Ecuación de Poisson-Boltzmann

Ecuación utilizada para interfaces fisiológicas, ciencia de polímeros y semiconductores.

La ecuación de Poisson-Boltzmann describe la distribución del potencial eléctrico en solución en la dirección normal a una superficie cargada. Esta distribución es importante para determinar cómo las interacciones electrostáticas afectarán a las moléculas en solución. La ecuación de Poisson-Boltzmann se deriva a partir de suposiciones de campo medio . ^{[1] [2]} A partir de la ecuación de Poisson-Boltzmann se han derivado muchas otras ecuaciones con una serie de suposiciones diferentes.

Orígenes

Antecedentes y derivación

La ecuación de Poisson-Boltzmann describe un modelo propuesto independientemente por Louis Georges Gouy y David Leonard Chapman en 1910 y 1913, respectivamente. ^[3] En el modelo de Gouy-Chapman , un sólido cargado entra en contacto con una solución iónica, creando una capa de cargas superficiales y contraiones o doble capa . ^[4] Debido al movimiento térmico de los iones, la capa de contraiones es una capa difusa y es más extensa que una sola capa molecular, como lo propuso previamente Hermann Helmholtz en el modelo de Helmholtz. ^[3] El modelo de capas de Stern va un paso más allá y tiene en cuenta el tamaño finito de los iones.

El modelo de Gouy-Chapman explica las cualidades de tipo capacitancia de la doble capa eléctrica. ^[4] En la figura siguiente se puede ver un caso plano simple con una superficie cargada negativamente. Como se esperaba, la concentración de contraiones es mayor cerca de la superficie que en la solución en masa.

Un caso planar simple para el modelo de Gouy-Chapman

La ecuación de Poisson-Boltzmann describe el potencial electroquímico de los iones en la capa difusa. La distribución de potencial tridimensional se puede describir mediante la ecuación de Poisson ^[4] donde $${\displaystyle \nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-{\frac {\rho _{e}}{\varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}},}$$

• ${\displaystyle \rho _{e}}$es la densidad de carga eléctrica local en C/m ³ ,
• ${\displaystyle \varepsilon _{r}}$es la constante dieléctrica ( permitividad relativa ) del disolvente,
• ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$es la permitividad del espacio libre,
• ψ es el potencial eléctrico .

La libertad de movimiento de los iones en solución se puede explicar mediante la estadística de Boltzmann . La ecuación de Boltzmann se utiliza para calcular la densidad iónica local de manera que donde $${\displaystyle c_{i}=c_{i}^{0}\cdot e^{\frac {-W_{i}}{k_{\mathrm {B} }T}},}$$

• ${\displaystyle c_{i}^{0}}$es la concentración de iones en el volumen, ^[8]
• ${\displaystyle W_{i}}$es el trabajo necesario para mover un ion más cerca de la superficie desde una distancia infinitamente lejana,
• ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$es la constante de Boltzmann ,
• ${\displaystyle T}$es la temperatura en kelvin .

La ecuación para la densidad iónica local se puede sustituir en la ecuación de Poisson bajo los supuestos de que el trabajo que se realiza es solo trabajo eléctrico, que nuestra solución está compuesta de una sal 1:1 (por ejemplo, NaCl) y que la concentración de sal es mucho mayor que la concentración de iones. ^[4] El trabajo eléctrico para llevar un catión cargado o un anión cargado a una superficie con potencial ψ se puede representar por y respectivamente. ^[4] Estas ecuaciones de trabajo se pueden sustituir en la ecuación de Boltzmann, produciendo dos expresiones y , donde e es la carga de un electrón, 1.602 × 10 ${\displaystyle W^{+}=e\psi }$ ${\displaystyle W^{-}=-e\psi }$ $${\displaystyle c^{-}=c_{0}\cdot e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}}$$ ${\displaystyle c^{+}=c_{0}\cdot e^{\frac {-e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}}$⁻¹⁹ culombios.

