Muestreo no uniforme

Generalizaciones del teorema de muestreo de Nyquist-Shannon para la reconstrucción de señales

El muestreo no uniforme es una rama de la teoría del muestreo que involucra resultados relacionados con el teorema de muestreo de Nyquist-Shannon . El muestreo no uniforme se basa en la interpolación de Lagrange y la relación entre ella y el teorema de muestreo (uniforme). El muestreo no uniforme es una generalización del teorema de muestreo de Whittaker-Shannon-Kotelnikov (WSK).

La teoría de muestreo de Shannon se puede generalizar para el caso de muestras no uniformes, es decir, muestras tomadas con intervalos de tiempo no iguales. La teoría de muestreo de Shannon para muestreos no uniformes establece que una señal limitada en banda se puede reconstruir perfectamente a partir de sus muestras si la frecuencia de muestreo promedio satisface la condición de Nyquist. ^[1] Por lo tanto, aunque las muestras con intervalos de tiempo uniformes pueden dar lugar a algoritmos de reconstrucción más sencillos, no es una condición necesaria para una reconstrucción perfecta.

La teoría general para muestras no uniformes y de banda base fue desarrollada en 1967 por Henry Landau . ^[2] Demostró que la tasa de muestreo promedio (uniforme o no) debe ser el doble del ancho de banda ocupado de la señal, asumiendo que se sabe a priori qué porción del espectro estaba ocupada. A fines de la década de 1990, este trabajo se amplió parcialmente para cubrir señales para las que se conocía la cantidad de ancho de banda ocupado, pero se desconocía la porción ocupada real del espectro. ^[3] En la década de 2000, se desarrolló una teoría completa (ver la sección Más allá de Nyquist a continuación) utilizando detección comprimida . En particular, la teoría, que utiliza lenguaje de procesamiento de señales, se describe en este artículo de 2009. ^[4] Muestran, entre otras cosas, que si se desconocen las ubicaciones de frecuencia, entonces es necesario muestrear al menos al doble de los criterios de Nyquist; en otras palabras, debe pagar al menos un factor de 2 por no saber la ubicación del espectro . Tenga en cuenta que los requisitos mínimos de muestreo no garantizan necesariamente la estabilidad numérica .

Interpolación de Lagrange (polinómica)

Para una función dada, es posible construir un polinomio de grado n que tenga el mismo valor que la función en n  + 1 puntos. ^[5]

Sean los n  + 1 puntos , y los n  + 1 valores . ${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{n}}$ ${\displaystyle w_{0},w_{1},\ldots ,w_{n}}$

De esta manera, existe un polinomio único tal que ${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z_{i})=w_{i},{\text{ where }}i=0,1,\ldots ,n.}$^[6]

Además, es posible simplificar la representación utilizando los polinomios de interpolación de Lagrange: ${\displaystyle p_{n}(z)}$

${\displaystyle I_{k}(z)={\frac {(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{k-1})(z-z_{k+1})\cdots (z-z_{n})}{(z_{k}-z_{0})(z_{k}-z_{1})\cdots (z_{k}-z_{k-1})(z_{k}-z_{k+1})\cdots (z_{k}-z_{n})}}}$^[7]

De la ecuación anterior:

${\displaystyle I_{k}(z_{j})=\delta _{k,j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}k\neq j\\1,&{\text{if }}k=j\end{cases}}}$

Como resultado,

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}I_{k}(z)}$

${\displaystyle p_{n}(z_{j})=w_{j},j=0,1,\ldots ,n}$

Para hacer la forma polinomial más útil:

${\displaystyle G_{n}(z)=(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})}$

De esta manera aparece la Fórmula de Interpolación de Lagrange :

${\displaystyle p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}{\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}}$^[8]

Tenga en cuenta que si , entonces la fórmula anterior se convierte en: ${\displaystyle f(z_{j})=p_{n}(z_{j}),j=0,1,\ldots ,n,}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{n}f(z_{k}){\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}}$

