Control predictivo de modelos

Método avanzado de control de procesos

El control predictivo de modelos ( MPC ) es un método avanzado de control de procesos que se utiliza para controlar un proceso mientras se satisface un conjunto de restricciones. Se ha utilizado en las industrias de procesos en plantas químicas y refinerías de petróleo desde la década de 1980. En los últimos años también se ha utilizado en modelos de equilibrio de sistemas de potencia ^[1] y en electrónica de potencia . ^[2] Los controladores predictivos de modelos se basan en modelos dinámicos del proceso, con mayor frecuencia modelos empíricos lineales obtenidos por identificación del sistema . La principal ventaja del MPC es el hecho de que permite optimizar el intervalo de tiempo actual, al mismo tiempo que se tienen en cuenta los intervalos de tiempo futuros. Esto se logra optimizando un horizonte de tiempo finito, pero solo implementando el intervalo de tiempo actual y luego optimizando nuevamente, repetidamente, diferenciándose así de un regulador lineal-cuadrático ( LQR ). Además, el MPC tiene la capacidad de anticipar eventos futuros y puede tomar acciones de control en consecuencia. Los controladores PID no tienen esta capacidad predictiva. El MPC se implementa casi universalmente como un control digital, aunque existe investigación para lograr tiempos de respuesta más rápidos con circuitos analógicos especialmente diseñados. ^[3]

El control predictivo generalizado (GPC) y el control matricial dinámico (DMC) son ejemplos clásicos de MPC. ^[4]

Descripción general

Simulación MPC de múltiples entradas y múltiples salidas con 3 estados y 3 actuadores

Los modelos utilizados en MPC generalmente están destinados a representar el comportamiento de sistemas dinámicos complejos y simples . La complejidad adicional del algoritmo de control MPC generalmente no es necesaria para proporcionar un control adecuado de sistemas simples, que a menudo se controlan bien mediante controladores PID genéricos . Las características dinámicas comunes que son difíciles de controlar para los controladores PID incluyen grandes retrasos de tiempo y dinámicas de alto orden.

Los modelos MPC predicen el cambio en las variables dependientes del sistema modelado que será causado por cambios en las variables independientes . En un proceso químico, las variables independientes que pueden ser ajustadas por el controlador son a menudo los puntos de ajuste de los controladores PID reguladores (presión, flujo, temperatura, etc.) o el elemento de control final (válvulas, compuertas, etc.). Las variables independientes que no pueden ser ajustadas por el controlador se utilizan como perturbaciones. Las variables dependientes en estos procesos son otras mediciones que representan objetivos de control o restricciones del proceso.

El MPC utiliza las mediciones actuales de la planta, el estado dinámico actual del proceso, los modelos del MPC y los objetivos y límites de las variables del proceso para calcular los cambios futuros en las variables dependientes. Estos cambios se calculan para mantener las variables dependientes cerca del objetivo y, al mismo tiempo, respetar las restricciones tanto de las variables independientes como de las dependientes. El MPC normalmente envía solo el primer cambio en cada variable independiente que se va a implementar y repite el cálculo cuando se requiere el siguiente cambio.

Si bien muchos procesos reales no son lineales, a menudo se los puede considerar aproximadamente lineales en un rango de operación pequeño. Los enfoques de MPC lineal se utilizan en la mayoría de las aplicaciones con el mecanismo de retroalimentación del MPC que compensa los errores de predicción debidos a la falta de correspondencia estructural entre el modelo y el proceso. En los controladores predictivos de modelos que consisten únicamente en modelos lineales, el principio de superposición del álgebra lineal permite que el efecto de los cambios en múltiples variables independientes se sume para predecir la respuesta de las variables dependientes. Esto simplifica el problema de control a una serie de cálculos directos de álgebra matricial que son rápidos y robustos.

Cuando los modelos lineales no son lo suficientemente precisos para representar las no linealidades del proceso real, se pueden utilizar varios enfoques. En algunos casos, las variables del proceso se pueden transformar antes y/o después del modelo MPC lineal para reducir la no linealidad. El proceso se puede controlar con MPC no lineal que utiliza un modelo no lineal directamente en la aplicación de control. El modelo no lineal puede adoptar la forma de un ajuste de datos empíricos (por ejemplo, redes neuronales artificiales) o un modelo dinámico de alta fidelidad basado en balances fundamentales de masa y energía. El modelo no lineal se puede linealizar para derivar un filtro de Kalman o especificar un modelo para MPC lineal.

