Ecuación de Sack-Schamel

La ecuación de Sack-Schamel describe la evolución no lineal del fluido iónico frío en un plasma de dos componentes bajo la influencia de un campo eléctrico autoorganizado. Es una ecuación diferencial parcial de segundo orden en el tiempo y el espacio formulada en coordenadas lagrangianas . ^[1] La dinámica descrita por la ecuación tiene lugar en una escala de tiempo iónica, lo que permite tratar a los electrones como si estuvieran en equilibrio y describirse mediante una distribución isotérmica de Boltzmann . Complementado con condiciones límite adecuadas, describe todo el espacio de configuración de posibles eventos de los que es capaz el fluido iónico, tanto a nivel global como local.

La ecuacion

La ecuación de Sack-Schamel está en su forma más simple, es decir, para electrones isotérmicos, dada por

${\displaystyle {\ddot {V}}+\partial _{\eta }\left[{\frac {1}{1-{\ddot {V}}}}\partial _{\eta }\left({\frac {1-{\ddot {V}}}{V}}\right)\right]=0.}$

${\displaystyle V(\eta ,t)}$En él se encuentra el volumen específico del fluido iónico, la variable de masa lagrangiana yt el tiempo (ver el texto siguiente). ${\displaystyle \eta }$

Derivación y aplicación

Tomemos como ejemplo la expansión del plasma en el vacío, es decir, un plasma que inicialmente está confinado en un semiespacio y se libera en t=0 para ocupar con el tiempo la segunda mitad. ^{[2] [3] [4] [5]} La dinámica de dicho plasma de dos componentes, que consta de electrones isotérmicos tipo Botzmann y un fluido iónico frío, se rige por las ecuaciones iónicas de continuidad y momento, y , respectivamente. ${\displaystyle \partial _{t}n+\partial _{x}(nv)=0}$ ${\displaystyle \partial _{t}v+v\,\partial _{x}v=-\partial _{x}\varphi }$

De este modo, ambas especies están acopladas a través del campo eléctrico autoorganizado , que satisface la ecuación de Poisson . Complementados con condiciones iniciales y de contorno (bcs) adecuadas, representan un conjunto de ecuaciones autoconsistentes e intrínsecamente cerradas que representan el flujo de iones laminares en su patrón completo en la escala de tiempo de los iones. ${\displaystyle E(x,t)=-\partial _{x}\varphi (x,t)}$ ${\displaystyle \partial _{x}^{2}\varphi =e^{\varphi }-n}$

Fig. 1a Expansión del plasma al vacío, Fig. 1b Una pequeña sección del frente de densidad.

Higos. 1a, 1b muestran un ejemplo de una evolución típica. ^{[6] [5]} La Fig. 1a muestra la densidad de iones en el espacio x para diferentes tiempos discretos, la Fig. 1b es una pequeña sección del frente de densidad.

Lo más notable es la aparición de un frente iónico puntiagudo asociado con el colapso de la densidad en un determinado punto del espacio-tiempo . Aquí la cantidad se vuelve cero. Este evento se conoce como "rotura de olas" por analogía con un fenómeno similar que ocurre cuando las olas del agua se acercan a una playa. ${\displaystyle (x_{*},t_{*})}$ ${\displaystyle V:=1/n}$

Este resultado se obtiene mediante un esquema numérico de Lagrange, en el que las coordenadas de Euler se reemplazan por coordenadas de Lagrange , y por los llamados bcs abiertos, que se formulan mediante ecuaciones diferenciales de primer orden. ^{[sesenta y cinco]} ${\displaystyle (x,t)}$ ${\displaystyle (\eta ,\tau )}$

Esta transformación la proporciona , , donde es la variable de masa lagrangiana. ^[1] La transformación inversa viene dada por y tiene la identidad: . Con esta identidad obtenemos mediante una x -derivación o . En el segundo paso se utilizó la definición de la variable masa la cual es constante a lo largo de la trayectoria de un elemento fluido: . Esto se desprende de la definición de , de la ecuación de continuidad y de la sustitución de por . Por eso . La velocidad de un elemento fluido coincide con la velocidad del fluido local. ${\displaystyle \eta =\eta (x,t)}$ ${\displaystyle \tau =t}$ ${\displaystyle \eta (x,t)=\int _{0}^{x}n({\tilde {x}},t)\,d{\tilde {x}}}$ ${\displaystyle x=x(\eta ,\tau ),t=\tau }$ ${\displaystyle x(\eta (x,t),\tau )=x}$ ${\displaystyle \partial _{x}\eta \,\partial _{\eta }x=1}$ ${\displaystyle \partial _{\eta }x={\frac {1}{\partial _{x}\eta }}={\frac {1}{n}}=V}$ ${\displaystyle (\partial _{t}+v\partial _{x})\eta (x,t)=0}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \partial _{x}\eta }$ ${\displaystyle \partial _{\tau }x(\eta ,\tau )=:{\dot {x}}(\eta ,\tau )=v(\eta ,\tau )}$

