Lema de Cartan (teoría del potencial)

Lema matemático

En la teoría del potencial , una rama de las matemáticas , el lema de Cartan , llamado así en honor a Henri Cartan , es un límite en la medida y la complejidad del conjunto en el que un potencial newtoniano logarítmico es pequeño.

Enunciado del lema

La siguiente declaración se puede encontrar en el libro de Levin. ^[1]

Sea μ una medida de Borel positiva finita en el plano complejo C con μ ( C ) =  n . Sea u ( z ) el potencial logarítmico de  μ :

${\displaystyle u(z)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbf {C} }\log |z-\zeta |\,d\mu (\zeta )}$

Dado H  ∈ (0, 1), existen discos de radios r _i tales que

${\displaystyle \sum _{i}r_{i}<5H}$

y

${\displaystyle u(z)\geq {\frac {n}{2\pi }}\log {\frac {H}{e}}}$

para todo z fuera de la unión de estos discos.

Notas

1. B.Ya. Levin, Lecciones sobre funciones completas