Método de Galerkin discontinuo

En matemáticas aplicadas, los métodos de Galerkin discontinuos (métodos DG) forman una clase de métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales . Combinan características del marco de elementos finitos y del volumen finito y se han aplicado con éxito a problemas de forma hiperbólica , elíptica , parabólica y mixta que surgen de una amplia gama de aplicaciones. Los métodos DG han recibido en particular un interés considerable para problemas con una parte dominante de primer orden, por ejemplo en electrodinámica , mecánica de fluidos y física del plasma . De hecho, las soluciones de tales problemas pueden implicar fuertes gradientes (e incluso discontinuidades) de modo que los métodos clásicos de elementos finitos fallan, mientras que los métodos de volumen finito se limitan a aproximaciones de bajo orden.

Los métodos de Galerkin discontinuos se propusieron y analizaron por primera vez a principios de la década de 1970 como una técnica para resolver numéricamente ecuaciones diferenciales parciales. En 1973, Reed y Hill introdujeron un método de Galerkin discontinuo para resolver la ecuación de transporte de neutrones hiperbólicos.

El origen del método DG para problemas elípticos no se puede remontar a una única publicación, ya que características como la penalización por salto en el sentido moderno se desarrollaron gradualmente. Sin embargo, entre los primeros contribuyentes influyentes se encuentran Babuška , J.-L. Lions , Joachim Nitsche y Miloš Zlámal. Los métodos DG para problemas elípticos ya se desarrollaron en un artículo de Garth Baker en el contexto de ecuaciones de cuarto orden en 1977. Una descripción más completa del desarrollo histórico y una introducción a los métodos DG para problemas elípticos se da en una publicación de Arnold, Brezzi, Cockburn y Marini. Una serie de direcciones de investigación y desafíos sobre los métodos DG se recopilan en el volumen de actas editado por Cockburn, Karniadakis y Shu.

Descripción general

Al igual que el método Galerkin continuo (CG) , el método Galerkin discontinuo (DG) es un método de elementos finitos formulado en relación con una formulación débil de un sistema modelo particular. A diferencia de los métodos CG tradicionales que son conformes , el método DG funciona sobre un espacio de prueba de funciones que solo son continuas por partes y, por lo tanto, a menudo comprenden espacios de funciones más inclusivos que los subespacios de productos internos de dimensión finita utilizados en los métodos conformes.

Como ejemplo, considere la ecuación de continuidad para un escalar desconocido en un dominio espacial sin "fuentes" ni "sumideros": ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0,}$

¿Dónde está el flujo de ? ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \rho }$

Consideremos ahora el espacio de dimensión finita de funciones polinómicas discontinuas por partes sobre el dominio espacial restringido a una triangulación discreta , escrita como ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega _{h}}$

${\displaystyle S_{h}^{p}(\Omega _{h})=\{v_{|\Omega _{e_{i}}}\in P^{p}(\Omega _{e_{i}}),\ \ \forall \Omega _{e_{i}}\in \Omega _{h}\}}$

para el espacio de polinomios con grados menores o iguales a sobre el elemento indexado por . Entonces, para funciones de forma de elementos finitos, la solución está representada por ${\displaystyle P^{p}(\Omega _{e_{i}})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \Omega _{e_{i}}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N_{j}\in P^{p}}$

${\displaystyle \rho _{h}^{i}=\sum _{j=1}^{\text{dofs}}\rho _{j}^{i}(t)N_{j}^{i}({\boldsymbol {x}}),\quad \forall {\boldsymbol {x}}\in \Omega _{e_{i}}.}$

Luego, de manera similar, elija una función de prueba.

${\displaystyle \varphi _{h}^{i}({\boldsymbol {x}})=\sum _{j=1}^{\text{dofs}}\varphi _{j}^{i}N_{j}^{i}({\boldsymbol {x}}),\quad \forall {\boldsymbol {x}}\in \Omega _{e_{i}},}$

Al multiplicar la ecuación de continuidad por e integrar por partes en el espacio , la formulación DG semidiscreta se convierte en: ${\displaystyle \varphi _{h}^{i}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{e_{i}}}\rho _{h}^{i}\varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}+\int _{\partial \Omega _{e_{i}}}\varphi _{h}^{i}\mathbf {J} _{h}\cdot {\boldsymbol {n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{\Omega _{e_{i}}}\mathbf {J} _{h}\cdot \nabla \varphi _{h}^{i}\,d{\boldsymbol {x}}.}$

