En teoría de números , el último teorema de Fermat (a veces llamado conjetura de Fermat , especialmente en textos antiguos) establece que no existen tres números enteros positivos a , b y c que satisfagan la ecuación a n + b n = c n para cualquier valor entero de n mayor que 2. Desde la antigüedad se sabe que los casos n = 1 y n = 2 tienen infinitas soluciones. [1]
La proposición fue enunciada por primera vez como teorema por Pierre de Fermat alrededor de 1637 en el margen de una copia de Arithmetica . Fermat añadió que tenía una prueba que era demasiado larga para caber en el margen. Aunque otras afirmaciones afirmadas por Fermat sin prueba fueron posteriormente demostradas por otros y acreditadas como teoremas de Fermat (por ejemplo, el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados ), el último teorema de Fermat se resistía a la prueba, lo que llevó a dudar de que Fermat tuviera alguna vez una prueba correcta. En consecuencia, la proposición pasó a ser conocida como una conjetura en lugar de un teorema. Después de 358 años de esfuerzo por parte de los matemáticos, la primera prueba exitosa fue publicada en 1994 por Andrew Wiles y formalmente publicada en 1995. Fue descrita como un "avance asombroso" en la cita del premio Abel de Wiles en 2016. [2] También demostró gran parte de la conjetura de Taniyama-Shimura, posteriormente conocida como el teorema de modularidad , y abrió enfoques completamente nuevos para numerosos otros problemas y técnicas matemáticamente poderosas de elevación de la modularidad .
El problema no resuelto estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en los siglos XIX y XX. Es uno de los teoremas más notables en la historia de las matemáticas y antes de su demostración figuraba en el Libro Guinness de los Récords como el "problema matemático más difícil", en parte porque el teorema tiene el mayor número de demostraciones fallidas. [3]
La ecuación pitagórica , x 2 + y 2 = z 2 , tiene un número infinito de soluciones enteras positivas para x , y y z ; estas soluciones se conocen como ternas pitagóricas (siendo el ejemplo más simple 3, 4, 5). Alrededor de 1637, Fermat escribió en el margen de un libro que la ecuación más general a n + b n = c n no tenía soluciones en números enteros positivos si n es un número entero mayor que 2. Aunque afirmó tener una prueba general de su conjetura, Fermat no dejó detalles de su prueba, y nunca se ha encontrado ninguna prueba suya. Su afirmación fue descubierta unos 30 años después, después de su muerte. Esta afirmación, que llegó a conocerse como el Último Teorema de Fermat , permaneció sin resolver durante los siguientes tres siglos y medio. [4]
La afirmación acabó convirtiéndose en uno de los problemas no resueltos más notables de las matemáticas. Los intentos de demostrarla impulsaron un desarrollo sustancial de la teoría de números y, con el tiempo, el último teorema de Fermat ganó prominencia como un problema no resuelto en las matemáticas .
El caso especial n = 4 , demostrado por el propio Fermat, es suficiente para establecer que si el teorema es falso para algún exponente n que no sea un número primo , también debe ser falso para algún n más pequeño , por lo que solo los valores primos de n necesitan más investigación. [nota 1] Durante los siguientes dos siglos (1637-1839), la conjetura se demostró solo para los primos 3, 5 y 7, aunque Sophie Germain innovó y demostró un enfoque que era relevante para toda una clase de primos. A mediados del siglo XIX, Ernst Kummer amplió esto y demostró el teorema para todos los primos regulares , dejando que los primos irregulares se analizaran individualmente. Basándose en el trabajo de Kummer y utilizando sofisticados estudios informáticos, otros matemáticos pudieron ampliar la prueba para cubrir todos los exponentes primos hasta cuatro millones, [5] pero una prueba para todos los exponentes era inaccesible (lo que significa que los matemáticos generalmente consideraban que una prueba era imposible, extremadamente difícil o inalcanzable con el conocimiento actual). [6]
Por otra parte, alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama sospecharon que podría existir un vínculo entre las curvas elípticas y las formas modulares , dos áreas completamente diferentes de las matemáticas. Conocida en ese momento como la conjetura de Taniyama-Shimura (eventualmente como el teorema de modularidad), se sostuvo por sí sola, sin conexión aparente con el Último Teorema de Fermat. Fue vista ampliamente como significativa e importante por derecho propio, pero era (como el teorema de Fermat) considerada ampliamente completamente inaccesible a la prueba. [7]
En 1984, Gerhard Frey advirtió un aparente vínculo entre estos dos problemas previamente no relacionados y sin resolver. Frey dio un esquema que sugería que esto podía probarse. La prueba completa de que los dos problemas estaban estrechamente relacionados fue realizada en 1986 por Ken Ribet , basándose en una prueba parcial de Jean-Pierre Serre , quien demostró todas las partes menos una conocida como la "conjetura épsilon" (ver: Teorema de Ribet y curva de Frey ). [2] Estos artículos de Frey, Serre y Ribet mostraron que si la conjetura de Taniyama-Shimura podía probarse al menos para la clase semiestable de curvas elípticas, una prueba del Último Teorema de Fermat también seguiría automáticamente. La conexión se describe a continuación: cualquier solución que pudiera contradecir el Último Teorema de Fermat también podría usarse para contradecir la conjetura de Taniyama-Shimura. Así que, si se comprobara que el teorema de modularidad es verdadero, entonces, por definición, no podría existir ninguna solución que contradijera el último teorema de Fermat, que, por tanto, también tendría que ser verdadero.
