Teorema de la raqueta de tenis

Un cuerpo rígido con tres ejes de inercia distintos es inestable y gira alrededor del eje medio.

Ejes principales de una raqueta de tenis.

Vídeo compuesto de una raqueta de tenis girada alrededor de tres ejes: el intermedio gira desde el borde claro hasta el borde oscuro

Página de título de "Théorie Nouvelle de la Rotation des Corps", impresión de 1852

El teorema de la raqueta de tenis o teorema del eje intermedio es un fenómeno cinético de la mecánica clásica que describe el movimiento de un cuerpo rígido con tres momentos principales de inercia distintos . También se lo ha denominado efecto Dzhanibekov , en honor al cosmonauta soviético Vladimir Dzhanibekov , quien advirtió una de las consecuencias lógicas del teorema mientras estaba en el espacio en 1985. ^[1] El efecto se conocía desde al menos 150 años antes, habiendo sido descrito por Louis Poinsot en 1834 ^{[2] [3]} e incluido en libros de texto de física estándar como Mecánica clásica de Herbert Goldstein a lo largo del siglo XX.

El teorema describe el siguiente efecto: la rotación de un objeto alrededor de su primer y tercer eje principal es estable, mientras que la rotación alrededor de su segundo eje principal (o eje intermedio) no lo es.

Esto se puede demostrar con el siguiente experimento: sostenga una raqueta de tenis por el mango, con la cara en posición horizontal, y tírela al aire de manera que realice una rotación completa sobre su eje horizontal perpendicular al mango (ê ₂ en el diagrama), y luego atrape el mango. En casi todos los casos, durante esa rotación la cara también habrá completado media rotación, de modo que la otra cara ahora está hacia arriba. Por el contrario, es fácil lanzar la raqueta de manera que gire alrededor del eje del mango (ê ₁ ) sin que la acompañe una media rotación alrededor de otro eje; también es posible hacerla girar alrededor del eje vertical perpendicular al mango (ê ₃ ) sin ninguna media rotación que la acompañe.

El experimento se puede realizar con cualquier objeto que tenga tres momentos de inercia diferentes, por ejemplo, un libro, un control remoto o un teléfono inteligente. El efecto se produce siempre que el eje de rotación difiera solo ligeramente del segundo eje principal del objeto; no son necesarias la resistencia del aire ni la gravedad. ^[4]

Teoría

Demostración del efecto Dzhanibekov en microgravedad , NASA .

El teorema de la raqueta de tenis se puede analizar cualitativamente con la ayuda de las ecuaciones de Euler . En condiciones sin par , adoptan la siguiente forma:

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=-(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=-(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}}$$

Aquí denotamos los momentos principales de inercia del objeto y asumimos que . Las velocidades angulares alrededor de los tres ejes principales del objeto son y sus derivadas temporales se denotan por . ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$ ${\displaystyle I_{1}<I_{2}<I_{3}}$ ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}}$

Rotación estable alrededor del primer y tercer eje principal

Consideremos la situación en la que el objeto gira alrededor de un eje con un momento de inercia . Para determinar la naturaleza del equilibrio, supongamos que las velocidades angulares iniciales son pequeñas a lo largo de los otros dos ejes. Como resultado, según la ecuación (1), es muy pequeña. Por lo tanto, se puede despreciar la dependencia temporal de . ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle ~{\dot {\omega }}_{1}}$ ${\displaystyle ~\omega _{1}}$

Ahora, diferenciando la ecuación (2) y sustituyendo de la ecuación (3), ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}{\dot {\omega }}_{3}\\I_{3}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})(I_{2}-I_{1})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{i.e. }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(negative quantity)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}}$$

porque y . ${\displaystyle I_{2}-I_{1}>0}$ ${\displaystyle I_{1}-I_{3}<0}$

Nótese que se opone y, por lo tanto, la rotación alrededor de este eje es estable para el objeto. ${\displaystyle \omega _{2}}$

Un razonamiento similar indica que la rotación alrededor del eje con momento de inercia también es estable. ${\displaystyle I_{3}}$

