En dinámica de fluidos , el flujo de Rayleigh (en honor al físico inglés Lord Rayleigh ) se refiere al flujo de fluido sin fricción y no adiabático a través de un conducto de área constante donde se considera el efecto de la transferencia de calor . Los efectos de compresibilidad a menudo entran en consideración, aunque el modelo de flujo de Rayleigh ciertamente también se aplica al flujo incompresible . Para este modelo, el área del conducto permanece constante y no se agrega masa dentro del conducto. Por lo tanto, a diferencia del flujo de Fanno , la temperatura de estancamiento es una variable. La adición de calor causa una disminución en la presión de estancamiento , lo que se conoce como efecto Rayleigh y es crítico en el diseño de sistemas de combustión. La adición de calor hará que los números de Mach supersónicos y subsónicos se acerquen a Mach 1, lo que resulta en un flujo estrangulado . Por el contrario, el rechazo de calor disminuye un número de Mach subsónico y aumenta un número de Mach supersónico a lo largo del conducto. Se puede demostrar que para flujos calóricamente perfectos, la entropía máxima ocurre en M = 1 .
El modelo de flujo de Rayleigh comienza con una ecuación diferencial que relaciona el cambio en el número de Mach con el cambio en la temperatura de estancamiento , T 0 . La ecuación diferencial se muestra a continuación.
Resolver la ecuación diferencial conduce a la relación que se muestra a continuación, donde T 0 * es la temperatura de estancamiento en la ubicación de la garganta del conducto que se requiere para estrangular térmicamente el flujo.
Estos valores son importantes en el diseño de los sistemas de combustión. Por ejemplo, si la cámara de combustión de un turborreactor tiene una temperatura máxima de T 0 * = 2000 K, T 0 y M a la entrada de la cámara de combustión deben seleccionarse de manera que no se produzca un estrangulamiento térmico, que limitaría el caudal másico de aire que entra en el motor y disminuiría el empuje.
Para el modelo de flujo de Rayleigh, la relación adimensional del cambio en la entropía se muestra a continuación.
La ecuación anterior se puede utilizar para trazar la línea de Rayleigh en un gráfico de número de Mach versus ΔS, pero el diagrama de entalpía adimensional, H, versus ΔS, se utiliza con más frecuencia. La ecuación de entalpía adimensional se muestra a continuación con una ecuación que relaciona la temperatura estática con su valor en la ubicación del estrangulador para un gas calóricamente perfecto donde la capacidad térmica a presión constante, c p , permanece constante.
La ecuación anterior se puede manipular para resolver M como una función de H. Sin embargo, debido a la forma de la ecuación T/T*, se forma una relación multirraíz complicada para M = M(T/T*). En cambio, M se puede elegir como una variable independiente donde ΔS y H se pueden emparejar en un gráfico como se muestra en la Figura 1. La Figura 1 muestra que el calentamiento aumentará un número de Mach subsónico aguas arriba hasta que M = 1.0 y el flujo se obstruya . Por el contrario, agregar calor a un conducto con un número de Mach supersónico aguas arriba hará que el número de Mach disminuya hasta que el flujo se obstruya. El enfriamiento produce el resultado opuesto para cada uno de esos dos casos. El modelo de flujo de Rayleigh alcanza la entropía máxima en M = 1.0 Para el flujo subsónico, el valor máximo de H ocurre en M = 0.845. Esto indica que el enfriamiento, en lugar del calentamiento, hace que el número de Mach pase de 0,845 a 1,0. Esto no es necesariamente correcto, ya que la temperatura de estancamiento siempre aumenta para mover el flujo de un número de Mach subsónico a M = 1, pero de M = 0,845 a M = 1,0 el flujo se acelera más rápido de lo que se le añade calor. Por lo tanto, esta es una situación en la que se añade calor pero T/T* disminuye en esa región.
El área y el caudal másico se mantienen constantes en el flujo de Rayleigh. A diferencia del flujo de Fanno, el factor de fricción de Fanning , f , permanece constante. Estas relaciones se muestran a continuación con el símbolo * que representa la ubicación de la garganta donde puede producirse el estrangulamiento.
También se pueden desarrollar y resolver ecuaciones diferenciales para describir las relaciones de propiedades de flujo de Rayleigh con respecto a los valores en el punto de estrangulamiento. Las relaciones de presión, densidad, temperatura estática, velocidad y presión de estancamiento se muestran a continuación, respectivamente. Se representan gráficamente junto con la ecuación de relación de temperatura de estancamiento de la sección anterior. Una propiedad de estancamiento contiene un subíndice "0".