Teorema de muestreo de Whittaker-Shannon-Kotelnikov (WSK)

Whittaker intentó extender la interpolación de Lagrange de polinomios a funciones enteras . Demostró que es posible construir la función completa ^[9]

${\displaystyle C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(a+nW){\frac {\sin[\pi (z-a-nW)/W]}{[\pi (z-a-nW)/W]}}}$

que tiene el mismo valor que en los puntos ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle z_{n}=a+nW}$

Además, se puede escribir en una forma similar a la última ecuación de la sección anterior: ${\displaystyle C_{f}(z)}$

${\displaystyle C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(z_{n}){\frac {G(z)}{G'(z_{n})(z-z_{n})}},{\text{ where }}G(z)=\sin[\pi (z-z_{n})/W]{\text{ and }}z_{n}=a+nW}$

Cuando a  = 0 y W  = 1, entonces la ecuación anterior se vuelve casi la misma que el teorema WSK: ^[10]

Si una función f se puede representar en la forma

${\displaystyle f(t)=\int _{-\sigma }^{\sigma }e^{jxt}g(x)\,dx\qquad (t\in \mathbb {R} ),\qquad \forall g\in L^{2}(-\sigma ,\sigma ),}$

Entonces f se puede reconstruir a partir de sus muestras de la siguiente manera:

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f\left({\frac {k\pi }{\sigma }}\right){\frac {\sin(\sigma t-k\pi )}{\sigma t-k\pi }}\qquad (t\in \mathbb {R} )}$

Muestreo no uniforme

Para una secuencia que satisface ^[11] ${\displaystyle \{t_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }}$

${\displaystyle D=\sup _{k\in \mathbb {Z} }|t_{k}-k|<{\frac {1}{4}},}$

entonces

${\displaystyle f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t_{k}){\frac {G(t)}{G'(t_{k})(t-t_{k})}},\qquad \forall {}f\in B_{\pi }^{2},\qquad (t\in \mathbb {R} ),}$

dónde

• ${\displaystyle \textstyle G(t)=(t-t_{0})\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {t}{t_{k}}}\right)\left(1-{\frac {t}{t_{-k}}}\right),}$
• ${\displaystyle B_{\sigma }^{2}}$es el espacio de Bernstein, y
• ${\displaystyle f(t)}$es uniformemente convergente en conjuntos compactos. ^[12]

Lo anterior se denomina teorema de Paley-Wiener-Levinson, que generaliza el teorema de muestreo WSK de muestras uniformes a muestras no uniformes. Ambos pueden reconstruir una señal de banda limitada a partir de esas muestras, respectivamente.

Referencias

1. Muestreo no uniforme, teoría y práctica (ed. F. Marvasti), Kluwer Academic/Plenum Publishers, Nueva York, 2000
2. HJ Landau, “Condiciones de densidad necesarias para el muestreo y la interpolación de ciertas funciones enteras”, Acta Math., vol. 117, págs. 37–52, febrero de 1967.
3. Véase, por ejemplo, P. Feng, “Muestreo de tasa mínima universal y reconstrucción ciega al espectro para señales multibanda”, tesis doctoral, Universidad de Illinois en Urbana-Champaign, 1997.
4. Reconstrucción de señales multibanda a ciegas: detección comprimida para señales analógicas, Moshe Mishali y Yonina C. Eldar, en IEEE Trans. Signal Process. , marzo de 2009, vol. 57, número 3
5. Marvasti 2001, pág. 124.
6. Marvasti 2001, págs. 124-125.
7. Marvasti 2001, pág. 126.
8. Marvasti 2001, pág. 127.
9. Marvasti 2001, pág. 132.
10. Marvasti 2001, pág. 134.
11. Marvasti 2001, pág. 137.
12. Marvasti 2001, pág. 138.

• F. Marvasti, Muestreo no uniforme: teoría y práctica. Plenum Publishers Co., 2001, págs. 123–140.