Aunque ambos problemas eran desalentadores y se consideraban ampliamente "completamente inaccesibles" para su demostración en ese momento, [2] esta fue la primera sugerencia de una ruta por la cual el Último Teorema de Fermat podría extenderse y demostrarse para todos los números, no solo para algunos números. A diferencia del Último Teorema de Fermat, la conjetura de Taniyama-Shimura fue un área de investigación activa importante y se consideró más al alcance de las matemáticas contemporáneas. [8] Sin embargo, la opinión general fue que esto simplemente mostraba la impracticabilidad de demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura. [9] La reacción citada del matemático John Coates fue una común: [9]
Yo mismo era muy escéptico en cuanto a que el hermoso vínculo entre el Último Teorema de Fermat y la conjetura de Taniyama-Shimura pudiera realmente llevar a algo, porque debo confesar que no creía que la conjetura de Taniyama-Shimura fuera accesible a la prueba. Por hermoso que fuera este problema, parecía imposible de demostrar en la realidad. Debo confesar que pensaba que probablemente no lo vería demostrado en mi vida.
Al oír que Ribet había demostrado que el vínculo de Frey era correcto, el matemático inglés Andrew Wiles , que había estado fascinado desde niño con el Último Teorema de Fermat y tenía experiencia trabajando con curvas elípticas y campos relacionados, decidió intentar demostrar la conjetura de Taniyama-Shimura como una forma de demostrar el Último Teorema de Fermat. En 1993, después de seis años de trabajar en secreto en el problema, Wiles logró demostrar lo suficiente de la conjetura para demostrar el Último Teorema de Fermat. El artículo de Wiles era enorme en tamaño y alcance. Se descubrió un fallo en una parte de su artículo original durante la revisión por pares y requirió un año más y la colaboración con un ex estudiante, Richard Taylor , para resolverlo. Como resultado, la prueba final en 1995 fue acompañada por un artículo conjunto más pequeño que mostraba que los pasos fijos eran válidos. El logro de Wiles fue ampliamente reportado en la prensa popular y se popularizó en libros y programas de televisión. Las partes restantes de la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil, ahora probadas y conocidas como el teorema de modularidad, fueron posteriormente demostradas por otros matemáticos, que se basaron en el trabajo de Wiles entre 1996 y 2001. [10] [11] [12] Por su prueba, Wiles fue honrado y recibió numerosos premios , incluido el Premio Abel 2016. [13] [14] [15]
Hay varias formas alternativas de enunciar el último teorema de Fermat que son matemáticamente equivalentes al enunciado original del problema.
Para enunciarlas, utilizamos las siguientes notaciones: sea N el conjunto de los números naturales 1, 2, 3, ..., sea Z el conjunto de los números enteros 0, ±1, ±2, ..., y sea Q el conjunto de los números racionales a / b , donde a y b están en Z con b ≠ 0 . En lo que sigue llamaremos solución trivial a una solución de x n + y n = z n donde uno o más de x , y o z son cero . Una solución donde los tres son distintos de cero se llamará solución no trivial .
A modo de comparación, comenzamos con la formulación original.
La mayoría de los tratamientos populares del tema lo expresan de esta manera. También se suele decir lo mismo sobre Z : [16]
La equivalencia es clara si n es par. Si n es impar y los tres x , y , z son negativos, entonces podemos reemplazar x , y , z por − x , − y , − z para obtener una solución en N . Si dos de ellos son negativos, debe ser x y z o y y z . Si x , z son negativos e y es positivo, entonces podemos reorganizar para obtener (− z ) n + y n = (− x ) n resultando en una solución en N ; el otro caso se trata de forma análoga. Ahora bien, si solo uno es negativo, debe ser x o y . Si x es negativo e y y z son positivos, entonces se puede reorganizar para obtener (− x ) n + z n = y n resultando nuevamente en una solución en N ; si y es negativo, el resultado se sigue simétricamente. Por lo tanto, en todos los casos una solución no trivial en Z también significaría que existe una solución en N , la formulación original del problema.
Esto se debe a que los exponentes de x , y y z son iguales (a n ), por lo que si hay una solución en Q , entonces se puede multiplicar por un denominador común apropiado para obtener una solución en Z y, por lo tanto , en N.
Una solución no trivial a , b , c ∈ Z para x n + y n = z n produce la solución no trivial a / c , b / c ∈ Q para v n + w n = 1 . Por el contrario, una solución a / b , c / d ∈ Q para v n + w n = 1 produce la solución no trivial ad , cb , bd para x n + y n = z n .
Esta última formulación es particularmente fructífera, porque reduce el problema de un problema sobre superficies en tres dimensiones a un problema sobre curvas en dos dimensiones. Además, permite trabajar sobre el cuerpo Q , en lugar de sobre el anillo Z ; los cuerpos presentan más estructura que los anillos , lo que permite un análisis más profundo de sus elementos.
Al examinar esta curva elíptica con el teorema de Ribet se observa que no tiene una forma modular . Sin embargo, la prueba de Andrew Wiles demuestra que cualquier ecuación de la forma y 2 = x ( x − a n )( x + b n ) sí tiene una forma modular. Por lo tanto, cualquier solución no trivial de x p + y p = z p (siendo p un primo impar) crearía una contradicción , lo que a su vez demuestra que no existen soluciones no triviales. [18]
En otras palabras, cualquier solución que pudiera contradecir el Último Teorema de Fermat también podría utilizarse para contradecir el teorema de modularidad. Por lo tanto, si se comprobara que el teorema de modularidad es cierto, se seguiría que tampoco podría existir ninguna contradicción con el Último Teorema de Fermat. Como se ha descrito anteriormente, el descubrimiento de este enunciado equivalente fue crucial para la solución final del Último Teorema de Fermat, ya que proporcionó un medio por el cual se lo podía "atacar" para todos los números a la vez.
En la antigüedad se sabía que un triángulo cuyos lados guardaban la proporción 3:4:5 tendría un ángulo recto como uno de sus ángulos. Esto se utilizó en la construcción y más tarde en la geometría primitiva. También se sabía que era un ejemplo de una regla general que cualquier triángulo donde la longitud de dos lados, cada uno elevado al cuadrado y luego sumado (3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25) , fuera igual al cuadrado de la longitud del tercer lado (5 2 = 25) , también sería un triángulo rectángulo. Esto ahora se conoce como el teorema de Pitágoras , y un triple de números que cumple esta condición se llama triple pitagórico; ambos reciben su nombre del antiguo griego Pitágoras . Los ejemplos incluyen (3, 4, 5) y (5, 12, 13). Hay una cantidad infinita de tales triples, [19] y los métodos para generar tales triples han sido estudiados en muchas culturas, comenzando con los babilonios [20] y más tarde los matemáticos antiguos griegos , chinos e indios . [1] Matemáticamente, la definición de un triple pitagórico es un conjunto de tres números enteros ( a , b , c ) que satisfacen la ecuación [21] a 2 + b 2 = c 2 .