Ley de conservación hiperbólica escalar

Una ley de conservación hiperbólica escalar tiene la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\quad {\text{for}}\quad t>0,\,x\in \mathbb {R} \\u(0,x)&=u_{0}(x)\,,\end{aligned}}}$

donde uno intenta resolver la función escalar desconocida , y las funciones normalmente se dan. ${\displaystyle u\equiv u(t,x)}$ ${\displaystyle f,u_{0}}$

Discretización espacial

El espacio se discretizará como ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathbb {R} =\bigcup _{k}I_{k}\,,\quad I_{k}:=\left(x_{k},x_{k+1}\right)\quad {\text{for}}\quad x_{k}<x_{k+1}\,.}$

Además, necesitamos las siguientes definiciones

${\displaystyle h_{k}:=|I_{k}|\,,\quad h:=\sup _{k}h_{k}\,,\quad {\hat {x}}_{k}:=x_{k}+{\frac {h_{k}}{2}}\,.}$

Base para el espacio funcional

Derivamos la representación base para el espacio funcional de nuestra solución . El espacio funcional se define como ${\displaystyle u}$

${\displaystyle S_{h}^{p}:=\left\lbrace v\in L^{2}(\mathbb {R} ):v{\Big |}_{I_{k}}\in \Pi _{p}\right\rbrace \quad {\text{for}}\quad p\in \mathbb {N} _{0}\,,}$

donde denota la restricción de sobre el intervalo , y denota el espacio de polinomios de grado máximo . El índice debe mostrar la relación con una discretización subyacente dada por . Nótese aquí que no está definido de forma única en los puntos de intersección . ${\displaystyle {v|}_{I_{k}}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle \Pi _{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \left(x_{k}\right)_{k}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle (x_{k})_{k}}$

En primer lugar, utilizamos una base polinómica específica en el intervalo , los polinomios de Legendre , es decir, ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle (P_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$

${\displaystyle P_{0}(x)=1\,,\quad P_{1}(x)=x\,,\quad P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)\,,\quad \dots }$

Obsérvense especialmente las relaciones de ortogonalidad.

${\displaystyle \left\langle P_{i},P_{j}\right\rangle _{L^{2}([-1,1])}={\frac {2}{2i+1}}\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.}$

La transformación en el intervalo y la normalización se logran mediante funciones ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle (\varphi _{i})_{i}}$

${\displaystyle \varphi _{i}(x):={\sqrt {2i+1}}P_{i}(2x-1)\quad {\text{for}}\quad x\in [0,1]\,,}$

que cumplen la relación de ortonormalidad

${\displaystyle \left\langle \varphi _{i},\varphi _{j}\right\rangle _{L^{2}([0,1])}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\,.}$

La transformación en un intervalo viene dada por ${\displaystyle I_{k}}$ ${\displaystyle \left({\bar {\varphi }}_{ki}\right)_{i}}$

${\displaystyle {\bar {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}\varphi _{i}\left({\frac {x-x_{k}}{h_{k}}}\right)\quad {\text{for}}\quad x\in I_{k}\,,}$

que cumplen

${\displaystyle \left\langle {\bar {\varphi }}_{ki},{\bar {\varphi }}_{kj}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=\delta _{ij}\quad \forall \,i,j\in \mathbb {N} _{0}\forall \,k\,.}$

Para -normalización definimos , y para -normalización definimos , st ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \varphi _{ki}:={\sqrt {h_{k}}}{\bar {\varphi }}_{ki}}$ ${\displaystyle L^{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {\varphi }}_{ki}:={\frac {1}{\sqrt {h_{k}}}}{\bar {\varphi }}_{ki}}$

${\displaystyle \|\varphi _{ki}\|_{L^{\infty }(I_{k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{\infty }([0,1])}=:c_{i,\infty }\quad {\text{and}}\quad \|{\tilde {\varphi }}_{ki}\|_{L^{1}(I_{k})}=\|\varphi _{i}\|_{L^{1}([0,1])}=:c_{i,1}\,.}$

Finalmente, podemos definir la representación base de nuestras soluciones. ${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{h}(t,x):=&\sum _{i=0}^{p}u_{ki}(t)\varphi _{ki}(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (x_{k},x_{k+1})\\u_{ki}(t)=&\left\langle u_{h}(t,\cdot ),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}\,.\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta aquí que no está definido en las posiciones de la interfaz. ${\displaystyle u_{h}}$

Además, las bases prismáticas se emplean para estructuras de tipo plano y son capaces de hibridación 2-D/3-D.