Rotación inestable alrededor del segundo eje principal

Ahora aplique el mismo análisis al eje con momento de inercia . Este tiempo es muy pequeño. Por lo tanto, la dependencia del tiempo de puede ignorarse. ${\displaystyle I_{2}.}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}}$ ${\displaystyle ~\omega _{2}}$

Ahora, diferenciando la ecuación (1) y sustituyendo de la ecuación (3), ${\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})(I_{2}-I_{1})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{i.e.}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\text{(positive quantity)}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}}$$

Nótese que no se opone (y por lo tanto crecerá) y, por lo tanto, la rotación alrededor del segundo eje es inestable . Por lo tanto, incluso una pequeña perturbación, en forma de un valor inicial muy pequeño de o , hace que el objeto se "voltee". ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{3}}$

Análisis matricial

Si el objeto gira principalmente a lo largo de su tercer eje, entonces , podemos suponer que no varía mucho y escribir las ecuaciones de movimiento como una ecuación matricial: que tiene traza cero y determinante positivo , lo que implica que el movimiento de es una rotación estable alrededor del origen, un punto de equilibrio neutro. De manera similar, el punto es un punto de equilibrio neutro, pero es un punto de silla. ${\displaystyle |\omega _{3}|\gg |\omega _{1}|,|\omega _{2}|}$ ${\displaystyle \omega _{3}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-\omega _{3}(I_{3}-I_{2})/I_{1}\\-\omega _{3}(I_{1}-I_{3})/I_{2}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ ${\displaystyle (\omega _{1},0,0)}$ ${\displaystyle (0,\omega _{2},0)}$

Análisis geométrico

Visualización de la inestabilidad del eje intermedio. La magnitud del momento angular y la energía cinética de un objeto giratorio se conservan. Como resultado, el vector de velocidad angular permanece en la intersección de dos elipsoides. Aquí, el elipsoide amarillo es el elipsoide del momento angular y el elipsoide azul en expansión es el elipsoide de la energía.

Durante el movimiento, tanto la energía como el momento angular al cuadrado se conservan, por lo que tenemos dos cantidades conservadas: y entonces, para cualquier condición inicial , la trayectoria de debe permanecer en la curva de intersección entre dos elipsoides definidos por Esto se muestra en la animación de la izquierda. $${\displaystyle {\begin{cases}2E=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}\\L^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (t)}$ $${\displaystyle {\begin{cases}\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}(0)^{2}\\\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}(0)^{2}\end{cases}}}$$

Al examinar las ecuaciones de Euler, vemos que implica que dos componentes de son cero, es decir, el objeto gira exactamente alrededor de uno de los ejes principales. En todas las demás situaciones, debe permanecer en movimiento. ${\displaystyle \omega (t)=0}$ ${\displaystyle \omega (t)}$ ${\displaystyle \omega (t)}$

Según las ecuaciones de Euler, si es una solución, entonces también lo es para cualquier constante . En particular, el movimiento del cuerpo en el espacio libre (obtenido al integrar ) es exactamente el mismo , solo que se completa más rápido en una proporción de . ${\displaystyle \omega (t)}$ ${\displaystyle c\omega (ct)}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle c\omega (ct)dt}$ ${\displaystyle c}$

En consecuencia, podemos analizar la geometría del movimiento con un valor fijo de , y varían en el elipsoide fijo de momento angular al cuadrado constante. Como varía, el valor de también varía, lo que nos da un elipsoide variable de energía constante. Esto se muestra en la animación como un elipsoide naranja fijo y un elipsoide azul creciente. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle 2E}$

Para ser más concretos, considere , entonces los ejes principales del elipsoide de momento angular están en proporciones de , y los ejes principales del elipsoide de energía están en proporciones de . Por lo tanto, el elipsoide de momento angular es más plano y más agudo, como se ve en la animación. En general, el elipsoide de momento angular siempre es más "exagerado" que el elipsoide de energía. ${\displaystyle I_{1}=1,I_{2}=2,I_{3}=3}$ ${\displaystyle 1:1/2:1/3}$ ${\displaystyle 1:1/{\sqrt {2}}:1/{\sqrt {3}}}$

Ahora inscribimos en un elipsoide fijo sus curvas de intersección con el elipsoide de , a medida que aumenta de cero a infinito. Vemos que las curvas evolucionan de la siguiente manera: ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle 2E}$ ${\displaystyle 2E}$

Todas las curvas de intersección del elipsoide de momento angular con el elipsoide de energía (no se muestran).