La ecuación de Fermat, x n + y n = z n con soluciones enteras positivas , es un ejemplo de una ecuación diofántica , [22] llamada así por el matemático alejandrino del siglo III , Diofanto , quien las estudió y desarrolló métodos para la solución de algunos tipos de ecuaciones diofánticas. Un problema diofántico típico es encontrar dos números enteros x e y tales que su suma, y la suma de sus cuadrados, sean iguales a dos números dados A y B , respectivamente:
La obra principal de Diofanto es la Aritmética , de la que sólo ha sobrevivido una parte. [23] La conjetura de Fermat sobre su Último Teorema surgió mientras leía una nueva edición de la Aritmética , [24] que fue traducida al latín y publicada en 1621 por Claude Bachet . [25] [26]
Las ecuaciones diofánticas se han estudiado durante miles de años. Por ejemplo, las soluciones de la ecuación diofántica cuadrática x 2 + y 2 = z 2 se dan mediante las ternas pitagóricas , resueltas originalmente por los babilonios ( c. 1800 a. C. ). [27] Las soluciones de las ecuaciones diofánticas lineales, como 26 x + 65 y = 13 , se pueden encontrar utilizando el algoritmo de Euclides (c. siglo V a. C.). [28] Muchas ecuaciones diofánticas tienen una forma similar a la ecuación del último teorema de Fermat desde el punto de vista del álgebra, en el sentido de que no tienen términos cruzados que mezclen dos letras, sin compartir sus propiedades particulares. Por ejemplo, se sabe que hay infinitos números enteros positivos x , y y z tales que x n + y n = z m , donde n y m son números naturales primos entre sí . [nota 2]
El problema II.8 de la Aritmética plantea la cuestión de cómo un número cuadrado dado se divide en otros dos cuadrados; en otras palabras, para un número racional dado k , hallar los números racionales u y v tales que k 2 = u 2 + v 2 . Diofanto muestra cómo resolver este problema de suma de cuadrados para k = 4 (las soluciones son u = 16/5 y v = 12/5 ). [29]
Alrededor de 1637, Fermat escribió su Último Teorema en el margen de su copia de la Aritmética junto al problema de suma de cuadrados de Diofanto : [30] [31] [32]
Después de la muerte de Fermat en 1665, su hijo Clément-Samuel Fermat produjo una nueva edición del libro (1670) aumentada con los comentarios de su padre. [35] Aunque en realidad no era un teorema en ese momento (es decir, un enunciado matemático para el cual existe prueba ), la nota marginal se conoció con el tiempo como el Último Teorema de Fermat , [30] ya que fue el último de los teoremas afirmados por Fermat que permaneció sin demostrar. [36] [37]
No se sabe si Fermat había encontrado realmente una prueba válida para todos los exponentes n , pero parece poco probable. Sólo se ha conservado una prueba relacionada suya, concretamente para el caso n = 4 , como se describe en la sección § Pruebas para exponentes específicos.
Aunque Fermat planteó los casos de n = 4 y de n = 3 como desafíos a sus corresponsales matemáticos, como Marin Mersenne , Blaise Pascal y John Wallis , [38] nunca planteó el caso general. [39] Además, en los últimos treinta años de su vida, Fermat nunca volvió a escribir sobre su "prueba verdaderamente maravillosa" del caso general, y nunca la publicó. Van der Poorten [40] sugiere que, si bien la ausencia de una prueba es insignificante, la falta de desafíos significa que Fermat se dio cuenta de que no tenía una prueba; cita a Weil [41] diciendo que Fermat debe haberse engañado brevemente a sí mismo con una idea irrecuperable. Se desconocen las técnicas que Fermat podría haber utilizado en una "prueba tan maravillosa".
La prueba de Wiles y Taylor se basa en técnicas del siglo XX. [42] La prueba de Fermat habría tenido que ser elemental en comparación, dado el conocimiento matemático de su época.
Aunque la gran conjetura de Harvey Friedman implica que cualquier teorema demostrable (incluido el último teorema de Fermat) puede demostrarse utilizando únicamente " aritmética de funciones elementales ", dicha prueba sólo necesita ser "elemental" en un sentido técnico y podría implicar millones de pasos, y por lo tanto ser demasiado larga para haber sido la prueba de Fermat.
Sólo ha sobrevivido una prueba relevante de Fermat , en la que utiliza la técnica del descenso infinito para demostrar que el área de un triángulo rectángulo con lados enteros nunca puede ser igual al cuadrado de un entero. [43] [44] [45] Su prueba es equivalente a demostrar que la ecuación
no tiene soluciones primitivas en números enteros (no hay soluciones coprimas por pares). A su vez, esto demuestra el Último Teorema de Fermat para el caso n = 4 , ya que la ecuación a 4 + b 4 = c 4 puede escribirse como c 4 − b 4 = ( a 2 ) 2 .
