Ecuaciones cinemáticas

Ecuaciones de restricción de un sistema mecánico

Las ecuaciones cinemáticas son las ecuaciones de restricción de un sistema mecánico, como un manipulador de robot , que definen cómo el movimiento de entrada en una o más articulaciones especifica la configuración del dispositivo, con el fin de lograr una posición de tarea o una ubicación del efector final. ^{[1] [2]} Las ecuaciones cinemáticas se utilizan para analizar y diseñar sistemas articulados que van desde enlaces de cuatro barras hasta robots seriales y paralelos.

Las ecuaciones cinemáticas son ecuaciones de restricción que caracterizan la configuración geométrica de un sistema mecánico articulado. Por lo tanto, estas ecuaciones suponen que los eslabones son rígidos y que las articulaciones proporcionan una rotación o traslación pura. Las ecuaciones de restricción de este tipo se conocen como restricciones holonómicas en el estudio de la dinámica de sistemas multicuerpo.

Ecuaciones de bucle

Las ecuaciones cinemáticas de un sistema mecánico se forman como una secuencia de transformaciones rígidas a lo largo de los eslabones y alrededor de las articulaciones de un sistema mecánico. El principio de que la secuencia de transformaciones alrededor de un bucle debe volver a la identidad proporciona lo que se conoce como ecuaciones de bucle. Un conjunto independiente de ecuaciones cinemáticas se ensambla a partir de los diversos conjuntos de ecuaciones de bucle que están disponibles en un sistema mecánico.

Transformaciones

En 1955, Jacques Denavit y Richard Hartenberg introdujeron una convención para la definición de las matrices de unión [Z] y las matrices de enlace [X] para estandarizar los marcos de coordenadas para los vínculos espaciales. ^{[3] [4]} Esta convención posiciona el marco de unión de modo que consista en un desplazamiento de tornillo a lo largo del eje Z.

${\displaystyle [Z_{i}]={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}$

y posiciona el marco de enlace de manera que consiste en un desplazamiento de tornillo a lo largo del eje X,

${\displaystyle [X_{i}]={\begin{bmatrix}1&0&0&a_{i,i+1}\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}$

Las ecuaciones cinemáticas se obtienen utilizando una transformación rígida [Z] para caracterizar el movimiento relativo permitido en cada articulación y una transformación rígida separada [X] para definir las dimensiones de cada enlace.

El resultado es una secuencia de transformaciones rígidas que alternan transformaciones de unión y enlace desde la base de la cadena, alrededor de un bucle y de regreso a la base para obtener la ecuación del bucle.

${\displaystyle [Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}]=[I].\!}$

La serie de transformaciones equivale a la matriz identidad porque regresan al inicio del bucle.

Cadenas seriales

Las ecuaciones cinemáticas para un robot de cadena serial se obtienen formulando las ecuaciones de bucle en términos de una transformación [T] desde la base hasta el efector final, que se equipara a la serie de transformaciones a lo largo del robot. El resultado es,

${\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}],\!}$

Estas ecuaciones se denominan ecuaciones cinemáticas de la cadena serial.

Cadenas paralelas

Las ecuaciones cinemáticas para una cadena paralela, o robot paralelo, formado por un efector final soportado por múltiples cadenas seriales se obtienen a partir de las ecuaciones cinemáticas de cada una de las cadenas seriales de soporte. Supongamos que m cadenas seriales soportan el efector final, entonces la transformación desde la base hasta el efector final está definida por m ecuaciones,

${\displaystyle [T]=[Z_{1,j}][X_{1,j}][Z_{2,j}][X_{2,j}]\ldots [X_{n-1,j}][Z_{n,j}],\quad j=1,\ldots ,m.\!}$

Estas ecuaciones son las ecuaciones cinemáticas de la cadena paralela.

Ecuaciones cinemáticas para el movimiento lineal

Existen tres ecuaciones cinemáticas para el movimiento lineal (y generalmente uniforme). Éstas son:

• v = u + en
• v ² = u ² + 2 como
• s = ut + ⁠1/2⁠ a ^{las 2}

Además de estas ecuaciones, existe otra ecuación que se utiliza para hallar el desplazamiento desde el segundo 0 al n. La ecuación es:

• ${\displaystyle S_{n}=u+{\frac {a}{2}}(2n-1)}$

Cinemática directa

Las ecuaciones cinemáticas de robots seriales y paralelos pueden verse como parámetros que relacionan, como los ángulos de las articulaciones, que están bajo el control de los actuadores con la posición y orientación [T] del efector final.

Desde este punto de vista, las ecuaciones cinemáticas se pueden utilizar de dos formas diferentes. La primera, denominada cinemática directa, utiliza valores específicos para los parámetros de la articulación para calcular la posición y la orientación del efector final. La segunda, denominada cinemática inversa, utiliza la posición y la orientación del efector final para calcular los valores de los parámetros de la articulación.

Sorprendentemente, mientras que la cinemática directa de una cadena serial es un cálculo directo de una única ecuación matricial, la cinemática directa de una cadena paralela requiere la solución simultánea de múltiples ecuaciones matriciales, lo que presenta un desafío significativo.

Referencias

1. Paul, Richard (1981). Robots manipuladores: matemáticas, programación y control: el control informático de robots manipuladores. MIT Press, Cambridge, Massachusetts. ISBN 978-0-262-16082-7.
2. JM McCarthy, 1990, Introducción a la cinemática teórica, MIT Press, Cambridge, Massachusetts.
3. J. Denavit y RS Hartenberg, 1955, "Una notación cinemática para mecanismos de pares inferiores basados ​​en matrices". Trans ASME J. Appl. Mech, 23:215–221.
4. Hartenberg, RS y J. Denavit. Síntesis cinemática de enlaces. Nueva York: McGraw-Hill, 1964. Disponible en línea a través de KMODDL.