Un estudio algorítmico realizado por El-Gherwi, Budman y El Kamel muestra que el uso de un enfoque de modo dual puede proporcionar una reducción significativa en los cálculos en línea y, al mismo tiempo, mantener un rendimiento comparable al de una implementación no modificada. El algoritmo propuesto resuelve N problemas de optimización convexa en paralelo basándose en el intercambio de información entre controladores. ^[5]

Teoría detrás del MPC

Un esquema MPC discreto.

El MPC se basa en la optimización iterativa de horizonte finito de un modelo de planta. En el momento se toma una muestra del estado actual de la planta y se calcula una estrategia de control que minimiza los costos (a través de un algoritmo de minimización numérica) para un horizonte de tiempo relativamente corto en el futuro: . Específicamente, se utiliza un cálculo en línea o sobre la marcha para explorar las trayectorias de estado que emanan del estado actual y encontrar (a través de la solución de las ecuaciones de Euler-Lagrange ) una estrategia de control que minimiza los costos hasta el momento . Solo se implementa el primer paso de la estrategia de control, luego se toma una muestra del estado de la planta nuevamente y se repiten los cálculos comenzando desde el nuevo estado actual, lo que produce un nuevo control y una nueva ruta de estado predicha. El horizonte de predicción se sigue desplazando hacia adelante y por esta razón el MPC también se llama control de horizonte de retroceso . Aunque este enfoque no es óptimo, en la práctica ha dado muy buenos resultados. Se han realizado muchas investigaciones académicas para encontrar métodos rápidos de solución de ecuaciones de tipo Euler-Lagrange, para comprender las propiedades de estabilidad global de la optimización local de MPC y, en general, para mejorar el método MPC. ^{[6] [7]} ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [t,t+T]}$ ${\displaystyle t+T}$

Principios del MPC

El control predictivo de modelos es un algoritmo de control multivariable que utiliza:

• un modelo dinámico interno del proceso
• una función de costo J a lo largo del horizonte que se aleja
• un algoritmo de optimización que minimiza la función de costo J utilizando la entrada de control u

Un ejemplo de una función de costo cuadrática para optimización viene dado por:

${\displaystyle J=\sum _{i=1}^{N}w_{x_{i}}(r_{i}-x_{i})^{2}+\sum _{i=1}^{M}w_{u_{i}}{\Delta u_{i}}^{2}}$

sin violar restricciones (límites bajos/altos) con

${\displaystyle x_{i}}$: ^la variable controlada (por ejemplo, temperatura medida) ${\displaystyle i}$

${\displaystyle r_{i}}$: ^la variable de referencia (por ejemplo, la temperatura requerida) ${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}}$: ^la variable manipulada (por ejemplo, válvula de control) ${\displaystyle i}$

${\displaystyle w_{x_{i}}}$: coeficiente de ponderación que refleja la importancia relativa de ${\displaystyle x_{i}}$

${\displaystyle w_{u_{i}}}$: coeficiente de ponderación que penaliza los grandes cambios relativos en ${\displaystyle u_{i}}$

etc.

MPC no lineal

El control predictivo de modelos no lineales, o NMPC, es una variante del control predictivo de modelos que se caracteriza por el uso de modelos de sistemas no lineales en la predicción. Al igual que en el MPC lineal, el NMPC requiere la solución iterativa de problemas de control óptimo en un horizonte de predicción finito. Si bien estos problemas son convexos en el MPC lineal, en el MPC no lineal ya no son necesariamente convexos. Esto plantea desafíos tanto para la teoría de estabilidad del NMPC como para la solución numérica. ^[8]