Demostraciones alternativas del caso n = 4 fueron desarrolladas posteriormente [46] por Frénicle de Bessy (1676), [47] Leonhard Euler (1738), [48] Kausler (1802), [49] Peter Barlow (1811), [50] Adrien-Marie Legendre (1830), [51] Schopis (1825), [52] Olry Terquem (1846), [53] Joseph Bertrand (1851), [54] Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), [55] Théophile Pépin (1883), [56] Tafelmacher (1893), [57] David Hilbert (1897), [58] Bendz (1901), [59] Gamboli (1901), [60] Leopold Kronecker (1901), [61] Bang (1905), [62] Sommer (1907), [63] Bottari (1908), [64] Karel Rychlík (1910), [65] Nutzhorn (1912), [66] Robert Carmichael (1913), [67] Hancock (1931), [68] Gheorghe Vrănceanu (1966), [69] Grant y Perella (1999), [70] Barbara (2007), [71] y Dolan (2011). [72]
Después de que Fermat demostrara el caso especial n = 4 , la prueba general para todo n requería solamente que el teorema se estableciera para todos los exponentes primos impares. [73] En otras palabras, era necesario demostrar solamente que la ecuación a n + b n = c n no tiene soluciones enteras positivas ( a , b , c ) cuando n es un número primo impar . Esto se deduce porque una solución ( a , b , c ) para un n dado es equivalente a una solución para todos los factores de n . A modo de ilustración, sea n factorizado en d y e , n = de . La ecuación general
implica que ( a d , b d , c d ) es una solución para el exponente e
Así, para demostrar que la ecuación de Fermat no tiene soluciones para n > 2 , bastaría con demostrar que no tiene soluciones para al menos un factor primo de cada n . Todo entero n > 2 es divisible por 4 o por un número primo impar (o por ambos). Por tanto, el Último Teorema de Fermat podría demostrarse para todo n si pudiera demostrarse para n = 4 y para todos los primos impares p .
En los dos siglos siguientes a su conjetura (1637-1839), el Último Teorema de Fermat fue demostrado para tres exponentes primos impares p = 3, 5 y 7. El caso p = 3 fue enunciado por primera vez por Abu-Mahmud Khojandi (siglo X), pero su intento de prueba del teorema fue incorrecto. [74] [75] En 1770, Leonhard Euler dio una prueba de p = 3, [76] pero su prueba por descenso infinito [77] contenía una laguna importante. [78] [79] [80] Sin embargo, dado que el propio Euler había demostrado el lema necesario para completar la prueba en otro trabajo, generalmente se le atribuye la primera prueba. [45] [81] [82] Se publicaron pruebas independientes [83] por Kausler (1802), [49] Legendre (1823, 1830), [51] [84] Calzolari (1855), [85] Gabriel Lamé (1865), [86] Peter Guthrie Tait (1872), [87] Siegmund Günther (1878), [88] Gambioli (1901) ), [60] Krey (1909), [89] Rychlík (1910), [65] Stockhaus (1910), [90] Carmichael (1915), [91] Johannes van der Corput (1915), [92] Axel Thue (1917), [93] y Duarte (1944). [94]
El caso p = 5 fue demostrado [95] independientemente por Legendre y Peter Gustav Lejeune Dirichlet alrededor de 1825. [96] [97] [45] [98] Demostraciones alternativas fueron desarrolladas [99] por Carl Friedrich Gauss (1875, póstumo), [100] Lebesgue (1843), [101] Lamé (1847), [102] Gambioli (1901), [60] [103] Werebrusow (1905), [104] [ cita completa requerida ] Rychlík (1910), [105] [ dudoso – discutir ] [ cita completa requerida ] van der Corput (1915), [92] y Guy Terjanian (1987). [106]
El caso p = 7 fue demostrado [107] [108] [45] [98] por Lamé en 1839. [109] Su prueba, bastante complicada, fue simplificada en 1840 por Lebesgue, [110] y pruebas aún más simples [111] fueron publicadas por Angelo Genocchi en 1864, 1874 y 1876. [112] Pruebas alternativas fueron desarrolladas por Théophile Pépin (1876) [113] y Edmond Maillet (1897). [114]
El último teorema de Fermat también fue demostrado para los exponentes n = 6, 10 y 14. Las pruebas para n = 6 fueron publicadas por Kausler, [49] Thue, [115] Tafelmacher, [116] Lind, [117] Kapferer, [118] Swift, [119] y Breusch. [120] De manera similar, Dirichlet [121] y Terjanian [122] demostraron cada uno el caso n = 14, mientras que Kapferer [118] y Breusch [120] demostraron cada uno el caso n = 10. Estrictamente hablando, estas pruebas son innecesarias, ya que estos casos se siguen de las pruebas para n = 3, 5 y 7, respectivamente. Sin embargo, el razonamiento de estas pruebas de exponente par difiere de sus contrapartes de exponente impar. La prueba de Dirichlet para n = 14 se publicó en 1832, antes de la prueba de Lamé de 1839 para n = 7. [ 123]
Todas las pruebas para exponentes específicos usaban la técnica de Fermat de descenso infinito , [ cita requerida ] ya sea en su forma original, o en la forma de descenso en curvas elípticas o variedades abelianas. Los detalles y argumentos auxiliares, sin embargo, eran a menudo ad hoc y vinculados al exponente individual en consideración. [124] Dado que se volvían cada vez más complicados a medida que p aumentaba, parecía improbable que el caso general del Último Teorema de Fermat pudiera demostrarse basándose en las pruebas para exponentes individuales. [124] Aunque algunos resultados generales sobre el Último Teorema de Fermat fueron publicados a principios del siglo XIX por Niels Henrik Abel y Peter Barlow , [125] [126] el primer trabajo significativo sobre el teorema general fue realizado por Sophie Germain . [127]
A principios del siglo XIX, Sophie Germain desarrolló varios enfoques novedosos para demostrar el Último Teorema de Fermat para todos los exponentes. [128] Primero, definió un conjunto de primos auxiliares θ construido a partir del exponente primo p por la ecuación θ = 2 hp + 1 , donde h es cualquier entero no divisible por tres. Demostró que, si ningún entero elevado a la p ésima potencia era adyacente módulo θ (la condición de no consecutividad ), entonces θ debe dividir el producto xyz . Su objetivo era utilizar la inducción matemática para demostrar que, para cualquier p dado , infinitos primos auxiliares θ satisfacían la condición de no consecutividad y, por lo tanto, dividían a xyz ; dado que el producto xyz puede tener como máximo un número finito de factores primos, dicha prueba habría establecido el Último Teorema de Fermat. Aunque desarrolló muchas técnicas para establecer la condición de no consecutividad, no tuvo éxito en su objetivo estratégico. También trabajó para establecer límites inferiores en el tamaño de las soluciones de la ecuación de Fermat para un exponente dado p , una versión modificada de la cual fue publicada por Adrien-Marie Legendre . Como subproducto de este último trabajo, demostró el teorema de Sophie Germain , que verificó el primer caso del Último Teorema de Fermat (es decir, el caso en el que p no divide a xyz ) para cada exponente primo impar menor que 270, [128] [129] y para todos los primos p tales que al menos uno de 2 p + 1 , 4 p + 1 , 8 p + 1 , 10 p + 1 , 14 p + 1 y 16 p + 1 es primo (especialmente, los primos p tales que 2 p + 1 es primo se llaman primos de Sophie Germain ). Germain intentó sin éxito demostrar el primer caso del Último Teorema de Fermat para todos los exponentes pares, específicamente para n = 2 p , que fue demostrado por Guy Terjanian en 1977. [130] En 1985, Leonard Adleman , Roger Heath-Brown y Étienne Fouvrydemostró que el primer caso del Último Teorema de Fermat es válido para infinitos primos impares p . [131]
En 1847, Gabriel Lamé esbozó una prueba del Último Teorema de Fermat basada en la factorización de la ecuación x p + y p = z p en números complejos , específicamente el campo ciclotómico basado en las raíces del número 1. Sin embargo, su prueba falló porque suponía incorrectamente que tales números complejos pueden factorizarse de manera única en primos, de manera similar a los números enteros. Esta brecha fue señalada inmediatamente por Joseph Liouville , quien más tarde leyó un artículo que demostraba esta falla de la factorización única, escrito por Ernst Kummer .
