Lacunaridad

Término en geometría y análisis fractal.

Figura 1. Patrones fractales básicos que aumentan en lagunaridad de izquierda a derecha.

Las mismas imágenes que arriba, rotadas 90°. Mientras que las dos primeras imágenes parecen esencialmente iguales a las de arriba, la tercera se ve diferente de su original sin rotar. Esta característica se captura en las medidas de lagunaridad enumeradas en la parte superior de las figuras, calculadas utilizando el software estándar de conteo de cajas de imágenes biológicas FracLac, Image.

Lacunaridad , del latín laguna, que significa "brecha" o "lago", es un término especializado en geometría que se refiere a una medida de cómo los patrones, especialmente los fractales , llenan el espacio, donde los patrones que tienen más o mayores espacios generalmente tienen una mayor laguna. Más allá de ser una medida intuitiva de la brecha, la lagunaridad puede cuantificar características adicionales de patrones como la "invariancia rotacional" y, en general, la heterogeneidad. ^{[1] [2] [3]} Esto se ilustra en la Figura 1 que muestra tres patrones fractales. Cuando se giran 90°, los dos primeros patrones bastante homogéneos no parecen cambiar, pero la tercera figura más heterogénea sí cambia y, en consecuencia, tiene una laguna más alta. La primera referencia al término en geometría suele atribuirse a Benoit Mandelbrot , quien, en 1983 o quizás ya en 1977, lo introdujo como, en esencia, un complemento del análisis fractal . ^[4] El análisis de lacunaridad se utiliza ahora para caracterizar patrones en una amplia variedad de campos y tiene aplicación en el análisis multifractal ^{[5] [6]} en particular (ver Aplicaciones).

Medición de lacunaridad

En muchos patrones o conjuntos de datos, la lacunaridad no es fácilmente perceptible ni cuantificable, por lo que se han desarrollado métodos asistidos por computadora para calcularla. Como cantidad mensurable, la lacunaridad a menudo se denota en la literatura científica con las letras griegas o, pero es importante señalar que no existe un estándar único y existen varios métodos diferentes para evaluar e interpretar la lacunaridad. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$

Lagunaridad en el conteo de cajas

Figura 2a. Cajas colocadas sobre una imagen como una cuadrícula fija.

Figura 2b. Los cuadros se deslizaban sobre una imagen en un patrón superpuesto.

Un método bien conocido para determinar lacunaridad de patrones extraídos de imágenes digitales utiliza el conteo de cajas , el mismo algoritmo esencial que se usa típicamente para algunos tipos de análisis fractales . ^{[1] [4]} De manera similar a mirar un portaobjetos a través de un microscopio con niveles cambiantes de aumento, los algoritmos de conteo de cajas observan una imagen digital desde muchos niveles de resolución para examinar cómo ciertas características cambian con el tamaño del elemento utilizado para inspeccionar el imagen. Básicamente, la disposición de los píxeles se mide utilizando elementos tradicionalmente cuadrados (es decir, con forma de caja) de un conjunto arbitrario de tamaños, convencionalmente denominados s. Para cada uno , se coloca sucesivamente un cuadro de tamaño sobre la imagen, al final cubriéndola por completo, y cada vez que se coloca se registra el número de píxeles que caen dentro del cuadro. ^{[nota 1]} En el conteo de cuadros estándar , el cuadro para cada entrada se coloca como si fuera parte de una cuadrícula superpuesta a la imagen para que el cuadro no se superponga, pero en los algoritmos de cuadro deslizante el cuadro se desliza sobre la imagen para que que se superponga y se calcula la "Lacunaridad de la caja deslizante" o SLac. ^{[3] [7]} La ​​Figura 2 ilustra ambos tipos de recuento de cajas. ${\displaystyle \mathrm {E} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathrm {E} }$

Cálculos a partir del recuento de cajas.

Los datos recopilados para cada uno se manipulan para calcular lacunaridad. Una medida, indicada aquí como , se obtiene a partir del coeficiente de variación ( ), calculado como la desviación estándar ( ) dividida por la media ( ), para píxeles por cuadro. ^{[1] [3] [6]} Debido a que la forma en que se muestrea una imagen dependerá de la ubicación inicial arbitraria, para cualquier imagen muestreada en cualquier lugar habrá un número ( ) de orientaciones posibles, cada una indicada aquí por , en las que los datos pueden que pueden tener diferentes efectos en la distribución medida de píxeles. ^{[5] [nota 2]} La ecuación 1 muestra el método básico de cálculo : ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon }}$ ${\displaystyle {\mathit {CV}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle {\mathit {G}}}$ ${\displaystyle {\mathit {g}}}$ ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$

Distribuciones de probabilidad

Alternativamente, algunos métodos clasifican el número de píxeles contados en una distribución de probabilidad que tiene contenedores y utilizan los tamaños de los contenedores (masas, ) y sus probabilidades correspondientes ( ) para calcular de acuerdo con las ecuaciones 2 a 5 : ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$

Interpretaciónλ

La lacunaridad basada en se ha evaluado de varias maneras, incluido el uso de la variación o el valor promedio de para cada (ver Ecuación 6 ) y el uso de la variación o el promedio de todas las cuadrículas (ver Ecuación 7 ). ^{[1] [5] [7] [8]} ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$ ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Relación con la dimensión fractal