Sustituyendo estas relaciones de Boltzmann en la expresión de densidad de carga eléctrica local, se puede obtener la siguiente expresión $${\displaystyle \rho _{e}=e{(c^{+}-c^{-})}=c_{0}e\cdot \left[e^{\frac {-e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}-e^{\frac {e\psi (x,y,z)}{k_{B}T}}\right].}$$

Finalmente, la densidad de carga se puede sustituir en la ecuación de Poisson para producir la ecuación de Poisson-Boltzmann. ^[4]

Teorías relacionadas

La ecuación de Poisson-Boltzmann puede adoptar muchas formas en diversos campos científicos. En biofísica y ciertas aplicaciones de la química de superficies, se la conoce simplemente como ecuación de Poisson-Boltzmann. ^[9] También se la conoce en electroquímica como teoría de Gouy-Chapman; en química de soluciones como teoría de Debye-Huckel ; en química de coloides como teoría de Derjaguin-Landau-Verwey-Overbeek (DLVO) . ^[9] Solo se necesitan modificaciones menores para aplicar la ecuación de Poisson-Boltzmann a varios modelos interfaciales, lo que la convierte en una herramienta muy útil para determinar el potencial electrostático en superficies. ^[4]

Resolviendo analíticamente

Debido a que la ecuación de Poisson-Boltzmann es una diferencial parcial de segundo orden, comúnmente se resuelve numéricamente ; sin embargo, con ciertas geometrías, se puede resolver analíticamente.

Geometrías

La geometría que facilita esto con mayor facilidad es una superficie plana. En el caso de una superficie plana infinitamente extendida, hay dos dimensiones en las que el potencial no puede cambiar debido a la simetría. Suponiendo que estas dimensiones son las dimensiones y y z, solo queda la dimensión x. A continuación se muestra la ecuación de Poisson-Boltzmann resuelta analíticamente en términos de una derivada de segundo orden con respecto a x. ^[4]

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {c_{0}e}{\varepsilon \varepsilon _{0}}}\cdot \left[e^{\frac {e\psi (x)}{k_{\mathrm {B} }T}}-e^{\frac {-e\psi (x)}{k_{\mathrm {B} }T}}\right]}$$

También se han encontrado soluciones analíticas para casos axiales y esféricos en un estudio particular. ^[10] La ecuación tiene la forma de un logaritmo de una serie de potencias y es la siguiente: $${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dr^{2}}}+{\frac {L}{r}}{\frac {d\psi }{dr}}=e^{\psi }-\delta e^{-\psi }}$$

Utiliza un potencial adimensional y las longitudes se miden en unidades del radio del electrón de Debye en la región del potencial cero (donde denota la densidad numérica de iones negativos en la región del potencial cero). Para el caso esférico, L=2, el caso axial, L=1, y el caso plano, L=0. ${\displaystyle \psi ={\frac {e\Phi }{kT}}}$ ${\displaystyle R_{eD}={\sqrt {\frac {kT}{4\pi e^{2}n_{e0}}}}}$ ${\displaystyle n_{e0}}$

Casos de bajo potencial vs casos de alto potencial

Al utilizar la ecuación de Poisson-Boltzmann, es importante determinar si el caso específico es de potencial alto o bajo . El caso de potencial alto se vuelve más complejo, por lo que, si corresponde, se utiliza la ecuación de potencial bajo. En la condición de potencial bajo, la versión linealizada de la ecuación de Poisson-Boltzmann (que se muestra a continuación) es válida y se utiliza comúnmente porque es más simple y abarca una amplia variedad de casos. ^[11] ${\displaystyle \psi =\psi _{0}e^{-\mathrm {K} x}}$

