Método de los jinetes

En análisis numérico , el método de Ridders es un algoritmo de búsqueda de raíces basado en el método de posición falsa y el uso de una función exponencial para aproximar sucesivamente una raíz de una función continua . El método se debe a C. Ridders. ^{[1] [2]} ${\displaystyle f(x)}$

El método de Ridders es más simple que el método de Muller o el método de Brent pero con un rendimiento similar. ^[3] La siguiente fórmula converge cuadráticamente cuando la función se comporta bien, lo que implica que el número de dígitos significativos adicionales encontrados en cada paso aproximadamente se duplica; pero la función debe evaluarse dos veces para cada paso, por lo que el orden general de convergencia del método es . Si la función no se comporta bien, la raíz permanece entre corchetes y la longitud del intervalo entre corchetes se reduce al menos a la mitad en cada iteración, por lo que se garantiza la convergencia. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Método

Dados dos valores de la variable independiente, y , que están en dos lados diferentes de la raíz que se busca, es decir,, el método comienza evaluando la función en el punto medio . Luego se encuentra la función exponencial única tal que la función satisface . Específicamente, el parámetro está determinado por ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle f(x_{0})f(x_{2})<0}$ ${\displaystyle x_{1}=(x_{0}+x_{2})/2}$ ${\displaystyle e^{ax}}$ ${\displaystyle h(x)=f(x)e^{ax}}$ ${\displaystyle h(x_{1})=(h(x_{0})+h(x_{2}))/2}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle e^{a(x_{1}-x_{0})}={\frac {f(x_{1})-\operatorname {sign} [f(x_{0})]{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}}{f(x_{2})}}.}$

Luego se aplica el método de posición falsa a los puntos y , lo que lleva a un nuevo valor entre y , ${\displaystyle (x_{0},h(x_{0}))}$ ${\displaystyle (x_{2},h(x_{2}))}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle x_{3}=x_{1}+(x_{1}-x_{0}){\frac {\operatorname {sign} [f(x_{0})]f(x_{1})}{\sqrt {f(x_{1})^{2}-f(x_{0})f(x_{2})}}},}$

que se utilizará como uno de los dos valores entre corchetes en el siguiente paso de la iteración.

El otro valor entre corchetes se considera if (caso de buen comportamiento), o en caso contrario, cualquiera de y tiene un valor de función de signo opuesto a . El procedimiento puede finalizarse cuando se obtiene una precisión determinada. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle f(x_{1})f(x_{3})<0}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle f(x_{3})}$

Referencias

1. Ridders, C. (1979). "Un nuevo algoritmo para calcular una raíz única de una función continua real". Transacciones IEEE sobre circuitos y sistemas . 26 (11): 979–980. doi :10.1109/TCS.1979.1084580.
2. Kiusalaas, Jaan (2010). Métodos numéricos en ingeniería con Python (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 146-150. ISBN 978-0-521-19132-6.
3. Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 9.2.1. Método de Ridders". Recetas numéricas : el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.