Ecuaciones de reentrada planar

Las ecuaciones de reentrada planar son las ecuaciones de movimiento que rigen la reentrada sin motor de una nave espacial , basadas en los supuestos de movimiento planar y masa constante, en un marco de referencia fijo en la Tierra . ^[1]

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dV}{dt}}&=-{\frac {\rho V^{2}}{2\beta }}+g\sin \gamma \\{\frac {d\gamma }{dt}}&=-{\frac {V\cos \gamma }{r}}-{\frac {\rho V}{2\beta }}\left({\frac {L}{D}}\right)\cos \sigma +{\frac {g\cos \gamma }{V}}\\{\frac {dh}{dt}}&=-V\sin \gamma \end{cases}}}$

donde las cantidades en estas ecuaciones son:

• ${\displaystyle V}$es la velocidad
• ${\displaystyle \gamma >0}$¿Es el ángulo de la trayectoria de vuelo?
• ${\displaystyle h}$es la altitud
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad atmosférica
• ${\displaystyle \beta }$es el coeficiente balístico
• ${\displaystyle g}$es la aceleración gravitacional
• ${\displaystyle r=r_{e}+h}$es el radio desde el centro de un planeta con radio ecuatorial ${\displaystyle r_{e}}$
• ${\displaystyle L/D}$es la relación sustentación-resistencia
• ${\displaystyle \sigma }$es el ángulo de inclinación de la nave espacial.

Simplificaciones

La solución de Allen-Egger

Harry Allen y Alfred Eggers , basándose en sus estudios de trayectorias de misiles balísticos intercontinentales , pudieron derivar una expresión analítica para la velocidad en función de la altitud. ^[2] Hicieron varias suposiciones:

1. La entrada de la nave espacial fue puramente balística . ${\displaystyle (L=0)}$
2. El efecto de la gravedad es pequeño comparado con la resistencia y puede ignorarse.
3. El ángulo de la trayectoria de vuelo y el coeficiente balístico son constantes.
4. Una atmósfera exponencial , donde , siendo la densidad en la superficie del planeta y siendo la altura de escala . ${\displaystyle \rho (h)=\rho _{0}\exp(-h/H)}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle H}$

Estas suposiciones son válidas para velocidades hipersónicas , donde el número de Mach es mayor que 5. Entonces, las ecuaciones de reentrada planar para la nave espacial son:

${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {dV}{dt}}&=-{\frac {\rho _{0}}{2\beta }}V^{2}e^{-h/H}\\{\frac {dh}{dt}}&=-V\sin \gamma \end{cases}}\implies {\frac {dV}{dh}}={\frac {\rho _{0}}{2\beta \sin \gamma }}Ve^{-h/H}}$

Reordenando los términos e integrando a partir de las condiciones de la interfaz atmosférica al inicio del reingreso se llega a la expresión: ${\displaystyle (V_{\text{atm}},h_{\text{atm}})}$

${\displaystyle {\frac {dV}{V}}={\frac {\rho _{0}}{2\beta \sin \gamma }}e^{-h/H}dh\implies \log \left({\frac {V}{V_{\text{atm}}}}\right)=-{\frac {\rho _{0}H}{2\beta \sin \gamma }}\left(e^{-h/H}-e^{-h_{\text{atm}}/H}\right)}$

El término es pequeño y puede descuidarse, lo que lleva a la velocidad: ${\displaystyle \exp(-h_{\text{atm}}/H)}$

${\displaystyle V(h)=V_{\text{atm}}\exp \left(-{\frac {\rho _{0}H}{2\beta \sin \gamma }}e^{-h/H}\right)}$

Allen y Eggers también pudieron calcular la desaceleración a lo largo de la trayectoria, en términos del número de fuerzas g experimentadas , donde es la aceleración gravitacional en la superficie del planeta. La altitud y la velocidad en la desaceleración máxima son: ${\displaystyle n=g_{0}^{-1}(dV/dt)}$ ${\displaystyle g_{0}}$

