Las ecuaciones cinemáticas son las ecuaciones de restricción de un sistema mecánico, como un robot manipulador, que definen cómo el movimiento de entrada en una o más articulaciones especifica la configuración del dispositivo, para lograr una posición de tarea o una ubicación de efector final. [1] [2] Las ecuaciones cinemáticas se utilizan para analizar y diseñar sistemas articulados que van desde enlaces de cuatro barras hasta robots en serie y paralelos.
Las ecuaciones cinemáticas son ecuaciones de restricción que caracterizan la configuración geométrica de un sistema mecánico articulado. Por lo tanto, estas ecuaciones suponen que los eslabones son rígidos y las uniones proporcionan rotación o traslación pura. Las ecuaciones de restricción de este tipo se conocen como restricciones holonómicas en el estudio de la dinámica de sistemas multicuerpo.
Las ecuaciones cinemáticas de un sistema mecánico se forman como una secuencia de transformaciones rígidas a lo largo de eslabones y alrededor de uniones en un sistema mecánico. El principio de que la secuencia de transformaciones alrededor de un bucle debe volver a la identidad proporciona lo que se conoce como ecuaciones de bucle. Se ensambla un conjunto independiente de ecuaciones cinemáticas a partir de los diversos conjuntos de ecuaciones de bucle que están disponibles en un sistema mecánico.
En 1955, Jacques Denavit y Richard Hartenberg introdujeron una convención para la definición de matrices conjuntas [Z] y matrices de vínculos [X] para estandarizar los marcos de coordenadas para vínculos espaciales. [3] [4] Esta convención posiciona el marco de la articulación de modo que consista en un desplazamiento de tornillo a lo largo del eje Z.
y posiciona el marco de enlace de modo que consista en un desplazamiento de tornillo a lo largo del eje X,
Las ecuaciones cinemáticas se obtienen utilizando una transformación rígida [Z] para caracterizar el movimiento relativo permitido en cada articulación y una transformación rígida separada [X] para definir las dimensiones de cada eslabón.
El resultado es una secuencia de transformaciones rígidas que alternan transformaciones de unión y eslabón desde la base de la cadena, alrededor de un bucle y de regreso a la base para obtener la ecuación del bucle.
La serie de transformaciones equivale a la matriz identidad porque regresan al comienzo del ciclo.
Las ecuaciones cinemáticas para un robot de cadena en serie se obtienen formulando las ecuaciones de bucle en términos de una transformación [T] desde la base hasta el efector final, que se equipara a la serie de transformaciones a lo largo del robot. El resultado es,
Estas ecuaciones se denominan ecuaciones cinemáticas de la cadena en serie.
Las ecuaciones cinemáticas para una cadena paralela, o robot paralelo, formado por un efector final sostenido por múltiples cadenas en serie se obtienen a partir de las ecuaciones cinemáticas de cada una de las cadenas en serie de soporte. Supongamos que m cadenas en serie soportan el efector final, entonces la transformación de la base al efector final está definida por m ecuaciones,
Estas ecuaciones son las ecuaciones cinemáticas de la cadena paralela.
Hay tres ecuaciones cinemáticas para el movimiento lineal (y generalmente uniforme). Estos son
Además de estas ecuaciones, hay una ecuación más que se utiliza para encontrar el desplazamiento del 0 al enésimo segundo. La ecuación es:
Se puede considerar que las ecuaciones cinemáticas de robots en serie y paralelo relacionan parámetros, como los ángulos de las articulaciones, que están bajo el control de los actuadores con la posición y orientación [T] del efector final.
Desde este punto de vista, las ecuaciones cinemáticas se pueden utilizar de dos maneras diferentes. La primera, llamada cinemática directa, utiliza valores específicos para los parámetros de las articulaciones para calcular la posición y orientación del efector final. La segunda, llamada cinemática inversa, utiliza la posición y orientación del efector final para calcular los valores de los parámetros conjuntos.
Sorprendentemente, mientras que la cinemática directa de una cadena en serie es un cálculo directo de una única ecuación matricial, la cinemática directa de una cadena paralela requiere la solución simultánea de múltiples ecuaciones matriciales, lo que presenta un desafío importante.
![{\displaystyle [Z_{i}]={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ad00713a45a76d0f28944228911f169096cac95)
![{\displaystyle [X_{i}]={\begin{bmatrix}1&0&0&a_{i,i+1}\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i +1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/295d79271a92dbb59f932a700a4a7f545a480701)
![{\displaystyle [Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}]=[I].\! }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5a9ba9bfa3c9ff7e4d19e867259fae94db6af11)
![{\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}],\! }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf95be75044e9ef0f222808f03ab979f013f3315)
![{\displaystyle [T]=[Z_{1,j}][X_{1,j}][Z_{2,j}][X_{2,j}]\ldots [X_{n-1,j} ][Z_{n,j}],\quad j=1,\ldots ,m.\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/911700be11563d6a1f613627de69c59f6c0981d7)