria zur Auflösung vorzulegen. Dieses besagt die Aufschrift;  ... " (Porque, como se dijo [arriba], el problema [griego: ΠΡΟΒΛΗΜΑ], si no hubiera sido compuesto por el mismo Arquímedes [griego: Α'ΡΧΙΜΗΔΗΣ], todavía habría sido reconocido por él [como tan] digno que se lo habría enviado a Eratóstenes [griego: ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΝ], para someterlo al agrimensor de Alejandría para que lo resolviera. El título dice así:  ...) Véanse las páginas 423-424 (en griego).
2. Krumbiegel, B.; Amthor, A. (1880). "Das Problema bovinum des Archimedes" [El problema del ganado de Arquímedes]. Zeitschrift für Mathematik und Physik: Historisch-literarische Abtheilung [Revista de Matemáticas y Física: sección histórico-literaria] (en alemán, griego y latín). 25 : 121–136, 153–171.
3. Información biográfica sobre August Amthor:
   • El nombre completo de Amthor aparece en: (Administración escolar) (1876). Programm des Gymnasiums zum Heiligen Kreuz in Dresden [ Programa del Gimnasio de la Santa Cruz de Dresde ] (en alemán). Dresde, Alemania: K. Blochmann und Sohn. pag. 31.
   • Una breve biografía de Amthor aparece en: Singer, Isadore; de ​​Leon, Edward Warren, eds. (1910). "Amthor, August (Ph.D.)". International Insurance Encyclopedia . Vol. 1. Nueva York, Nueva York, EE. UU.: American Encyclopedic Library Association. pág. 18.
4. El problema fue resuelto de forma independiente en 1895 por Adam Henry Bell, un topógrafo e ingeniero civil de Hillsboro, Illinois, EE.UU. Véase:
   • Bell, AH (1895). "Sobre el célebre 'problema del ganado' de Arquímedes". The Mathematical Magazine . 2 : 163–164.
   • Bell, AH (1895). "El 'problema del ganado' de Arquímedes 251 a. C." American Mathematical Monthly . 2 : 140–141.
   • El nombre completo de Bell aparece en: Bateman, Newton; Selby, Paul, eds. (1918). "Fish, Albert E." Enciclopedia histórica de Illinois . Vol. 2. Chicago, Illinois, EE. UU.: Munsell Publishing Co. pp. 1049–1050.; ver pág. 1050.
   • Las ocupaciones de Bell aparecen en: Merriman, Mansfield (noviembre de 1905). "El problema del ganado de Arquímedes". Popular Science Monthly . 67 : 660–665.; ver pág. 664.
5. Lenstra, HW Jr. (2002), "Resolución de la ecuación de Pell" (PDF) , Avisos de la American Mathematical Society , 49 (2): 182–192, MR  1875156
6. Rorres, Chris. "Archimedes' Cattle Problem (Statement)". Archivado desde el original el 24 de enero de 2007. Consultado el 24 de enero de 2007 .
7. Fraser, PM (1972). Alejandría ptolemaica . Oxford University Press .
8. Weil, A. (1972). Teoría de números: una aproximación a través de la historia . Birkhäuser .
9. "El problema del ganado (en inglés)". Universidad de Nueva York . Consultado el 11 de julio de 2022 .
10. Merriman, Mansfield (noviembre de 1905). "El problema del ganado de Arquímedes". Popular Science Monthly . 67 : 660–665.
11. B. Krumbiegel, A. Amthor, Das Problema Bovinum des Archimedes , Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift für Mathematik und Physik 25 (1880) 121–136, 153–171.
12. Harold Alkema y Kenneth McLaughlin (2007). "Unbundling Computing at The University of Waterloo". Universidad de Waterloo . Archivado desde el original el 4 de abril de 2011. Consultado el 5 de abril de 2011 .(incluye imágenes)

Lectura adicional

• Bell, AH (1895), "El "problema del ganado". Por Arquímedes 251 a. C.", The American Mathematical Monthly , 2 (5), Mathematical Association of America: 140–141, doi :10.2307/2968125, JSTOR  2968125
• Dörrie, Heinrich (1965). "Archimedes' Problema Bovinum ". 100 Grandes Problemas de Matemática Elemental . Dover Publications . págs. 3–7.
• Williams, HC; German, RA; Zarnke, CR (1965). "Solución del problema del ganado de Arquímedes". Matemáticas de la computación . 19 (92). Sociedad Matemática Americana : 671–674. doi : 10.2307/2003954 . JSTOR  2003954.
• Vardi, I. (1998). "El problema del ganado de Arquímedes". American Mathematical Monthly . 105 (4). Asociación Matemática de América: 305–319. doi :10.2307/2589706. JSTOR  2589706.
• Benson, G. (2014). "Arquímedes el poeta: innovación genérica y fantasía matemática en el problema del ganado". Arethusa . 47 (2). Johns Hopkins University Press : 169–196. doi :10.1353/are.2014.0008. S2CID  162393743.

Enlaces externos

• Secuencia OEIS A096151 (Expansión decimal de la solución entera de 206545 dígitos al problema del ganado de Arquímedes): solución decimal completa al segundo problema
• Alex Bellos . "Holy Cow that's a Big Number" (video) . YouTube . Brady Haran . Archivado desde el original el 19 de diciembre de 2021. Consultado el 25 de noviembre de 2019 .