Condiciones de caso de bajo potencial

Estrictamente, un potencial bajo significa que ; sin embargo, los resultados que arrojan las ecuaciones son válidos para un rango más amplio de potenciales, de 50 a 80 mV. ^[4] Sin embargo, a temperatura ambiente, y ese es generalmente el estándar. ^[4] Algunas condiciones de contorno que se aplican en casos de potencial bajo son que: en la superficie, el potencial debe ser igual al potencial de superficie y a grandes distancias de la superficie el potencial se acerca a un valor cero. Esta longitud de decaimiento de distancia se obtiene mediante la ecuación de longitud de Debye . ^[4] ${\displaystyle e\left\vert \psi \right\vert \ll k_{\mathrm {B} }T}$ ${\displaystyle \psi \leq \mathrm {25mV} }$ ${\displaystyle \lambda _{D}}$

$${\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {\frac {2c_{0}e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}}}$$

$${\displaystyle \lambda _{D}=\mathrm {K} ^{-1}}$$

A medida que aumenta la concentración de sal, la longitud de Debye disminuye debido a que los iones en solución filtran la carga superficial. ^[12] Un ejemplo especial de esta ecuación es el caso del agua con una sal monovalente. ^[4] La ecuación de longitud de Debye es entonces: ${\displaystyle 25^{\circ }C}$

$${\displaystyle \lambda _{D}={\frac {\mathrm {0.304nm} }{\sqrt {c_{0}}}}}$$

donde es la concentración de sal en mol/L. Todas estas ecuaciones requieren casos de concentración de sal 1:1, pero si hay iones con mayor valencia, se utiliza el siguiente caso. ^[4] ${\displaystyle c_{0}}$

$${\displaystyle \mathrm {K} ={\sqrt {{\frac {e^{2}}{\varepsilon \varepsilon _{0}k_{\mathrm {B} }T}}\sum c_{i}{Z_{i}}^{2}}}}$$

Caso de alto potencial

El caso de alto potencial se denomina “caso unidimensional completo”. Para obtener la ecuación, se utiliza la solución general de la ecuación de Poisson-Boltzmann y se descarta el caso de bajos potenciales. La ecuación se resuelve con un parámetro adimensional , que no debe confundirse con el símbolo de coordenadas espaciales, y. ^[4] Empleando varias identidades trigonométricas y las condiciones de contorno de que a grandes distancias de la superficie, el potencial adimensional y su derivada son cero, se revela la ecuación de alto potencial. ^[4] ${\displaystyle y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}}$

$${\displaystyle e^{-\mathrm {K} x}={\frac {(e^{y/2}-1)(e^{y_{0}/2}+1)}{(e^{y/2}+1)(e^{y_{0}/2}-1)}}}$$

Esta ecuación resuelta se muestra a continuación. ${\displaystyle e^{y/2}}$

$${\displaystyle e^{y/2}={\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}}$$

Para obtener una ecuación más útil que facilite la representación gráfica de distribuciones de alto potencial, tome el logaritmo natural de ambos lados y resuelva para el potencial adimensional, y.

$${\displaystyle y=2\ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}}$$

Sabiendo que , sustituimos esto por y en la ecuación anterior y calculamos . Se obtiene la siguiente ecuación. ${\displaystyle y\equiv {\frac {e\psi }{k_{B}T}}}$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle \psi ={\frac {2k_{B}T}{e}}\cdot \ln {\frac {e^{y_{0}/2}+1+(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}{e^{y_{0}/2}+1-(e^{y_{0}/2}-1)\cdot e^{-\mathrm {K} x}}}}$$

$${\displaystyle y_{0}={\frac {e\psi _{0}}{k_{B}T}}}$$

Condiciones

En casos de potencial bajo, se puede utilizar la ecuación de potencial alto y aún así se obtendrán resultados precisos. A medida que aumenta el potencial, el caso lineal de potencial bajo sobreestima el potencial como función de la distancia desde la superficie. Esta sobreestimación es visible a distancias menores a la mitad de la longitud de Debye , donde la disminución es más pronunciada que la disminución exponencial. La siguiente figura emplea la ecuación linealizada y la ecuación gráfica de potencial alto derivada anteriormente. Es un gráfico de potencial versus distancia para potenciales de superficie variables de 50, 100, 150 y 200 mV. Las ecuaciones empleadas en esta figura suponen una solución de NaCl de 80 mM.

