Ecuaciones de Clohessy-Wiltshire

Modelo simplificado del movimiento relativo orbital

Las ecuaciones de Clohessy-Wiltshire describen un modelo simplificado del movimiento relativo orbital, en el que el objetivo se encuentra en una órbita circular y la nave espacial que lo persigue se encuentra en una órbita elíptica o circular. Este modelo proporciona una aproximación de primer orden del movimiento del perseguidor en un sistema de coordenadas centrado en el objetivo. Se utiliza para planificar el encuentro del perseguidor con el objetivo. ^{[1] [2]}

Historia

Los primeros resultados sobre el movimiento orbital relativo fueron publicados por George William Hill en 1878. ^[3] El artículo de Hill analizaba el movimiento orbital de la Luna con respecto a la Tierra .

En 1960, WH Clohessy y RS Wiltshire publicaron las ecuaciones de Clohessy-Wiltshire para describir el movimiento orbital relativo de un satélite general con el propósito de diseñar sistemas de control para lograr el encuentro orbital. ^[1]

Definición del sistema

Supongamos que un cuerpo objetivo se mueve en una órbita circular y un cuerpo perseguidor se mueve en una órbita elíptica. Sea la posición relativa del perseguidor con respecto al objetivo con dirección radial hacia afuera desde el cuerpo objetivo, es a lo largo de la trayectoria orbital del cuerpo objetivo y es a lo largo del vector de momento angular orbital del cuerpo objetivo (es decir, forman una tríada dextrógira). Entonces, las ecuaciones de Clohessy-Wiltshire son donde es la velocidad orbital (en unidades de radianes/segundo) del cuerpo objetivo, es el radio de la órbita circular del cuerpo objetivo, es el parámetro gravitacional estándar , ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x,y,z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}&=3n^{2}x+2n{\dot {y}}\\{\ddot {y}}&=-2n{\dot {x}}\\{\ddot {z}}&=-n^{2}z\end{aligned}}}$$ ${\textstyle n={\sqrt {\mu /a^{3}}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \mu }$

Si definimos el vector de estado como , las ecuaciones de Clohessy-Wiltshire se pueden escribir como un sistema lineal invariante en el tiempo (LTI), ^[4] donde la matriz de estado es ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})}$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} }$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1\\3n^{2}&0&0&0&2n&0\\0&0&0&-2n&0&0\\0&0&-n^{2}&0&0&0\end{bmatrix}}.}$$

Para un satélite en órbita terrestre baja , y , lo que implica , correspondiente a un período orbital de aproximadamente 93 minutos. ${\displaystyle \mu =3.986\times 10^{14}\;\mathrm {m^{3}/s^{2}} }$ ${\displaystyle a=6,793,137\;\mathrm {m} }$ ${\displaystyle n=0.00113\;\mathrm {s^{-1}} }$

Si el satélite perseguidor tiene masa y propulsores que aplican una fuerza , entonces la dinámica relativa está dada por el sistema de control LTI ^[4] donde es la fuerza aplicada por unidad de masa y ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle F=(F_{x},F_{y},F_{z}),}$ $${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=A\mathbf {x} +B\mathbf {u} }$$ ${\displaystyle \mathbf {u} =F/m}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.}$$

Solución

Podemos obtener soluciones en forma cerrada de estas ecuaciones diferenciales acopladas en forma matricial, lo que nos permite encontrar la posición y la velocidad del perseguidor en cualquier momento dada la posición y la velocidad iniciales. ^[5] donde: Nótese que y . Dado que estas matrices son fácilmente invertibles , también podemos resolver las condiciones iniciales dadas solo las condiciones finales y las propiedades de la órbita del vehículo objetivo. $${\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\vec {r}}(t)&=[\Phi _{rr}(t)]\delta {\vec {r_{0}}}+[\Phi _{rv}(t)]\delta {\vec {v_{0}}}\\\delta {\vec {v}}(t)&=[\Phi _{vr}(t)]\delta {\vec {r_{0}}}+[\Phi _{vv}(t)]\delta {\vec {v_{0}}}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{rr}(t)&={\begin{bmatrix}4-3\cos {nt}&0&0\\6(\sin {nt}-nt)&1&0\\0&0&\cos {nt}\end{bmatrix}}\\\Phi _{rv}(t)&={\begin{bmatrix}{\frac {1}{n}}\sin {nt}&{\frac {2}{n}}(1-\cos {nt})&0\\{\frac {2}{n}}(\cos {nt}-1)&{\frac {1}{n}}(4\sin {nt}-3nt)&0\\0&0&{\frac {1}{n}}\sin {nt}\end{bmatrix}}\\\Phi _{vr}(t)&={\begin{bmatrix}3n\sin {nt}&0&0\\6n(\cos {nt}-1)&0&0\\0&0&-n\sin {nt}\end{bmatrix}}\\\Phi _{vv}(t)&={\begin{bmatrix}\cos {nt}&2\sin {nt}&0\\-2\sin {nt}&4\cos {nt}-3&0\\0&0&\cos {nt}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Phi _{vr}(t)={\dot {\Phi }}_{rr}(t)}$ ${\displaystyle \Phi _{vv}(t)={\dot {\Phi }}_{rv}(t)}$

Véase también

• Portal de vuelos espaciales

• Maniobra orbital
• Mecánica orbital
• Encuentro espacial

Referencias

1. Clohessy, WH; Wiltshire, RS (1960). "Sistema de guía terminal para encuentros de satélites". Revista de ciencias aeroespaciales . 27 (9): 653–658. doi :10.2514/8.8704.
2. "Ecuaciones de Clohessy-Wiltshire" (PDF) . Universidad de Texas en Austin . Consultado el 12 de septiembre de 2013 .
3. Hill, GW (1878). "Investigaciones en la teoría lunar". American Journal of Mathematics . 1 (1). Prensa de la Universidad Johns Hopkins: 5–26. doi :10.2307/2369430. ISSN  0002-9327. JSTOR  2369430.
4. Starek, JA, Schmerling, E., Maher, GD, Barbee, BW, Pavone, M. (febrero de 2017). "Planificación del movimiento de naves espaciales rápida, segura y eficiente en cuanto a propulsante según la dinámica de Clohessy–Wiltshire–Hill". Revista de guía, control y dinámica . 40 (2). Instituto Americano de Aeronáutica y Astronáutica: 418–438. arXiv : 1601.00042 . Código Bibliográfico :2017JGCD...40..418S. doi :10.2514/1.G001913. ISSN  0731-5090. S2CID  4956601.
5. Curtis, Howard D. (2014). Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería (3.ª ed.). Oxford, Reino Unido: Elsevier . pp. 383–387. ISBN 9780080977478.

Lectura adicional

• Prussing, John E. y Conway, Bruce A. (2012). Mecánica orbital (2.ª edición), Oxford University Press, Nueva York, págs. 179-196. ISBN 9780199837700 

Enlaces externos

• Las ecuaciones de movimiento relativo de Clohessy-Wiltshire
• Derivación de ecuaciones aproximadas para resolver el problema del encuentro plano