La solución numérica de los problemas de control óptimo NMPC se basa típicamente en métodos de control óptimo directo que utilizan esquemas de optimización de tipo Newton, en una de las variantes: disparo único directo , métodos de disparo múltiple directo o colocación directa . ^[9] Los algoritmos NMPC normalmente explotan el hecho de que los problemas de control óptimo consecutivos son similares entre sí. Esto permite inicializar el procedimiento de solución de tipo Newton de manera eficiente mediante una estimación adecuadamente desplazada de la solución óptima calculada previamente, ahorrando cantidades considerables de tiempo de cálculo. La similitud de los problemas posteriores se explota aún más mediante algoritmos de seguimiento de ruta (o "iteraciones en tiempo real") que nunca intentan iterar ningún problema de optimización hasta la convergencia, sino que solo toman unas pocas iteraciones hacia la solución del problema NMPC más actual, antes de proceder al siguiente, que está adecuadamente inicializado; consulte, por ejemplo, .. ^[10] Otro candidato prometedor para el problema de optimización no lineal es utilizar un método de optimización aleatorio. Las soluciones óptimas se encuentran generando muestras aleatorias que satisfacen las restricciones en el espacio de soluciones y encontrando la óptima en función de la función de costo. ^[11]

Si bien las aplicaciones de NMPC se han utilizado en el pasado principalmente en las industrias de procesos y químicas con tasas de muestreo comparativamente lentas, NMPC se está aplicando cada vez más, con avances en el hardware del controlador y algoritmos computacionales, por ejemplo, preacondicionamiento , ^[12] a aplicaciones con altas tasas de muestreo, por ejemplo, en la industria automotriz, o incluso cuando los estados se distribuyen en el espacio ( sistemas de parámetros distribuidos ). ^[13] Como aplicación en la industria aeroespacial, recientemente, NMPC se ha utilizado para rastrear trayectorias óptimas de seguimiento/evitación del terreno en tiempo real. ^[14]

MPC explícito

El MPC explícito (eMPC) permite una evaluación rápida de la ley de control para algunos sistemas, en marcado contraste con el MPC en línea. El MPC explícito se basa en la técnica de programación paramétrica , donde la solución al problema de control MPC formulado como problema de optimización se precalcula fuera de línea. ^[15] Esta solución fuera de línea, es decir, la ley de control, a menudo tiene la forma de una función afín por partes (PWA), por lo tanto, el controlador eMPC almacena los coeficientes de la PWA para cada subconjunto (región de control) del espacio de estados, donde la PWA es constante, así como los coeficientes de algunas representaciones paramétricas de todas las regiones. Cada región resulta ser geométricamente un politopo convexo para el MPC lineal, comúnmente parametrizado por coeficientes para sus caras, lo que requiere un análisis de precisión de cuantificación . ^[16] La obtención de la acción de control óptima se reduce entonces a determinar primero la región que contiene el estado actual y segundo a una mera evaluación de la PWA utilizando los coeficientes de la PWA almacenados para todas las regiones. Si el número total de regiones es pequeño, la implementación del eMPC no requiere recursos computacionales significativos (en comparación con el MPC en línea) y es especialmente adecuado para sistemas de control con dinámica rápida. ^[17] Un serio inconveniente del eMPC es el crecimiento exponencial del número total de regiones de control con respecto a algunos parámetros clave del sistema controlado, por ejemplo, el número de estados, lo que aumenta drásticamente los requisitos de memoria del controlador y hace que el primer paso de la evaluación de PWA, es decir, la búsqueda de la región de control actual, sea computacionalmente costoso.

MPC robusto

Las variantes robustas del control predictivo de modelos pueden tener en cuenta las perturbaciones limitadas por conjuntos y, al mismo tiempo, garantizar que se cumplan las restricciones de estado. A continuación se presentan algunos de los principales enfoques del control predictivo de modelos robusto.

• MPC mín-máx . En esta formulación, la optimización se realiza con respecto a todas las posibles evoluciones de la perturbación. ^[18] Esta es la solución óptima para los problemas de control robusto lineal, sin embargo conlleva un alto costo computacional. La idea básica detrás del enfoque MPC mín/máx es modificar la optimización "mín" en línea a un problema "mín-máx", minimizando el peor caso de la función objetivo, maximizado sobre todas las plantas posibles del conjunto de incertidumbre. ^[19]
• Ajuste de restricciones MPC . Aquí las restricciones de estado se amplían por un margen dado de modo que se puede garantizar que se encuentre una trayectoria bajo cualquier evolución de perturbación. ^[20]
• Tubo MPC . Este utiliza un modelo nominal independiente del sistema y utiliza un controlador de retroalimentación para garantizar que el estado real converja al estado nominal. ^[21] La cantidad de separación requerida de las restricciones de estado está determinada por el conjunto positivo invariante robusto (RPI), que es el conjunto de todas las posibles desviaciones de estado que pueden introducirse por perturbaciones con el controlador de retroalimentación.
• MPC multietapa . Este método utiliza una formulación de árbol de escenarios mediante la aproximación del espacio de incertidumbre con un conjunto de muestras. El enfoque no es conservador porque tiene en cuenta que la información de medición está disponible en cada etapa temporal de la predicción y las decisiones en cada etapa pueden ser diferentes y pueden actuar como recurso para contrarrestar los efectos de las incertidumbres. Sin embargo, el inconveniente de este enfoque es que el tamaño del problema crece exponencialmente con el número de incertidumbres y el horizonte de predicción. ^{[22] [23]}
• MPC multietapa mejorado con tubos . Este enfoque combina el MPC multietapa y el MPC basado en tubos. Proporciona altos grados de libertad para elegir el equilibrio deseado entre optimización y simplicidad mediante la clasificación de incertidumbres y la elección de leyes de control en las predicciones. ^{[24] [25]}