Potencial en función de la distancia para potenciales de superficie variables de 50, 100, 150 y 200 mV. Las ecuaciones empleadas en esta figura suponen una solución de NaCl de 80 mM.

Aplicaciones generales

La ecuación de Poisson-Boltzmann se puede aplicar en una variedad de campos, principalmente como una herramienta de modelado para hacer aproximaciones para aplicaciones tales como interacciones biomoleculares cargadas, dinámica de electrones en semiconductores o plasma, etc. La mayoría de las aplicaciones de esta ecuación se utilizan como modelos para obtener más conocimientos sobre la electrostática .

Aplicaciones fisiológicas

La ecuación de Poisson-Boltzmann se puede aplicar a sistemas biomoleculares. Un ejemplo es la unión de electrolitos a biomoléculas en una solución. Este proceso depende del campo electrostático generado por la molécula, del potencial electrostático en la superficie de la molécula y de la energía libre electrostática. ^[13]

La ecuación de Poisson-Boltzmann linealizada se puede utilizar para calcular el potencial electrostático y la energía libre de moléculas altamente cargadas, como el ARNt, en una solución iónica con diferente número de iones unidos a distintas fuerzas iónicas fisiológicas. Se demuestra que el potencial electrostático depende de la carga de la molécula, mientras que la energía libre electrostática tiene en cuenta la carga neta del sistema. ^[14]

Otro ejemplo de utilización de la ecuación de Poisson-Boltzmann es la determinación de un perfil de potencial eléctrico en puntos perpendiculares a la bicapa de fosfolípidos de un eritrocito . Esto tiene en cuenta tanto las capas de glicocáliz como de espectrina de la membrana del eritrocito. Esta información es útil por muchas razones, incluido el estudio de la estabilidad mecánica de la membrana del eritrocito. ^[15]

Energía libre electrostática

La ecuación de Poisson-Boltzmann también se puede utilizar para calcular la energía libre electrostática para cargar hipotéticamente una esfera utilizando la siguiente integral de carga: donde es la carga final en la esfera. $${\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\int ^{\tau }qU(\tau ')\,d\tau '}$$ ${\displaystyle \tau q}$

La energía libre electrostática también se puede expresar tomando como base el proceso del sistema de carga. La siguiente expresión utiliza el potencial químico de las moléculas de soluto e implementa la ecuación de Poisson-Boltzmann con la función de Euler-Lagrange : $${\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\int _{V}\left(kT\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left({\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]+p^{f}U-{\frac {-\varepsilon ({\boldsymbol {\nabla }}U)^{2}}{8\pi }}\right)dV}$$

Téngase en cuenta que la energía libre es independiente de la vía de carga [5c].

La expresión anterior se puede reescribir en términos de energía libre separados en función de diferentes contribuciones a la energía libre total donde $${\displaystyle \Delta G^{\text{el}}=\Delta G^{\text{ef}}+\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}}+\Delta G^{\text{solv}}}$$

• Cargas fijas electrostáticas = ${\displaystyle \Delta G^{\text{ef}}=\int _{V}{\frac {p^{f}U}{2}}dV}$
• Cargas electrostáticas móviles = ${\displaystyle \Delta G^{\text{em}}=\int _{V}{\frac {\sum _{i}c_{i}z_{i}qU}{2}}dV}$
• Energía libre entrópica de mezcla de especies móviles = ${\displaystyle \Delta G^{\text{mob}}=kT\int _{V}c_{i}\ln {\frac {c_{i}}{c_{i}^{\infty }}}dV}$
• Energía libre entrópica de mezcla de disolvente = ${\displaystyle \Delta G^{\text{solv}}=kT\int _{V}\sum _{i}c_{i}^{\infty }\left[1-\exp \left({\frac {-z_{i}qU}{kT}}\right)\right]dV}$

Finalmente, combinando los tres últimos términos se obtiene la siguiente ecuación que representa la contribución del espacio exterior a la integral de densidad de energía libre $${\displaystyle \Delta G^{\text{out}}=\Delta G^{\text{em}}+\Delta G^{\text{mob}}+\Delta G^{\text{solv}}}$$