Kummer se propuso determinar si el campo ciclotómico podía generalizarse para incluir nuevos números primos de modo que se restableciera la factorización única. Logró su cometido desarrollando los números ideales .
(A menudo se afirma que Kummer fue llevado a sus "números complejos ideales" por su interés en el Último Teorema de Fermat; incluso hay una historia que a menudo se cuenta que Kummer, como Lamé , creía que había demostrado el Último Teorema de Fermat hasta que Lejeune Dirichlet le dijo que su argumento se basaba en la factorización única; pero la historia fue contada por primera vez por Kurt Hensel en 1910 y la evidencia indica que probablemente se deriva de una confusión de una de las fuentes de Hensel. Harold Edwards dijo que la creencia de que Kummer estaba principalmente interesado en el Último Teorema de Fermat "es seguramente errónea". [132] Véase la historia de los números ideales .)
Utilizando el enfoque general delineado por Lamé, Kummer demostró ambos casos del Último Teorema de Fermat para todos los números primos regulares . Sin embargo, no pudo demostrar el teorema para los primos excepcionales (primos irregulares) que ocurren conjeturalmente aproximadamente el 39% de las veces ; los únicos primos irregulares por debajo de 270 son 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 y 263.
En la década de 1920, Louis Mordell planteó una conjetura que implicaba que la ecuación de Fermat tiene como máximo un número finito de soluciones enteras primitivas no triviales, si el exponente n es mayor que dos. [133] [134] Esta conjetura fue demostrada en 1983 por Gerd Faltings , [135] y ahora se conoce como el teorema de Faltings .
En la segunda mitad del siglo XX, se utilizaron métodos computacionales para extender el enfoque de Kummer a los primos irregulares. En 1954, Harry Vandiver utilizó una computadora SWAC para demostrar el Último Teorema de Fermat para todos los primos hasta 2521. [136] En 1978, Samuel Wagstaff había extendido esto a todos los primos menores de 125.000. [137] En 1993, el Último Teorema de Fermat había sido demostrado para todos los primos menores de cuatro millones. [5]
Sin embargo, a pesar de estos esfuerzos y sus resultados, no existía ninguna prueba del Último Teorema de Fermat. Las pruebas de exponentes individuales por su naturaleza nunca podrían probar el caso general : incluso si todos los exponentes se verificaran hasta un número extremadamente grande X, todavía podría existir un exponente más alto más allá de X para el cual la afirmación no fuera cierta. (Este había sido el caso con algunas otras conjeturas pasadas, como con el número de Skewes , y no podía descartarse en esta conjetura).
La estrategia que finalmente condujo a una prueba exitosa del Último Teorema de Fermat surgió de la "asombrosa" [138] : 211 conjetura de Taniyama–Shimura–Weil , propuesta alrededor de 1955, que muchos matemáticos creían que sería casi imposible de probar, [138] : 223 y que fue vinculada en la década de 1980 por Gerhard Frey , Jean-Pierre Serre y Ken Ribet a la ecuación de Fermat. Al lograr una prueba parcial de esta conjetura en 1994, Andrew Wiles finalmente logró demostrar el Último Teorema de Fermat, así como abrir el camino a una prueba completa por otros de lo que ahora se conoce como el teorema de modularidad .
Alrededor de 1955, los matemáticos japoneses Goro Shimura y Yutaka Taniyama observaron un posible vínculo entre dos ramas aparentemente completamente distintas de las matemáticas, las curvas elípticas y las formas modulares . El teorema de modularidad resultante (en ese momento conocido como la conjetura de Taniyama-Shimura) establece que cada curva elíptica es modular , lo que significa que puede asociarse con una forma modular única .