Software MPC disponible comercialmente

Existen paquetes MPC comerciales disponibles y generalmente contienen herramientas para la identificación y análisis de modelos , el diseño y ajuste del controlador, así como la evaluación del rendimiento del controlador.

SJ Qin y TA Badgwell proporcionaron un estudio de los paquetes disponibles comercialmente en Control Engineering Practice 11 (2003) 733–764.

Comparación entre MPC y LQR

Tanto el control predictivo de modelos como los reguladores lineales-cuadráticos son expresiones del control óptimo, con diferentes esquemas para establecer costos de optimización.

Mientras que un controlador predictivo de modelos a menudo analiza conjuntos de funciones de error de longitud fija y a menudo ponderados gradualmente, el regulador lineal-cuadrático analiza todas las entradas del sistema lineal y proporciona la función de transferencia que reducirá el error total en todo el espectro de frecuencia, compensando el error de estado con la frecuencia de entrada.

Debido a estas diferencias fundamentales, LQR tiene mejores propiedades de estabilidad global, pero MPC a menudo tiene un rendimiento localmente más óptimo y complejo.

Las principales diferencias entre MPC y LQR son que LQR optimiza a lo largo de toda la ventana de tiempo (horizonte), mientras que MPC optimiza en una ventana de tiempo que se aleja ^[4] , y que con MPC se calcula a menudo una nueva solución, mientras que LQR utiliza la misma solución única (óptima) para todo el horizonte de tiempo. Por lo tanto, MPC normalmente resuelve el problema de optimización en una ventana de tiempo más pequeña que todo el horizonte y, por lo tanto, puede obtener una solución subóptima. Sin embargo, debido a que MPC no hace suposiciones sobre la linealidad, puede manejar restricciones estrictas, así como la migración de un sistema no lineal fuera de su punto de operación linealizado, ambos inconvenientes importantes de LQR.

Esto significa que el LQR puede debilitarse cuando se opera lejos de puntos fijos estables. El MPC puede trazar un camino entre estos puntos fijos, pero no se garantiza la convergencia de una solución, especialmente si se ha descuidado la consideración de la convexidad y la complejidad del espacio del problema.

Véase también

• Ingeniería de control
• Teoría del control
• Retroalimentación hacia adelante
• Identificación del sistema

Referencias

1. Arnold, Michèle; Andersson, Göran; "Control predictivo de modelos de almacenamiento de energía, incluidos pronósticos inciertos" https://www.pscc-central.org/uploads/tx_ethpublications/fp292.pdf
2. Geyer, Tobias; Control predictivo de modelos de convertidores de alta potencia y accionamientos industriales , Wiley, Londres, ISBN  978-1-119-01090-6 , noviembre de 2016.
3. Vichik, Sergey; Borrelli, Francesco (2014). "Resolución de programas lineales y cuadráticos con un circuito analógico". Computers & Chemical Engineering . 70 : 160–171. doi :10.1016/j.compchemeng.2014.01.011.
4. Wang, Liuping (2009). Diseño e implementación de sistemas de control predictivo de modelos utilizando MATLAB® . Springer Science & Business Media. págs. xii.
5. Al-Gherwi, Walid; Budman, Hector; Elkamel, Ali (3 de julio de 2012). "Un control predictivo robusto de modelos distribuidos basado en un enfoque de modo dual". Computers and Chemical Engineering . 50 (2013): 130–138. doi :10.1016/j.compchemeng.2012.11.002.
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8. Una excelente visión general del estado del arte (en 2008) se ofrece en las actas de los dos grandes talleres internacionales sobre NMPC, por Zheng y Allgöwer (2000) y por Findeisen, Allgöwer y Biegler (2006).
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Lectura adicional