Estas ecuaciones pueden actuar como modelos geométricos simples para sistemas biológicos como proteínas , ácidos nucleicos y membranas. ^[13] Esto implica que las ecuaciones se resuelvan con condiciones de contorno simples como el potencial de superficie constante. Estas aproximaciones son útiles en campos como la química coloidal . ^[13]

Ciencias de los materiales

Se puede utilizar una solución analítica de la ecuación de Poisson-Boltzmann para describir una interacción electrón-electrón en un semiconductor metal-aislante (MIS). ^[16] Esto se puede utilizar para describir tanto la dependencia del tiempo como de la posición de sistemas disipativos como un sistema mesoscópico. Esto se hace resolviendo la ecuación de Poisson-Boltzmann analíticamente en el caso tridimensional. Resolver esto da como resultado expresiones de la función de distribución para la ecuación de Boltzmann y potencial promedio autoconsistente para la ecuación de Poisson . Estas expresiones son útiles para analizar el transporte cuántico en un sistema mesoscópico. En las uniones de túnel de semiconductores metal-aislantes, los electrones pueden acumularse cerca de la interfaz entre capas y, como resultado, el transporte cuántico del sistema se verá afectado por las interacciones electrón-electrón. ^[16] Ciertas propiedades de transporte como la corriente eléctrica y la densidad electrónica se pueden conocer resolviendo el potencial promedio coulombiano autoconsistente a partir de las interacciones electrón-electrón, que está relacionado con la distribución electrónica. Por lo tanto, es esencial resolver analíticamente la ecuación de Poisson-Boltzmann para obtener las cantidades analíticas en las uniones de tunelización MIS. ^[16] Aplicando la siguiente solución analítica de la ecuación de Poisson-Boltzmann (ver sección 2) a las uniones de tunelización MIS, se puede formar la siguiente expresión para expresar cantidades de transporte electrónico como la densidad electrónica y la corriente eléctrica. $${\displaystyle f_{1}f^{0}-f_{0}+{\frac {eE_{z}\tau _{0}}{m}}{\frac {\partial f_{0}}{\partial v_{z}}}\left(1-e^{\frac {-\tau }{\tau _{0}}}\right)-\int _{0}^{t}{\frac {e}{m}}e{^{\frac {t-\tau '}{\tau _{0}}}}\nabla \rho [r-v(t-t')]\times {\frac {\partial f_{0}}{\partial v}}dt'}$$

Aplicando la ecuación anterior a la unión de tunelización MIS, se puede analizar el transporte electrónico a lo largo del eje z, que está referenciado perpendicularmente al plano de las capas. En este caso se elige una unión de tipo n con una polarización V aplicada a lo largo del eje z. El potencial promedio autoconsistente del sistema se puede encontrar utilizando donde $${\displaystyle \rho \rho _{1}+\rho _{2}}$$

• ${\displaystyle \rho _{1}\approx {\frac {aE_{z}}{2\lambda _{D1}}}e^{-\lambda _{D1}z}}$y
• ${\displaystyle \rho _{2}\approx {\frac {ne{\sqrt {\pi }}G(i\lambda _{D1})e^{{\frac {-t}{\tau _{0}}}-\lambda _{D1}z}}{3{\sqrt {3}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}\lambda _{D1}}}\left(1-e^{1-{\sqrt {\frac {2ne^{2}t^{2}}{m\varepsilon _{0}\varepsilon _{r}}}}}\right)}$

λ se llama longitud de Debye .

La densidad electrónica y la corriente eléctrica se pueden hallar manipulando la ecuación 16 anterior como funciones de la posición z. Estas magnitudes de transporte electrónico se pueden utilizar para ayudar a comprender diversas propiedades de transporte en el sistema.