El vínculo fue inicialmente descartado como improbable o altamente especulativo, pero fue tomado más en serio cuando el teórico de números André Weil encontró evidencia que lo apoyaba, aunque no lo probaba; como resultado, la conjetura a menudo se conoció como la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. [138] : 211–215
Incluso después de ganar una atención seria, la conjetura fue vista por los matemáticos contemporáneos como extraordinariamente difícil o tal vez inaccesible para probar. [138] : 203–205, 223, 226 Por ejemplo, el supervisor de doctorado de Wiles, John Coates, afirma que parecía "imposible de probar realmente", [138] : 226 y Ken Ribet se consideró a sí mismo "uno de la gran mayoría de personas que creían que [era] completamente inaccesible", agregando que "Andrew Wiles fue probablemente una de las pocas personas en la tierra que tuvo la audacia de soñar que realmente puedes ir y probarlo". [138] : 223
En 1984, Gerhard Frey observó un vínculo entre la ecuación de Fermat y el teorema de modularidad, que en aquel entonces todavía era una conjetura. Si la ecuación de Fermat tenía alguna solución ( a , b , c ) para el exponente p > 2 , entonces se podría demostrar que la curva elíptica semiestable (ahora conocida como Frey-Hellegouarch [nota 3] )
tendría propiedades tan inusuales que era poco probable que fuera modular. [139] Esto entraría en conflicto con el teorema de modularidad, que afirmaba que todas las curvas elípticas son modulares. Como tal, Frey observó que una prueba de la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil también podría probar simultáneamente el Último Teorema de Fermat. [140] [141] Por contraposición , una refutación del Último Teorema de Fermat refutaría la conjetura de Taniyama–Shimura–Weil.
En términos sencillos, Frey había demostrado que, si esta intuición sobre su ecuación era correcta, entonces cualquier conjunto de cuatro números ( a , b , c , n ) capaz de refutar el Último Teorema de Fermat, también podría usarse para refutar la conjetura de Taniyama-Shimura-Weil. Por lo tanto, si esta última era cierta, la primera no podía refutarse y también tendría que ser cierta.
Siguiendo esta estrategia, una demostración del Último Teorema de Fermat requería dos pasos. Primero, era necesario demostrar el teorema de modularidad, o al menos demostrarlo para los tipos de curvas elípticas que incluían la ecuación de Frey (conocidas como curvas elípticas semiestables ). Esto se creía ampliamente inaccesible a la demostración por parte de los matemáticos contemporáneos. [138] : 203–205, 223, 226 En segundo lugar, era necesario demostrar que la intuición de Frey era correcta: que si una curva elíptica se construía de esta manera, utilizando un conjunto de números que eran una solución de la ecuación de Fermat, la curva elíptica resultante no podía ser modular. Frey demostró que esto era plausible , pero no llegó tan lejos como para dar una prueba completa. La pieza faltante (la llamada " conjetura épsilon ", ahora conocida como teorema de Ribet ) fue identificada por Jean-Pierre Serre , quien también dio una prueba casi completa y el vínculo sugerido por Frey fue finalmente demostrado en 1986 por Ken Ribet . [142]
Según los trabajos de Frey, Serre y Ribet, la situación era la siguiente:
La demostración de la conjetura de épsilon por parte de Ribet en 1986 logró el primero de los dos objetivos propuestos por Frey. Al enterarse del éxito de Ribet, Andrew Wiles , un matemático inglés que desde la infancia se sintió fascinado por el Último Teorema de Fermat y que había trabajado en curvas elípticas, decidió dedicarse a lograr la segunda mitad: demostrar un caso especial del teorema de modularidad (conocido entonces como la conjetura de Taniyama-Shimura) para curvas elípticas semiestables. [143] [144]
Wiles trabajó en esa tarea durante seis años en un secreto casi total, encubriendo sus esfuerzos al publicar trabajos anteriores en pequeños segmentos como documentos separados y confiando solo en su esposa. [138] : 229–230 Su estudio inicial sugería una prueba por inducción , [138] : 230–232, 249–252 y basó su trabajo inicial y primer avance significativo en la teoría de Galois [138] : 251–253, 259 antes de cambiar a un intento de extender la teoría horizontal de Iwasawa para el argumento inductivo alrededor de 1990-91 cuando parecía que no había un enfoque existente adecuado para el problema. [138] : 258–259 Sin embargo, a mediados de 1991, la teoría de Iwasawa también parecía no estar llegando a las cuestiones centrales del problema. [138] : 259–260 [145] [146] En respuesta, se acercó a sus colegas para buscar cualquier indicio de investigación de vanguardia y nuevas técnicas, y descubrió un sistema de Euler desarrollado recientemente por Victor Kolyvagin y Matthias Flach que parecía "hecho a medida" para la parte inductiva de su prueba. [138] : 260–261 Wiles estudió y amplió este enfoque, que funcionó. Dado que su trabajo se basó en gran medida en este enfoque, que era nuevo para las matemáticas y para Wiles, en enero de 1993 le pidió a su colega de Princeton, Nick Katz , que lo ayudara a verificar su razonamiento en busca de errores sutiles. Su conclusión en ese momento fue que las técnicas que utilizó Wiles parecían funcionar correctamente. [138] : 261–265 [147] [148]
A mediados de mayo de 1993, Wiles estaba listo para decirle a su esposa que pensaba que había resuelto la prueba del Último Teorema de Fermat, [138] : 265 y para junio se sintió lo suficientemente seguro como para presentar sus resultados en tres conferencias dictadas del 21 al 23 de junio de 1993 en el Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas . [149] [150] Específicamente, Wiles presentó su prueba de la conjetura de Taniyama-Shimura para curvas elípticas semiestables; junto con la prueba de Ribet de la conjetura de épsilon, esto implicaba el Último Teorema de Fermat. Sin embargo, se hizo evidente durante la revisión por pares que un punto crítico en la prueba era incorrecto. Contenía un error en un límite del orden de un grupo particular . El error fue detectado por varios matemáticos que arbitraban el manuscrito de Wiles, incluido Katz (en su papel de revisor), [151] quien alertó a Wiles el 23 de agosto de 1993. [152]
