Fractal de Lyapunov

Tipo de fractal

Fractal logístico de Lyapunov estándar con secuencia de iteración AB, en la región [2, 4] × [2, 4].

Detalle del fractal de Lyapunov en forma de golondrina. Secuencia de iteración AB, en la región [3.81, 3.87] x [3.81, 3.87].

Fractal logístico de Lyapunov generalizado con secuencia de iteración AABAB, en la región [2, 4] × [2, 4].

Fractal logístico de Lyapunov generalizado con secuencia de iteración BBBBBBAAAAAA, en la región de parámetros de crecimiento ( A , B ) en [3.4, 4.0] × [2.5, 3.4], conocido como Zircon Zity .

En matemáticas , los fractales de Lyapunov (también conocidos como fractales de Markus-Lyapunov ) son fractales bifurcacionales derivados de una extensión del mapa logístico en el que el grado de crecimiento de la población, r , cambia periódicamente entre dos valores A y B. ^[1 ]

Un fractal de Lyapunov se construye mapeando las regiones de estabilidad y comportamiento caótico (medido usando el exponente de Lyapunov ) en el plano a − b para secuencias periódicas dadas de a y b . En las imágenes, el amarillo corresponde a (estabilidad) y el azul corresponde a (caos). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda <0}$ ${\displaystyle \lambda >0}$

Los fractales de Lyapunov fueron descubiertos a finales de los años 1980 ^[2] por el físico germano-chileno Mario Markus del Instituto Max Planck de Fisiología Molecular . Fueron presentados al gran público a través de un artículo de divulgación científica sobre matemáticas recreativas publicado en Scientific American en 1991. ^[3]

Propiedades

Los fractales de Lyapunov se dibujan generalmente para valores de A y B en el intervalo . Para valores mayores, el intervalo [0,1] ya no es estable y es probable que la secuencia se vea atraída por el infinito, aunque continúan existiendo ciclos convergentes de valores finitos para algunos parámetros. Para todas las secuencias de iteración, la diagonal a = b es siempre la misma que para la función logística estándar de un parámetro. ${\displaystyle [0,4]}$

La secuencia suele comenzar en el valor 0,5, que es un punto crítico de la función iterativa. ^[4] Los otros puntos críticos (incluso los de valor complejo) de la función iterativa durante una ronda completa son aquellos que pasan por el valor 0,5 en la primera ronda. Un ciclo convergente debe atraer al menos un punto crítico. ^[5] Por lo tanto, todos los ciclos convergentes se pueden obtener simplemente desplazando la secuencia de iteración y manteniendo el valor inicial 0,5. En la práctica, desplazar esta secuencia conduce a cambios en el fractal, ya que algunas ramas quedan cubiertas por otras. Por ejemplo, el fractal de Lyapunov para la secuencia de iteración AB (ver la figura superior a la derecha) no es perfectamente simétrico con respecto a a y b .

Algoritmo

El algoritmo para calcular los fractales de Lyapunov funciona de la siguiente manera: ^[6]

1. Elija una cadena de A y B de cualquier longitud no trivial (por ejemplo, AABAB).
2. Construir la secuencia formada por términos sucesivos de la cadena, repetida tantas veces como sea necesario. ${\displaystyle S}$
3. Elige un punto . ${\displaystyle (a,b)\in [0,4]\times [0,4]}$
4. Define la función si , y si . ${\displaystyle r_{n}=a}$ ${\displaystyle S_{n}=A}$ ${\displaystyle r_{n}=b}$ ${\displaystyle S_{n}=B}$
5. Sea , y calcule las iteraciones . ${\displaystyle x_{0}=0.5}$ ${\displaystyle x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})}$
6. Calcular el exponente de Lyapunov: En la práctica, se aproxima eligiendo un valor adecuadamente grande y eliminando el primer sumando como para .
   ${\displaystyle \lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty }{1 \over N}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n}(1-2x_{n})|}$
   ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle r_{0}(1-2x_{0})=r_{n}\cdot 0=0}$ ${\displaystyle x_{0}=0.5}$
7. Colorea el punto según el valor obtenido. ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle \lambda }$
8. Repita los pasos (3 a 7) para cada punto en el plano de la imagen.

Más iteraciones

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Más dimensiones

Animación de un fractal de Lyapunov en 3D con la secuencia ABBBCA

Los fractales de Lyapunov se pueden calcular en más de dos dimensiones. La cadena de secuencia para un fractal n -dimensional debe construirse a partir de un alfabeto con n caracteres, por ejemplo, "ABBBCA" para un fractal 3D, que se puede visualizar como un objeto 3D o como una animación que muestra un "corte" en la dirección C para cada cuadro de animación, como el ejemplo que se muestra aquí.

Notas

1. Véase Markus y Hess 1989, pág. 553.
2. Véase Markus y Hess 1989 y Markus 1990.
3. Véase Dewdney 1991.
4. Véase Markus 1990, pág. 483.
5. Véase Markus 1990, pág. 486.
6. Véase Markus 1990, págs. 481, 483 y Markus y Hess 1998.

Referencias

• Dewdney, AK (1991). "Saltando al espacio de Lyapunov". Scientific American . 265 (3): 130–132. doi :10.1038/scientificamerican0991-178.
• Markus, Mario; Hess, Benno (1989). "Exponentes de Lyapunov del mapa logístico con forzamiento periódico". Computers and Graphics . 13 (4): 553–558. doi :10.1016/0097-8493(89)90019-8.
• Markus, Mario (1990). "Caos en aplicaciones con máximos continuos y discontinuos". Computers in Physics . 4 (5): 481. doi :10.1063/1.4822940.
• Markus, Mario; Hess, Benno (1998). "Capítulo 12. Exponentes de Lyapunov del mapa logístico con forzamiento periódico". En Clifford A. Pickover (ed.). Caos y fractales. Un viaje gráfico por computadora . Elsevier. págs. 73-78. doi :10.1016/B978-0-444-50002-1.X5000-0. ISBN . 978-0-444-50002-1.
• Markus, Mario, "Die Kunst der Mathematik", Verlag Zweitausendeins, Frankfurt ISBN 978-3-86150-767-3 

Enlaces externos

• Fractales y caos de EFG: exponentes de Lyapunov
• Elert, Glenn. "El espacio de Lyapunov". El hipertexto del caos .