Limitaciones[4]

Como sucede con cualquier modelo aproximado, la ecuación de Poisson-Boltzmann es una aproximación más que una representación exacta. Se hicieron varias suposiciones para aproximar el potencial de la capa difusa. El tamaño finito de los iones se consideró insignificante y los iones se trataron como cargas puntuales individuales, donde se supuso que los iones interactuaban con el campo electrostático promedio de todos sus vecinos en lugar de cada vecino individualmente. Además, no se consideraron las interacciones no coulombianas y no se tuvieron en cuenta ciertas interacciones, como la superposición de esferas de hidratación de iones en un sistema acuoso. Se supuso que la permitividad del disolvente era constante, lo que dio como resultado una aproximación aproximada, ya que las moléculas polares no pueden moverse libremente cuando encuentran el fuerte campo eléctrico en la superficie sólida.

Aunque el modelo enfrenta ciertas limitaciones, describe muy bien las capas dobles eléctricas. Los errores resultantes de los supuestos mencionados anteriormente se cancelan entre sí en su mayor parte. Tener en cuenta las interacciones no culómbicas aumenta la concentración de iones en la superficie y conduce a un potencial superficial reducido. Por otro lado, incluir el tamaño finito de los iones causa el efecto opuesto. La ecuación de Poisson-Boltzmann es la más apropiada para aproximar el potencial electrostático en la superficie para soluciones acuosas de sales univalentes en concentraciones menores a 0,2 M y potenciales que no excedan de 50–80 mV.

En el límite de las interacciones electrostáticas fuertes, una teoría de acoplamiento fuerte es más aplicable que el acoplamiento débil asumido al derivar la teoría de Poisson-Boltzmann. ^[17]

Véase también

• Doble capa

Referencias

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2. Attard, Phil (7 de agosto de 2002). Termodinámica y mecánica estadística: equilibrio por maximización de la entropía. Academic Press. pág. 318. ISBN 978-0-12-066321-7.
3. Fogolari, F.; Brigo, A.; Molinari, H. (2002). "La ecuación de Poisson-Boltzmann para la electrostática biomolecular: una herramienta para la biología estructural". J. Mol. Recognit . 15 (6): 379–385. doi :10.1002/jmr.577. PMID  12501158. S2CID  17184352.
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10. D'Yachkov, LG (2005). "Solución analítica de la ecuación de Poisson-Boltzmann en casos de simetría esférica y axial". Technical Physics Letters . 31 (3): 204–207. Código Bibliográfico :2005TePhL..31..204D. doi :10.1134/1.1894433. S2CID  120529487.
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12. Sperelakis, N. (2012). Libro de consulta sobre fisiología celular: un enfoque molecular (3.ª ed.). San Diego: Acad. ISBN 978-0-12-387738-3.
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15. Cruz, Frederico AO; Vilhena, Fernando SDS; Cortez, Celia M. (2000). "Soluciones de la ecuación no lineal de Poisson-Boltzmann para la membrana de los eritrocitos". Revista Brasileña de Física . 30 (2): 403–409. Bibcode :2000BrJPh..30..403C. doi : 10.1590/S0103-97332000000200023 .
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17. Moreira, AG; Netz, RR (2000). "Teoría del acoplamiento fuerte para distribuciones de contraiones". Europhysics Letters . 52 (6): 705–711. arXiv : cond-mat/0009376 . Bibcode :2000EL.....52..705M. doi :10.1209/epl/i2000-00495-1. S2CID  18058376.

Enlaces externos

• Solucionador de Poisson-Boltzmann adaptativo: un paquete de software de solvatación biomolecular y electrostática de Poisson-Boltzmann gratuito y de código abierto
• Zap: un solucionador de electrostática de Poisson-Boltzmann
• Solucionador de Poisson-Boltzmann basado en interfaz y límites coincidentes de MIBPB
• CHARMM-GUI: Solucionador PBEQ
• Solucionador Poisson-Boltzmann multipolar adaptativo rápido AFMPB, gratuito y de código abierto
• Soluciones clásicas globales de la ecuación de Boltzmann con interacciones de largo alcance, Philip T. Gressman y Robert M. Strain, 2009, Universidad de Pensilvania, Departamento de Matemáticas, Filadelfia, PA, EE. UU.