El error no habría hecho que su trabajo fuera inútil: cada parte del trabajo de Wiles era altamente significativa e innovadora por sí misma, al igual que los muchos desarrollos y técnicas que había creado en el curso de su trabajo, y solo una parte se vio afectada. [138] : 289, 296–297 Sin embargo, sin esta parte probada, no había una prueba real del Último Teorema de Fermat. Wiles pasó casi un año tratando de reparar su prueba, inicialmente por sí mismo y luego en colaboración con su ex alumno Richard Taylor , sin éxito. [153] [154] [155] A fines de 1993, se habían extendido rumores de que bajo escrutinio, la prueba de Wiles había fallado, pero no se sabía cuán gravemente. Los matemáticos estaban comenzando a presionar a Wiles para que revelara su trabajo, ya fuera completo o no, para que la comunidad en general pudiera explorar y usar lo que había logrado. Pero en lugar de solucionarse, el problema, que al principio parecía menor, ahora parecía muy significativo, mucho más serio y menos fácil de resolver. [156]
Wiles afirma que en la mañana del 19 de septiembre de 1994, estaba a punto de darse por vencido y estaba casi resignado a aceptar que había fracasado y a publicar su trabajo para que otros pudieran construir sobre él y corregir el error. Agrega que estaba echando un vistazo final para tratar de entender las razones fundamentales por las que su enfoque no podía funcionar, cuando tuvo una idea repentina: que la razón específica por la que el enfoque de Kolyvagin-Flach no funcionaría directamente también significaba que sus intentos originales con la teoría de Iwasawa podrían funcionar, si la fortalecía utilizando su experiencia obtenida con el enfoque de Kolyvagin-Flach. Corregir un enfoque con herramientas del otro enfoque resolvería el problema para todos los casos que no estaban ya probados por su artículo arbitrado. [153] [157] Describió más tarde que la teoría de Iwasawa y el enfoque de Kolyvagin-Flach eran inadecuados por sí solos, pero juntos podrían hacerse lo suficientemente poderosos para superar este obstáculo final. [153]
Estaba sentado en mi escritorio examinando el método Kolyvagin-Flach. No es que creyera que podía hacerlo funcionar, pero pensé que al menos podía explicar por qué no funcionaba. De repente tuve una revelación increíble. Me di cuenta de que el método Kolyvagin-Flach no estaba funcionando, pero era todo lo que necesitaba para que mi teoría original de Iwasawa, de tres años antes, funcionara. Así que de las cenizas del método Kolyvagin-Flach pareció surgir la verdadera respuesta al problema. Era tan indescriptiblemente hermosa; era tan simple y tan elegante. No podía entender cómo lo había pasado por alto y me quedé mirándolo con incredulidad durante veinte minutos. Luego, durante el día, caminaba por el departamento y volvía una y otra vez a mi escritorio para ver si todavía estaba allí. Todavía estaba allí. No podía contenerme, estaba tan emocionado. Fue el momento más importante de mi vida laboral. Nada de lo que vuelva a hacer significará tanto.
—Andrew Wiles, citado por Simon Singh [158]
El 24 de octubre de 1994, Wiles presentó dos manuscritos, "Curvas elípticas modulares y el último teorema de Fermat" [159] [160] y "Propiedades teóricas de anillos de ciertas álgebras de Hecke", [161] el segundo de los cuales fue escrito en coautoría con Taylor y demostró que se cumplían ciertas condiciones que eran necesarias para justificar el paso corregido en el artículo principal. Los dos artículos fueron examinados y publicados como la totalidad de la edición de mayo de 1995 de Annals of Mathematics . El método de la prueba de identificación de un anillo de deformación con un álgebra de Hecke (ahora conocido como un teorema R=T ) para demostrar teoremas de elevación de modularidad ha sido un desarrollo influyente en la teoría algebraica de números .
Estos artículos establecieron el teorema de modularidad para curvas elípticas semiestables, el último paso para demostrar el último teorema de Fermat, 358 años después de su conjetura.
La conjetura de Taniyama–Shimura–Weil fue finalmente demostrada por Diamond (1996), [10] Conrad et al. (1999), [11] y Breuil et al. (2001) [12], quienes, basándose en el trabajo de Wiles, fueron eliminando gradualmente los casos restantes hasta que se demostró el resultado completo. La conjetura, ahora plenamente demostrada, se conoció como el teorema de modularidad .
Del mismo razonamiento se deducen otros teoremas de la teoría de números similares al Último Teorema de Fermat, que utilizan el teorema de modularidad. Por ejemplo: ningún cubo puede escribirse como suma de dos potencias n- ésimas coprimas, n ≥ 3 . (El caso n = 3 ya lo conocía Euler .)
El último teorema de Fermat considera soluciones a la ecuación de Fermat: a n + b n = c n con números enteros positivos a , b y c y un número entero n mayor que 2. Hay varias generalizaciones de la ecuación de Fermat a ecuaciones más generales que permiten que el exponente n sea un número entero negativo o racional, o que se consideren tres exponentes diferentes.
La ecuación de Fermat generalizada generaliza el enunciado del último teorema de Fermat al considerar soluciones enteras positivas a , b , c , m , n , k que satisfacen [162]
En particular, los exponentes m , n , k no necesitan ser iguales, mientras que el último teorema de Fermat considera el caso m = n = k .
La conjetura de Beal , también conocida como conjetura de Mauldin [163] y conjetura de Tijdeman-Zagier, [164] [165] [166] establece que no hay soluciones para la ecuación de Fermat generalizada en números enteros positivos a , b , c , m , n , k, donde a , b y c son coprimos por pares y todos los m , n , k son mayores que 2. [167]
La conjetura de Fermat-Catalan generaliza el último teorema de Fermat con las ideas de la conjetura de Catalan . [168] [169] La conjetura establece que la ecuación de Fermat generalizada tiene sólo un número finito de soluciones ( a , b , c , m , n , k ) con tripletes distintos de valores ( a m , b n , c k ), donde a , b , c son números enteros coprimos positivos y m , n , k son números enteros positivos que satisfacen
La afirmación se refiere a la finitud del conjunto de soluciones porque hay 10 soluciones conocidas . [162]
Cuando permitimos que el exponente n sea el recíproco de un entero, es decir, n = 1/ m para algún entero m , tenemos la ecuación inversa de Fermat a 1/ m + b 1/ m = c 1/ m . Todas las soluciones de esta ecuación fueron calculadas por Hendrik Lenstra en 1992. [170] En el caso en el que se requiere que las raíces m sean reales y positivas, todas las soluciones están dadas por [171]
para números enteros positivos r , s , t con s y t coprimos.