Régimen DG

La ley de conservación se transforma en su forma débil mediante la multiplicación con funciones de prueba y la integración sobre intervalos de prueba.

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}u+\partial _{x}f(u)&=0\\\Rightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,v\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),v\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,v\in S_{h}^{p}\\\Leftrightarrow \quad \left\langle \partial _{t}u,{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}+\left\langle \partial _{x}f(u),{\tilde {\varphi }}_{ki}\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}&=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}}$

Al utilizar la integración parcial, nos quedamos con

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+f(u(t,x_{k+1})){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-f(u(t,x_{k})){\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}}$

Los flujos en las interfaces se aproximan mediante flujos numéricos con ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g_{k}:=g(u_{k}^{-},u_{k}^{+})\,,\quad u_{k}^{\pm }:=u(t,x_{k}^{\pm })\,,}$

donde denota los límites de los lados izquierdo y derecho. Finalmente, el esquema DG se puede escribir como ${\displaystyle u_{k}^{\pm }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}u_{ki}(t)+g_{k+1}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k+1})-g_{k}{\tilde {\varphi }}_{ki}(x_{k})-\left\langle f(u(t,\,\cdot \,)),{\tilde {\varphi }}_{ki}'\right\rangle _{L^{2}(I_{k})}=0\quad {\text{for}}\quad \forall \,k\;\forall \,i\leq p\,.\end{aligned}}}$

Ecuación elíptica escalar

Una ecuación elíptica escalar tiene la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}-\partial _{xx}u&=f(x)\quad {\text{for}}\quad x\in (a,b)\\u(x)&=g(x)\,\quad {\text{for}}\,\quad x=a,b\end{aligned}}}$

Esta ecuación es la ecuación del calor en estado estacionario, donde es la temperatura. La discretización espacial es la misma que la anterior. Recordemos que el intervalo se divide en intervalos de longitud . ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle h}$

Introducimos el salto y el promedio de funciones en el nodo : ${\displaystyle [{}\cdot {}]}$ ${\displaystyle \{{}\cdot {}\}}$ ${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle [v]{\Big |}_{x_{k}}=v(x_{k}^{+})-v(x_{k}^{-}),\quad \{v\}{\Big |}_{x_{k}}=0.5(v(x_{k}^{+})+v(x_{k}^{-}))}$

El método de Galerkin discontinuo de penalización interior (IPDG) es: encontrar satisfacción ${\displaystyle u_{h}}$

${\displaystyle A(u_{h},v_{h})+A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\ell (v_{h})+\ell _{\partial }(v_{h})}$

donde las formas bilineales y son ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{\partial }}$

${\displaystyle A(u_{h},v_{h})=\sum _{k=1}^{N+1}\int _{x_{k-1}}^{x_{k}}\partial _{x}u_{h}\partial _{x}v_{h}-\sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}u_{h}\}_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}+\varepsilon \sum _{k=1}^{N}\{\partial _{x}v_{h}\}_{x_{k}}[u_{h}]_{x_{k}}+{\frac {\sigma }{h}}\sum _{k=1}^{N}[u_{h}]_{x_{k}}[v_{h}]_{x_{k}}}$

y

${\displaystyle A_{\partial }(u_{h},v_{h})=\partial _{x}u_{h}(a)v_{h}(a)-\partial _{x}u_{h}(b)v_{h}(b)-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)u_{h}(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)u_{h}(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}u_{h}(a)v_{h}(a)+u_{h}(b)v_{h}(b){\big )}}$

Las formas lineales y son ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell _{\partial }}$

${\displaystyle \ell (v_{h})=\int _{a}^{b}fv_{h}}$

y

${\displaystyle \ell _{\partial }(v_{h})=-\varepsilon \partial _{x}v_{h}(a)g(a)+\varepsilon \partial _{x}v_{h}(b)g(b)+{\frac {\sigma }{h}}{\big (}g(a)v_{h}(a)+g(b)v_{h}(b){\big )}}$

El parámetro de penalización es una constante positiva. Aumentar su valor reducirá los saltos en la solución discontinua. El término se elige igual a para el método de Galerkin de penalización interior simétrica; es igual a para el método de Galerkin de penalización interior no simétrica. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle +1}$

Método de Galerkin directo discontinuo

El método Galerkin discontinuo directo (DDG) es un nuevo método Galerkin discontinuo para resolver problemas de difusión. En 2009, Liu y Yan propusieron por primera vez el método DDG para resolver ecuaciones de difusión. ^{[1] [2]} Las ventajas de este método en comparación con el método Galerkin discontinuo es que el método Galerkin discontinuo directo deriva el formato numérico tomando directamente el flujo numérico de la función y el primer término derivado sin introducir variables intermedias. Todavía podemos obtener resultados numéricos razonables utilizando este método, y el proceso de derivación es más simple, la cantidad de cálculo se reduce en gran medida.