Los análisis de lacunaridad que utilizan los tipos de valores discutidos anteriormente han demostrado que los conjuntos de datos extraídos de fractales densos, de patrones que cambian poco cuando se rotan o de patrones que son homogéneos, tienen una baja lacunaridad, pero a medida que estas características aumentan, ^{[ se necesita aclaración ]} en general hace lacunaridad. En algunos casos, se ha demostrado que las dimensiones fractales y los valores de lacunaridad estaban correlacionados, ^[1] pero investigaciones más recientes han demostrado que esta relación no se cumple para todos los tipos de patrones y medidas de lacunaridad. ^[5] De hecho, como propuso originalmente Mandelbrot, se ha demostrado que la lacunaridad es útil para discernir entre patrones (por ejemplo, fractales, texturas, etc.) que comparten o tienen dimensiones fractales similares en una variedad de campos científicos, incluida la neurociencia. ^[8]

Lagunaridad gráfica

Otros métodos para evaluar la lacunaridad a partir de datos de conteo de cajas utilizan la relación entre los valores de lacunaridad (p. ej., ) y de maneras diferentes a las mencionadas anteriormente. Uno de esos métodos analiza la gráfica versus de estos valores. Según este método, la curva en sí se puede analizar visualmente o la pendiente se puede calcular a partir de la línea de regresión vs. ^{[3] [7]} Debido a que tienden a comportarse de ciertas maneras para patrones mono, multi y no fractales, respectivamente, se han utilizado gráficos versus lacunaridad para complementar los métodos de clasificación de dichos patrones. ^{[5] [8]} ${\displaystyle \lambda _{\varepsilon ,g}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle {\mathit {g}}}$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$

Para realizar los gráficos para este tipo de análisis, primero se deben transformar los datos del conteo de cajas como en la Ecuación 9 :

Esta transformación evita valores indefinidos, lo cual es importante porque las imágenes homogéneas tendrán en algún momento igual a 0, por lo que sería imposible encontrar la pendiente de la línea de regresión vs. Con , las imágenes homogéneas tienen una pendiente de 0, lo que corresponde intuitivamente a la idea de que no hay invariancia rotacional o traslacional ni espacios. ^[9] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle f\lambda _{\varepsilon ,g}}$

Una técnica de conteo de cajas que utiliza una caja "deslizante" calcula la lacunaridad de acuerdo con:

${\displaystyle S_{i}}$es el número de puntos de datos completados en el cuadro y la distribución de frecuencia normalizada para diferentes tamaños de cuadro. ${\displaystyle Q(S_{i},r)}$ ${\displaystyle S_{i}}$

Laguna prefactor

Otra forma propuesta de evaluar lacunaridad utilizando el conteo de cajas, el método Prefactor , se basa en el valor obtenido del conteo de cajas para la dimensión fractal ( ). Esta estadística utiliza la variable de la regla de escala , donde se calcula a partir de la intersección y ( ) de la línea de regresión ln-ln para y el recuento ( ) de cuadros que tenían algún píxel o en . Se ve particularmente afectado por el tamaño de la imagen y la forma en que se recopilan los datos, especialmente por el límite inferior de s utilizado. La medida final se calcula como se muestra en las Ecuaciones 11 a 13 : ^{[1] [4]} ${\displaystyle D_{B}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle N=A\varepsilon ^{-D_{B}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathit {y}}}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Aplicaciones

A continuación se muestra una lista de algunos campos donde la lacunaridad juega un papel importante, junto con enlaces a investigaciones relevantes que ilustran los usos prácticos de la lacunaridad.

• Ecología ^[2]
• Física ^[10]
• Arqueología ^[11]
• Imágenes médicas ^{[6] [12]}
• Análisis espacial urbano ^{[13] [14]}
• Estudios sísmicos ^[15]
• Odontología ^[16]
• Ciencia de los alimentos ^[17]

Notas

1. Esto contrasta con el análisis fractal de conteo de cajas, donde se cuenta el número total de cajas que contenían píxeles para determinar una dimensión fractal.
2. Consulte FracLac, Box Counting para obtener una explicación de los métodos para abordar la variación con la ubicación de la cuadrícula.

Referencias

1. Smith, TG; Lange, GD; Marcas, WB (1996). "Métodos fractales y resultados en morfología celular: dimensiones, lagunas y multifractales". Revista de métodos de neurociencia . 69 (2): 123-136. doi :10.1016/S0165-0270(96)00080-5. PMID  8946315. S2CID  20175299.
2. Plotnick, RE; Gardner, RH; Hargrove, WW; Prestegaard, K.; Perlmutter, M. (1996). "Análisis de lacunaridad: una técnica general para el análisis de patrones espaciales". Revisión física E. 53 (5): 5461–8. Código bibliográfico : 1996PhRvE..53.5461P. doi :10.1103/physreve.53.5461. PMID  9964879.
3. Plotnick, RE; Gardner, RH; O'Neill, RV (1993). "Índices de lagunaridad como medidas de textura del paisaje". Ecología del Paisaje . 8 (3): 201. doi : 10.1007/BF00125351. S2CID  7112365.
4. Mandelbrot, Benoit (1983). La geometría fractal de la naturaleza . ISBN 978-0-7167-1186-5.
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7. McIntyre, NE; Viena, JA (2000). "Un uso novedoso del índice de lacunaridad para discernir la función del paisaje". Ecología del Paisaje . 15 (4): 313. doi :10.1023/A:1008148514268. S2CID  18644861.
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enlaces externos

• "Guía del usuario de FracLac".Una guía en línea sobre la teoría y el análisis de lacunaridades utilizando software gratuito y de código abierto para imágenes biológicas.