• Para energías pequeñas, no hay intersección, ya que necesitamos un mínimo de energía para permanecer en el elipsoide del momento angular.
• El elipsoide de energía interseca primero al elipsoide de momento cuando , en los puntos . Esto es cuando el cuerpo gira alrededor de su eje con el mayor momento de inercia. ${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{3}}$ ${\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})}$
• Se intersecan en dos ciclos alrededor de los puntos . Como cada ciclo no contiene ningún punto en el que , el movimiento de debe ser un movimiento periódico alrededor de cada ciclo. ${\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}=0}$ ${\displaystyle \omega (t)}$
• Se intersecan en dos curvas "diagonales" que se intersecan en los puntos , cuando . Si comienza en cualquier parte de las curvas diagonales, se acercaría a uno de los puntos, la distancia disminuiría exponencialmente, pero nunca llegaría al punto. En otras palabras, tenemos 4 órbitas heteroclínicas entre los dos puntos de silla. ${\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)}$ ${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{2}}$ ${\displaystyle \omega (t)}$
• Se intersecan en dos ciclos alrededor de los puntos . Como cada ciclo no contiene ningún punto en el que , el movimiento de debe ser un movimiento periódico alrededor de cada ciclo. ${\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)}$ ${\displaystyle {\dot {\omega }}=0}$ ${\displaystyle \omega (t)}$
• El elipsoide de energía intersecta por última vez al elipsoide de momento cuando , en los puntos . Esto es cuando el cuerpo gira alrededor de su eje con el menor momento de inercia. ${\displaystyle 2E=L^{2}/I_{1}}$ ${\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)}$

El efecto raqueta de tenis se produce cuando el cuerpo se encuentra muy cerca de un punto de silla de montar. El cuerpo se quedaría cerca del punto de silla de montar, luego se movería rápidamente al otro punto de silla de montar, cerca de , se quedaría de nuevo allí durante un largo tiempo, y así sucesivamente. El movimiento se repite con un período . ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (T/2)}$ ${\displaystyle T}$

El análisis anterior se realiza desde la perspectiva de un observador que gira con el cuerpo. Un observador que observe el movimiento del cuerpo en el espacio libre verá que su vector de momento angular se conserva, mientras que tanto su vector de velocidad angular como su momento de inercia experimentan movimientos complicados en el espacio. Al principio, el observador verá que ambos están alineados en su mayoría con el segundo eje mayor de . Después de un tiempo, el cuerpo realiza un movimiento complicado y termina con , y nuevamente ambos están alineados en su mayoría con el segundo eje mayor de . ${\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}(t)}$ ${\displaystyle I(t)}$ ${\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {L}}}$ ${\displaystyle I(0)}$ ${\displaystyle I(T/2),{\vec {\omega }}(T/2)}$ ${\displaystyle {\vec {L}},{\vec {\omega }}(T/2)}$ ${\displaystyle I(T/2)}$

En consecuencia, hay dos posibilidades: o bien el segundo eje mayor del cuerpo rígido está en la misma dirección, o bien ha invertido su dirección. Si sigue estando en la misma dirección, entonces, vistos en el sistema de referencia del cuerpo rígido, también están en su mayor parte en la misma dirección. Sin embargo, acabamos de ver eso y están cerca de puntos de silla opuestos . Contradicción. ${\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {\omega }}(T/2)}$ ${\displaystyle \omega (0)}$ ${\displaystyle \omega (T/2)}$ ${\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)}$

Cualitativamente, entonces, esto es lo que observaría un observador en el espacio libre:

• El cuerpo gira alrededor de su segundo eje mayor durante un tiempo.
• El cuerpo experimenta rápidamente un movimiento complicado, hasta que su segundo eje mayor cambia de dirección.
• El cuerpo vuelve a girar alrededor de su segundo eje mayor durante un rato. Repetir.