El método de elementos finitos discontinuos directos es una rama de los métodos de Galerkin discontinuos. Incluye principalmente la transformación del problema en forma variacional, la división de unidades regionales, la construcción de funciones base, la formulación y resolución de ecuaciones de elementos finitos discontinuos y el análisis de convergencia y error.

Por ejemplo, considere una ecuación de difusión no lineal, que es unidimensional:

${\displaystyle U_{t}-{(a(U)\cdot U_{x})}_{x}=0\ \ in\ (0,1)\times (0,T)}$, en el cual ${\displaystyle U(x,0)=U_{0}(x)\ \ on\ (0,1)}$

Discretización espacial

En primer lugar, definamos , y . Por lo tanto, hemos realizado la discretización espacial de . Además, definamos . ${\displaystyle \left\{I_{j}=\left(x_{j-{\frac {1}{2}}},\ x_{j+{\frac {1}{2}}}\right),j=1...N\right\}}$ ${\displaystyle \Delta x_{j}=x_{j+{\frac {1}{2}}}-x_{j-{\frac {1}{2}}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \Delta x=\max _{1\leq j<N}\ \Delta x_{j}}$

Queremos encontrar una aproximación a tal que , , ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \forall t\in \left[0,T\right]}$ ${\displaystyle u\in \mathbb {V} _{\Delta x}}$

${\displaystyle \mathbb {V} _{\Delta x}:=\left\{v\in L^{2}\left(0,1\right):{v|}_{I_{j}}\in P^{k}\left(I_{j}\right),\ j=1,...,N\right\}}$, es el espacio de polinomios con grado como máximo . ${\displaystyle P^{k}\left(I_{j}\right)}$ ${\displaystyle I_{j}}$ ${\displaystyle k}$

Formulación del esquema

Flujo: . ${\displaystyle h:=h\left(U,U_{x}\right)=a\left(U\right)U_{x}}$

${\displaystyle U}$:la solución exacta de la ecuación.

Multiplicamos la ecuación por una función suavizada de modo que obtengamos las siguientes ecuaciones: ${\displaystyle v\in H^{1}\left(0,1\right)}$

${\displaystyle \int _{I_{j}}U_{t}vdx-h_{j+{\frac {1}{2}}}v_{j+{\frac {1}{2}}}+h_{j-{\frac {1}{2}}}v_{j-{\frac {1}{2}}}+\int a\left(U\right)U_{x}v_{x}dx=0}$,

${\displaystyle \int _{I_{j}}U\left(x,0\right)v\left(x\right)dx=\int _{I_{j}}U_{0}\left(x\right)v\left(x\right)dx}$

Aquí es arbitrario, la solución exacta de la ecuación se reemplaza por la solución aproximada , es decir, la solución numérica que necesitamos se obtiene resolviendo las ecuaciones diferenciales. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$

El flujo numérico

La elección de un flujo numérico adecuado es fundamental para la precisión del método DDG.

El flujo numérico debe satisfacer las siguientes condiciones:

♦ Es consistente con ${\displaystyle h={b\left(u\right)}_{x}=a\left(u\right)u_{x}}$

♦ El flujo numérico es conservador en el valor único en . ${\displaystyle x_{j+{\frac {1}{2}}}}$

♦ Tiene la -estabilidad; ${\displaystyle L^{2}}$

♦ Puede mejorar la precisión del método.