• Kwon, Wook Hyun; Bruckstein, Alfred M.; Kailath, Thomas (1983). "Diseño de retroalimentación de estado estabilizador mediante el método del horizonte móvil". Revista Internacional de Control . 37 (3): 631–643. doi :10.1080/00207178308932998.
• García, Carlos E.; Prett, David M.; Morari, Manfred (1989). "Modelo de control predictivo: teoría y práctica". Automática . 25 (3): 335–348. doi :10.1016/0005-1098(89)90002-2.
• Findeisen, Rolf; Allgöwer, Frank (2001). "Introducción al control predictivo de modelos no lineales". Curso de verano sobre "El impacto de la optimización en el control", Instituto Holandés de Sistemas y Control, CW Scherer y JM Schumacher, Editores : 3.1–3.45.
• Mayne, David Q.; Michalska, Hannah (1990). "Control de sistemas no lineales mediante horizonte de retroceso". IEEE Transactions on Automatic Control . 35 (7): 814–824. doi :10.1109/9.57020.
• Mayne, David Q.; Rawlings, James B.; Rao, Christopher V.; Scokaert, Pierre OM (2000). "Control predictivo de modelos restringidos: estabilidad y optimalidad". Automatica . 36 (6): 789–814. doi :10.1016/S0005-1098(99)00214-9.
• Allgöwer, Frank; Zheng, Alex, eds. (2000). Control predictivo de modelos no lineales . Progreso en teoría de sistemas. Vol. 26. Birkhauser.
• Camacho; Bordones (2004). Control predictivo del modelo . Springer Verlag.
• Findeisen, Rolf; Allgöwer, Frank; Biegler, Lorenz T. (2006). Evaluación y futuras direcciones del control predictivo de modelos no lineales . Apuntes de clase en ciencias de la información y el control. Vol. 26. Springer.
• Diehl, Moritz M.; Bock, H. Georg; Schlöder, Johannes P.; Findeisen, Rolf; Nagy, Zoltan; Allgöwer, Frank (2002). "Optimización en tiempo real y control predictivo de modelos no lineales de procesos gobernados por ecuaciones diferenciales-algebraicas". Journal of Process Control . 12 (4): 577–585. doi :10.1016/S0959-1524(01)00023-3.
• Rawlings, James B.; Mayne, David Q.; y Diehl, Moritz M.; Control predictivo de modelos: teoría, computación y diseño (2.ª edición), Nob Hill Publishing, LLC, ISBN 978-0975937730 (octubre de 2017) 
• Geyer, Tobias; Control predictivo de modelos de convertidores de alta potencia y variadores industriales , Wiley, Londres, ISBN 978-1-119-01090-6 , noviembre de 2016 

Enlaces externos

• Caso práctico. Planta de tratamiento de aguas residuales de Lancaster, optimización mediante control predictivo de modelos de Perceptive Engineering
• ACADO Toolkit: kit de herramientas de código abierto para control automático y optimización dinámica que ofrece herramientas MPC lineales y no lineales. (Interfaz C++ y MATLAB disponible)
• μAO-MPC: paquete de software de código abierto que genera código personalizado para controladores predictivos de modelos en sistemas integrados en código C altamente portable.
• GRAMPC: marco de software de código abierto para el control predictivo de modelos no lineales integrados mediante un método lagrangiano aumentado basado en gradientes. (Código C simple, sin generación de código, interfaz MATLAB)
• jMPC Toolbox - Caja de herramientas MATLAB de código abierto para MPC lineal.
• Estudio sobre la aplicación de NMPC a la criogenia de superfluidos (Proyecto de Doctorado).
• Caja de herramientas de control predictivo de modelos no lineales para MATLAB y Python
• Caja de herramientas de control predictivo de modelos de MathWorks para el diseño y simulación de controladores predictivos de modelos en MATLAB y Simulink
• Controlador predictivo de modelo de pulso paso a paso - simulador virtual
• Tutorial sobre MPC con ejemplos de Excel y MATLAB
• GEKKO: Control predictivo de modelos en Python