${\displaystyle h_{n_{\max }}=H\log \left({\frac {\rho _{0}H}{\beta \sin \gamma }}\right),\quad V_{n_{\max }}=V_{\text{atm}}e^{-1/2}\implies n_{\max }={\frac {V_{\text{atm}}^{2}\sin \gamma }{2g_{0}eH}}}$

También es posible calcular el calentamiento convectivo en el punto de estancamiento máximo con la solución de Allen-Eggers y una correlación de transferencia de calor; la correlación de Sutton-Graves ^[3] es la que se elige habitualmente. Se supone que la tasa de calor en el punto de estancamiento, con unidades de vatios por metro cuadrado, tiene la forma: ${\displaystyle {\dot {q}}''}$

${\displaystyle {\dot {q}}''=k\left({\frac {\rho }{r_{n}}}\right)^{1/2}V^{3}\sim {\text{W}}/{\text{m}}^{2}}$

donde es el radio efectivo de la nariz. La constante para la Tierra. Luego, la altitud y el valor del calentamiento convectivo máximo se pueden encontrar: ${\displaystyle r_{n}}$ ${\displaystyle k=1.74153\times 10^{-4}}$

${\displaystyle h_{{\dot {q}}_{\max }''}=-H\log \left({\frac {\beta \sin \gamma }{3H\rho _{0}}}\right)\implies {\dot {q}}_{\max }''=k{\sqrt {\frac {\beta \sin \gamma }{3Hr_{n}e}}}V_{\text{atm}}^{3}}$

Condición de deslizamiento de equilibrio

Otra simplificación que se encuentra con frecuencia es una entrada de sustentación con un ángulo de trayectoria de vuelo poco profundo y de variación lenta. ^[4] La velocidad en función de la altitud se puede derivar de dos suposiciones:

1. El ángulo de la trayectoria de vuelo es poco profundo, lo que significa que: . ${\displaystyle \cos \gamma \approx 1,\sin \gamma \approx \gamma }$
2. El ángulo de la trayectoria de vuelo cambia muy lentamente, de modo que . ${\displaystyle d\gamma /dt\approx 0}$

De estos dos supuestos, podemos inferir de la segunda ecuación de movimiento que:

${\displaystyle \left[{\frac {1}{r}}+{\frac {\rho }{2\beta }}\left({\frac {L}{D}}\right)\cos \sigma \right]V^{2}=g\implies V(h)={\sqrt {\frac {gr}{1+{\frac {\rho r}{2\beta }}\left({\frac {L}{D}}\right)\cos \sigma }}}}$

Véase también

• Entrada atmosférica
• Vuelo hipersónico

Referencias

1. Wang, Kenneth; Ting, Lu (1961). "Soluciones aproximadas para trayectorias de reentrada con fuerzas aerodinámicas" (PDF) . PIBAL Report No. 647 : 5–7.
2. Allen, H. Julian; Eggers, Jr., AJ (1958). "Un estudio del movimiento y calentamiento aerodinámico de misiles balísticos que entran en la atmósfera terrestre a altas velocidades supersónicas" (PDF) . Informe técnico 1381 de la NACA . Comité asesor nacional de aeronáutica.
3. Sutton, K.; Graves, RA (1 de noviembre de 1971). "Una ecuación general de calentamiento por convección en el punto de estancamiento para mezclas de gases arbitrarias". Informe técnico R-376 de la NASA .
4. Eggers, Jr., AJ; Allen, HJ; Niece, SE (1958). "Un análisis comparativo del rendimiento de los vehículos de hipervelocidad de largo alcance" (PDF) . Informe técnico 1382 de la NACA . Comité asesor nacional de aeronáutica.

Lectura adicional

• Regan, FJ; Anandakrishnan, SM (1993). Dinámica de la reentrada atmosférica . Serie educativa de la AIAA. Págs. 180-184.