El modelo de flujo de Rayleigh tiene muchos usos analíticos, sobre todo en el caso de los motores de aeronaves. Por ejemplo, las cámaras de combustión en el interior de los motores turborreactores suelen tener un área constante y la adición de masa de combustible es insignificante. Estas propiedades hacen que el modelo de flujo de Rayleigh sea aplicable para la adición de calor al flujo durante la combustión, suponiendo que la adición de calor no dé lugar a la disociación de la mezcla de aire y combustible. La producción de una onda de choque en el interior de la cámara de combustión de un motor debido a la obstrucción térmica es muy indeseable debido a la disminución del caudal másico y del empuje. Por lo tanto, el modelo de flujo de Rayleigh es fundamental para un diseño inicial de la geometría del conducto y la temperatura de combustión de un motor.
El modelo de flujo de Rayleigh también se utiliza ampliamente con el modelo de flujo de Fanno . Estos dos modelos se cruzan en puntos de los diagramas de entalpía-entropía y número de Mach-entropía, lo que es significativo para muchas aplicaciones. Sin embargo, los valores de entropía para cada modelo no son iguales en el estado sónico. El cambio en la entropía es 0 en M = 1 para cada modelo, pero la afirmación anterior significa que el cambio en la entropía desde el mismo punto arbitrario hasta el punto sónico es diferente para los modelos de flujo de Fanno y Rayleigh. Si se definen los valores iniciales de s i y M i , se puede definir una nueva ecuación para la entropía adimensional frente al número de Mach para cada modelo. Estas ecuaciones se muestran a continuación para el flujo de Fanno y Rayleigh, respectivamente.
La figura 3 muestra las líneas de Rayleigh y Fanno que se intersecan entre sí para las condiciones iniciales de s i = 0 y M i = 3,0. Los puntos de intersección se calculan igualando las nuevas ecuaciones de entropía adimensionales entre sí, lo que da como resultado la siguiente relación.
Los puntos de intersección se dan en el número de Mach inicial dado y su valor de choque postnormal . Para la Figura 3, estos valores son M = 3,0 y 0,4752, que se pueden encontrar en las tablas de choque normal que figuran en la mayoría de los libros de texto sobre flujo compresible. Un flujo dado con un área de conducto constante puede cambiar entre los modelos de Rayleigh y Fanno en estos puntos.
![{\displaystyle \ \Delta S={\frac {\Delta s}{c_{p}}}=\ln \left[M^{2}\left({\frac {\gamma +1}{1+\gamma M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{\gamma }}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1681b8a5a10368dd146c749b739db7efb671701b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {p}{p^{*}}}&={\frac {\gamma +1}{1+\gamma M^{2}}}\\{\frac {\rho }{\rho ^{*}}}&={\frac {1+\gamma M^{2}}{\left(\gamma +1\right)M^{2}}}\\{\frac {T}{T^{*}}}&={\frac {\left(\gamma +1\right)^{2}M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\\{\frac {v}{v^{*}}}&={\frac {\left(\gamma +1\right)M^{2}}{1+\gamma M^{2}}}\\{\frac {p_{0}}{p_{0}^{*}}}&={\frac {\gamma +1}{1+\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {2}{\gamma +1}}\right)\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\right]^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743aaf05dbb54a1222e8816dc70ff532200c92da)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta S_{F}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=ln\left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{\frac {\gamma -1}{\gamma }}\left({\frac {1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}}{1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}}}\right)^{\frac {\gamma +1}{2\gamma }}\right]\\\Delta S_{R}&={\frac {s-s_{i}}{c_{p}}}=ln\left[\left({\frac {M}{M_{i}}}\right)^{2}\left({\frac {1+\gamma M_{i}^{2}}{1+\gamma M^{2}}}\derecha)^{\frac {\gamma +1}{\gamma }}\derecha]\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/633682b2afb429fcbcad29ed7f1a75eebb98bf63)
![{\displaystyle \ \left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M_{i}^{2}\right)\left[{\frac {M_{i}^{2}}{\left(1+\gamma M_{i}^{2}\right)^{2}}}\right]=\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}M^{2}\right)\left[{\frac {M^{2}}{\left(1+\gamma M^{2}\right)^{2}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1031340758891c29e5707e01def7e1c5983b548d)