Par de bailey

En matemáticas, un par de Bailey es un par de secuencias que satisfacen ciertas relaciones, y una cadena de Bailey es una secuencia de pares de Bailey. Los pares de Bailey fueron introducidos por WN Bailey  (1947, 1948) mientras estudiaba la segunda demostración Rogers 1917 de las identidades de Rogers-Ramanujan , y las cadenas de Bailey fueron introducidas por Andrews (1984).

Definición

Los símbolos q-Pochhammer se definen como: ${\displaystyle (a;q)_{n}}$

${\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{0\leq j<n}(1-aq^{j})=(1-a)(1-aq)\cdots (1-aq^{n-1}).}$

Un par de secuencias (α _n ,β _n ) se denomina par Bailey si están relacionadas por

${\displaystyle \beta _{n}=\sum _{r=0}^{n}{\frac {\alpha _{r}}{(q;q)_{n-r}(aq;q)_{n+r}}}}$

o equivalentemente

${\displaystyle \alpha _{n}=(1-aq^{2n})\sum _{j=0}^{n}{\frac {(aq;q)_{n+j-1}(-1)^{n-j}q^{n-j \choose 2}\beta _{j}}{(q;q)_{n-j}}}.}$

Lema de Bailey

El lema de Bailey establece que si (α _n ,β _n ) es un par de Bailey, entonces también lo es (α' _n ,β' _n ) donde

${\displaystyle \alpha _{n}^{\prime }={\frac {(\rho _{1};q)_{n}(\rho _{2};q)_{n}(aq/\rho _{1}\rho _{2})^{n}\alpha _{n}}{(aq/\rho _{1};q)_{n}(aq/\rho _{2};q)_{n}}}}$

${\displaystyle \beta _{n}^{\prime }=\sum _{j\geq 0}{\frac {(\rho _{1};q)_{j}(\rho _{2};q)_{j}(aq/\rho _{1}\rho _{2};q)_{n-j}(aq/\rho _{1}\rho _{2})^{j}\beta _{j}}{(q;q)_{n-j}(aq/\rho _{1};q)_{n}(aq/\rho _{2};q)_{n}}}.}$

En otras palabras, dado un par Bailey, se puede construir un segundo utilizando las fórmulas anteriores. Este proceso se puede repetir para producir una secuencia infinita de pares Bailey, llamada cadena Bailey .

Ejemplos

Un ejemplo de un par Bailey lo da (Andrews, Askey y Roy 1999, p. 590).

${\displaystyle \alpha _{n}=q^{n^{2}+n}\sum _{j=-n}^{n}(-1)^{j}q^{-j^{2}},\quad \beta _{n}={\frac {(-q)^{n}}{(q^{2};q^{2})_{n}}}.}$

LJ Slater  (1952) dio una lista de 130 ejemplos relacionados con los pares Bailey.

Referencias

• Andrews, George E. (1984), "Identidades de tipo Rogers-Ramanujan de series múltiples", Pacific Journal of Mathematics , 114 (2): 267–283, doi : 10.2140/pjm.1984.114.267 , ISSN  0030-8730, MR  0757501
• Andrews, George E. ; Askey, Richard ; Roy, Ranjan (1999), Funciones especiales , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 71, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-62321-6, Sr.  1688958
• Bailey, WN (1947), "Algunas identidades en el análisis combinatorio", Actas de la London Mathematical Society , Segunda serie, 49 (6): 421–425, doi :10.1112/plms/s2-49.6.421, ISSN  0024-6115, MR  0022816
• Bailey, WN (1948), "Identidades del tipo Rogers-Ramanujan", Proc. London Math. Soc. , s2-50 (1): 1–10, doi :10.1112/plms/s2-50.1.1
• Paule, Peter , El concepto de cadenas de Bailey (PDF)
• Slater, LJ (1952), "Otras identidades del tipo Rogers-Ramanujan", Actas de la London Mathematical Society , Segunda serie, 54 (2): 147–167, doi :10.1112/plms/s2-54.2.147, ISSN  0024-6115, MR  0049225
• Warnaar, S. Ole (2001), "50 años del lema de Bailey", Combinatoria algebraica y aplicaciones (Gössweinstein, 1999) (PDF) , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, pp. 333–347, MR  1851961