Esto se puede ver fácilmente en la demostración de vídeo en microgravedad.

Con disipación

Cuando el cuerpo no es exactamente rígido, sino que puede flexionarse y doblarse o contener líquido que se agita, puede disipar energía a través de sus grados de libertad internos. En este caso, el cuerpo aún tiene un momento angular constante, pero su energía disminuiría hasta alcanzar el punto mínimo. Como se analizó geométricamente anteriormente, esto sucede cuando la velocidad angular del cuerpo está exactamente alineada con su eje de momento de inercia máximo.

Esto le ocurrió al Explorer 1 , el primer satélite lanzado por Estados Unidos en 1958. El cuerpo alargado de la nave espacial había sido diseñado para girar sobre su eje largo (de menor inercia ), pero se negó a hacerlo y, en su lugar, comenzó a precesar debido a la disipación de energía de los elementos estructurales flexibles.

En general, los cuerpos celestes, grandes o pequeños, convergen hacia una rotación constante alrededor de su eje de máximo momento de inercia. Cuando un cuerpo celeste se encuentra en un estado de rotación complejo, se debe a un impacto reciente o a una interacción de marea, o es un fragmento de un progenitor recientemente desintegrado. ^[5]

Véase también

• Ángulos de Euler  – Descripción de la orientación de un cuerpo rígido
• Momento de inercia  – Medida escalar de la inercia rotacional con respecto a un eje fijo de rotación
• Elipsoide de Poinsot  : método geométrico para visualizar un cuerpo rígido en rotación
• Polhode  – Curva producida por el vector de velocidad angular en el elipsoide de inercia

Referencias

1. Эффект Джанибекова (гайка Джанибекова), 23 de julio de 2009 (en ruso) . El software se puede descargar desde aquí.
2. Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps, Bachelier, París
3. Derek Muller (19 de septiembre de 2019). El extraño comportamiento de los cuerpos en rotación, explicado. Veritasium . Consultado el 16 de febrero de 2020 .
4. Levi, Mark (2014). Mecánica clásica con cálculo de variaciones y control óptimo: una introducción intuitiva. American Mathematical Society. pp. 151–152. ISBN 9781470414443.
5. Efroimsky, Michael (marzo de 2002). "Euler, Jacobi y misiones a cometas y asteroides". Avances en la investigación espacial . 29 (5): 725–734. arXiv : astro-ph/0112054 . Código Bibliográfico :2002AdSpR..29..725E. doi :10.1016/S0273-1177(02)00017-0. S2CID  1110286.

Enlaces externos

• Dan Russell (5 de marzo de 2010). "Demostración del efecto Dzhanibekov en cámara lenta con raquetas de tenis de mesa" . Consultado el 2 de febrero de 2017 en YouTube.
• zapadlovsky (16 de junio de 2010). "Demostración del efecto Dzhanibekov" . Consultado el 2 de febrero de 2017 , a través de YouTube.En la Estación Espacial Internacional Mir
• Viacheslav Mezentsev (7 de septiembre de 2011). "Efecto Djanibekov modelado en Mathcad 14" . Consultado el 2 de febrero de 2017 , a través de YouTube.
• Louis Poinsot , Théorie nouvelle de la rotación des corps, París, Bachelier, 1834, 170 p. OCLC  457954839: históricamente, la primera descripción matemática de este efecto.
• "Elipsoides y el extraño comportamiento de los cuerpos en rotación". YouTube . 24 de julio de 2020.- explicación intuitiva en video de Matt Parker
• El "efecto Dzhanibekov": ¿un ejercicio de mecánica o una ficción? Explicar matemáticamente un vídeo desde una estación espacial, [1]
• El extraño comportamiento de los cuerpos en rotación, Veritasium [2]