Para la ecuación diofántica a n / m + b n / m = c n / m con n distinto de 1, Bennett, Glass y Székely demostraron en 2004 para n > 2 que si n y m son coprimos, entonces hay soluciones enteras si y solo si 6 divide a m , y a 1/ m , b 1/ m y c 1/ m son diferentes raíces sextas complejas del mismo número real. [172]
Todas las soluciones enteras primitivas (es decir, aquellas que no tienen un factor primo común a todos a , b y c ) de la ecuación óptica a −1 + b −1 = c −1 se pueden escribir como [173]
para números enteros positivos coprimos m , k .
El caso n = −2 también tiene una infinidad de soluciones, y estas tienen una interpretación geométrica en términos de triángulos rectángulos con lados enteros y una altura entera a la hipotenusa . [174] [175] Todas las soluciones primitivas de a −2 + b −2 = d −2 están dadas por
para los números enteros coprimos u , v con v > u . La interpretación geométrica es que a y b son los catetos enteros de un triángulo rectángulo y d es la altura entera a la hipotenusa. Entonces la hipotenusa misma es el número entero
entonces ( a , b , c ) es una terna pitagórica .
No hay soluciones en números enteros para a n + b n = c n para números enteros n < −2 . Si las hubiera, la ecuación podría multiplicarse por a | n | b | n | c | n | para obtener ( bc ) | n | + ( ac ) | n | = ( ab ) | n | , lo cual es imposible por el último teorema de Fermat.
La conjetura abc establece aproximadamente que si tres números enteros positivos a , b y c (de ahí el nombre) son coprimos y satisfacen a + b = c , entonces el radical d de abc no suele ser mucho menor que c . En particular, la conjetura abc en su formulación más estándar implica el último teorema de Fermat para n que sean suficientemente grandes. [176] [177] [178] La conjetura de Szpiro modificada es equivalente a la conjetura abc y, por lo tanto, tiene la misma implicación. [179] [178] Una versión efectiva de la conjetura abc, o una versión efectiva de la conjetura de Szpiro modificada, implica el último teorema de Fermat directamente. [178]
En 1816 y nuevamente en 1850, la Academia Francesa de Ciencias ofreció un premio por una prueba general del Último Teorema de Fermat. [180] [181] En 1857, la academia otorgó 3.000 francos y una medalla de oro a Kummer por su investigación sobre números ideales, aunque no había presentado una candidatura para el premio. [180] Otro premio fue ofrecido en 1883 por la Academia de Bruselas. [182]
En 1908, el industrial y matemático aficionado alemán Paul Wolfskehl legó 100.000 marcos de oro —una gran suma en aquel momento— a la Academia de Ciencias de Gotinga para ofrecerlos como premio a quien consiguiera una prueba completa del último teorema de Fermat. [183] [184] El 27 de junio de 1908, la academia publicó nueve reglas para la concesión del premio. Entre otras cosas, estas reglas exigían que la prueba se publicara en una revista revisada por pares; que el premio no se otorgaría hasta dos años después de la publicación; y que no se entregaría ningún premio después del 13 de septiembre de 2007, aproximadamente un siglo después de que comenzara la competición. [185] Wiles recibió el premio Wolfskehl, que en ese momento valía 50.000 dólares, el 27 de junio de 1997. [186] En marzo de 2016, Wiles recibió el premio Abel del gobierno noruego por valor de 600.000 euros por "su sorprendente prueba del último teorema de Fermat mediante la conjetura de modularidad para curvas elípticas semiestables, abriendo una nueva era en la teoría de números". [187]
Antes de la prueba de Wiles, se habían enviado miles de pruebas incorrectas al comité Wolfskehl, lo que sumaba aproximadamente 10 pies (3,0 metros) de correspondencia. [188] Solo en el primer año (1907-1908), se enviaron 621 intentos de pruebas, aunque en la década de 1970, la tasa de envío había disminuido a aproximadamente 3-4 intentos de pruebas por mes. Según algunas afirmaciones, Edmund Landau tendía a utilizar un formulario preimpreso especial para tales pruebas, donde la ubicación del primer error se dejaba en blanco para que lo completara uno de sus estudiantes de posgrado. [189] Según F. Schlichting, un revisor de Wolfskehl, la mayoría de las pruebas se basaban en métodos elementales enseñados en las escuelas y, a menudo, las presentaban "personas con una educación técnica pero una carrera fallida". [190] En palabras del historiador matemático Howard Eves , "el último teorema de Fermat tiene la peculiar distinción de ser el problema matemático para el que se han publicado el mayor número de pruebas incorrectas". [182]
La popularidad del teorema fuera de la ciencia ha llevado a que se lo describa como alguien que ha logrado "ese galardón matemático más raro: un papel de nicho en la cultura pop ". [191]
El cuento de Arthur Porges de 1954, " El diablo y Simon Flagg ", presenta a un matemático que negocia con el diablo que este último no puede producir una prueba del último teorema de Fermat en veinticuatro horas. [192]
En el episodio de Los Simpson " El mago de Evergreen Terrace ", Homer Simpson escribe la ecuación 3987 12 + 4365 12 = 4472 12 en una pizarra, lo que parece ser un contraejemplo del Último teorema de Fermat. La ecuación es incorrecta, pero parece correcta si se ingresa en una calculadora con 10 cifras significativas . [193]
En el episodio " The Royale " de Star Trek: La nueva generación , el capitán Picard afirma que el teorema aún no ha sido probado en el siglo 24. La prueba se publicó cinco años después de la emisión original del episodio. [194]
La sugerencia de Frey, en la notación del siguiente teorema, fue mostrar que la curva elíptica (hipotética)
y
2
=
x
(
x
+
u
p
)(
x
–
v
p
)
no podía ser modular.
Nuestra prueba generaliza la implicación conocida "ABC efectivo [flecha derecha] Fermat eventual" que fue la motivación original para la conjetura ABC
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