De esta manera, se da un esquema general para el flujo numérico:

${\displaystyle {\widehat {h}}=D_{x}b(u)=\beta _{0}{\frac {\left[b\left(u\right)\right]}{\Delta x}}+{\overline {{b\left(u\right)}_{x}}}+\sum _{m=1}^{\frac {k}{2}}\beta _{m}{\left(\Delta x\right)}^{2m-1}\left[\partial _{x}^{2m}b\left(u\right)\right]}$

En este flujo, es el orden máximo de polinomios en dos unidades de cómputo vecinas. es el salto de una función. Nótese que en cuadrículas no uniformes, debe ser y en cuadrículas uniformes. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left[\cdot \right]}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \left({\frac {\Delta x_{j}+\Delta x_{j+1}}{2}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {1}{N}}}$

Estimaciones de errores

Denotamos que el error entre la solución exacta y la solución numérica es . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle e=u-U}$

Medimos el error con la siguiente norma:

${\displaystyle \left|\left|\left|v(\cdot ,t)\right|\right|\right|={\left(\int _{0}^{1}v^{2}dx+\left(1-\gamma \right)\int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}\int _{I_{j}}v_{x}^{2}dxd\tau +\alpha \int _{0}^{t}\sum _{j=1}^{N}{\left[v\right]}^{2}/\Delta x\cdot d\tau \right)}^{0.5}}$

y tenemos , ${\displaystyle \left|\left|\left|U(\cdot ,T)\right|\right|\right|\leq \left|\left|\left|U(\cdot ,0)\right|\right|\right|}$ ${\displaystyle \left|\left|\left|u(\cdot ,T)\right|\right|\right|\leq \left|\left|\left|U(\cdot ,0)\right|\right|\right|}$

Véase también

• Método Galerkin

Referencias

1. Hailiang Liu, Jue Yan, Los métodos Galerkin discontinuos directos (DDG) para problemas de difusión , SIAM J. NUMER. ANAL. Vol. 47, No. 1, págs. 675–698.
2. Hailiang Liu, Jue Yan, El método Galerkin discontinuo directo (DDG) para difusión con correcciones de interfaz , Commun. Comput. Phys. Vol. 8, No. 3, págs. 541-564.

• DN Arnold, F. Brezzi, B. Cockburn y LD Marini, Análisis unificado de métodos de Galerkin discontinuos para problemas elípticos , SIAM J. Numer. Anal. 39(5):1749–1779, 2002.
• G. Baker, Métodos de elementos finitos para ecuaciones elípticas utilizando elementos no conformes , Math. Comp. 31 (1977), núm. 137, 45–59.
• A. Cangiani, Z. Dong, EH Georgoulis y P. Houston, Métodos de Galerkin discontinuos en mallas poligonales y poliédricas , SpringerBriefs in Mathematics, (diciembre de 2017).
• W. Mai, J. Hu, P. Li y H. Zhao, “Un análisis híbrido discontinuo de Galerkin en el dominio del tiempo 2-D/3-D estable y eficiente con criterio adaptativo para antípodas de forma arbitraria en pares de placas paralelas dispersivos”, IEEE Trans. Microw. Theory Techn. , vol. 65, núm. 10, págs. 3671–3681, octubre de 2017.
• W. Mai et al. , “Un criterio de actualización sencillo para el método híbrido discontinuo de dominio temporal de Galerkin 2-D/3-D que controla el error comparativo”, IEEE Trans. Microw. Theory Techn. , vol. 66, n.º 4, págs. 1713–1722, abril de 2018.
• B. Cockburn, GE Karniadakis y C.-W. Shu (eds.), Métodos de Galerkin discontinuos. Teoría, computación y aplicaciones , Lecture Notes in Computational Science and Engineering, 11. Springer-Verlag, Berlín, 2000.
• P. Lesaint y PA Raviart. "Sobre un método de elementos finitos para resolver la ecuación de transporte de neutrones". Aspectos matemáticos de los elementos finitos en ecuaciones diferenciales parciales 33 (1974): 89–123.
• DA Di Pietro y A. Ern, Aspectos matemáticos de los métodos discontinuos de Galerkin. Matemáticas y aplicaciones, vol. 69, Springer-Verlag, Berlín, 2011.
• JS Hesthaven y T. Warburton, Métodos de Galerkin nodales discontinuos: algoritmos, análisis y aplicaciones. Springer Texts in Applied Mathematics 54. Springer Verlag, Nueva York, 2008.
• B. Rivière, Métodos de Galerkin discontinuos para resolver ecuaciones elípticas y parabólicas: teoría e implementación. SIAM Frontiers in Applied Mathematics, 2008.
• Wiki de CFD http://www.cfd-online.com/Wiki/Discontinuous_Galerkin
• WH Reed y TR Hill, Métodos de malla triangular para la ecuación de transporte de neutrones , Informe técnico LA-UR-73–479, Laboratorio científico de Los Álamos, 1973.