De ello se desprende inmediatamente: donde se ha utilizado la ecuación de momento así como , lo que se deriva de la definición de y de . ${\displaystyle {\ddot {V}}=\partial _{\eta }{\ddot {x}}=\partial _{\eta }{\dot {v}}=\partial _{\eta }E=-\partial _{\eta }({\frac {1}{V}}\,\partial _{\eta }\varphi )}$ ${\displaystyle \partial _{x}\varphi ={\frac {1}{V}}\partial _{\eta }\varphi }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \partial _{x}\eta =n={\frac {1}{V}}}$

Reemplazando por obtenemos de la ecuación de Poisson: . Por eso . Finalmente reemplazando en la expresión obtenemos la ecuación deseada: . Aquí hay una función de : y por conveniencia podemos reemplazarla por . Se pueden encontrar más detalles sobre esta transición de un sistema de coordenadas a otro en. ^[1] Tenga en cuenta su carácter inusual debido a la aparición implícita de . Físicamente V representa el volumen específico. Es equivalente al jacobiano J de la transformación de coordenadas eulerianas a lagrangianas ya que cumple ${\displaystyle \partial _{x}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{V}}\partial _{\eta }}$ ${\displaystyle \partial _{\eta }\left({\frac {1}{V}}\partial _{\eta }\varphi \right)=Ve^{\varphi }-1=-{\ddot {V}}}$ ${\displaystyle \varphi =\ln \left({\frac {1-{\ddot {V}}}{V}}\right)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\ddot {V}}}$ ${\displaystyle {\ddot {V}}+\partial _{\eta }\left[{\frac {1}{1-{\ddot {V}}}}\partial _{\eta }\left({\frac {1-{\ddot {V}}}{V}}\right)\right]=0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (\eta ,\tau )}$ ${\displaystyle V(\eta ,\tau )}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\ddot {V}}}$ ${\displaystyle dx={\frac {dx}{d\eta }}\,d\eta =V\,d\eta =J\,d\eta .}$

Solución rompeolas

Generalmente no se dispone de una solución analítica y global de la ecuación de Sack-Schamel. Lo mismo se aplica al problema de la expansión del plasma. Esto significa que los datos del colapso no se pueden predecir, sino que deben tomarse de la solución numérica. No obstante, es posible, localmente en el espacio y el tiempo, obtener una solución a la ecuación. Esto se presenta en detalle en la Sección 6 "Teoría de la agrupación y la rotura de ondas en la dinámica iónica". ^[6] La solución se puede encontrar en la ecuación (6.37) y se lee para pequeños y t ${\displaystyle (x_{*},t_{*})}$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle V(\eta ,t)=at\left[1+{\frac {t}{2a}}-b\eta +c(\eta ^{2}-\Omega ^{2}t^{2})+d(\eta -\Omega t)^{2}(\eta +2\Omega t)+\cdots \right]}$

¿Dónde están las constantes y representan ? Por lo tanto, el colapso es de . tiene forma de V y su mínimo se mueve linealmente hacia el punto cero (ver Fig. 7 de ^[6] ). Esto significa que la densidad n diverge cuando volvemos a las variables lagrangianas originales. ${\displaystyle a,b,c,d,\Omega }$ ${\displaystyle (\eta ,t)}$ ${\displaystyle (\eta _{*}-\eta ,t_{*}-t)}$ ${\displaystyle (\eta ,t)=(0,0)}$ ${\displaystyle V(\eta ,t)}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \eta =\Omega t}$ ${\displaystyle (\eta _{*},t_{*})}$

Se ve fácilmente que la pendiente de la velocidad, , también diverge cuando . En la fase de colapso final, la ecuación de Sack-Schamel transita hacia la ecuación de onda escalar casi neutra: y la dinámica iónica obedece a la ecuación de onda simple de Euler: . ^[7] ${\displaystyle \partial _{x}v={\frac {1}{V}}\partial _{\eta }v}$ ${\displaystyle V\rightarrow 0}$ ${\displaystyle {\ddot {V}}+\partial _{\eta }^{2}{\frac {1}{V}}=0}$ ${\displaystyle \partial _{t}v+v\,\partial _{x}v=0}$

Generalización

Se logra una generalización permitiendo diferentes ecuaciones de estado para los electrones. Suponiendo una ecuación de estado politrópica, o con : donde se refiere a electrones isotérmicos, obtenemos (ver nuevamente la Sección 6 de ^[6] ): ${\displaystyle p_{e}\sim n_{e}^{\gamma }}$ ${\displaystyle p_{e}\sim n_{e}T_{e}}$ ${\displaystyle T_{e}n_{e}^{1-\gamma }={\text{constant}},}$ ${\displaystyle \gamma =1}$

${\displaystyle {\ddot {V}}+\partial _{\eta }\left[{\frac {\gamma }{V}}\left({\frac {1-{\ddot {V}}}{V}}\right)^{\gamma -2}\,\partial _{\eta }\left({\frac {1-{\ddot {V}}}{V}}\right)\right]=0,\qquad 1\leq \gamma \leq 2}$

La limitación de resulta de la exigencia de que en el infinito la densidad de electrones desaparezca (para el problema de la expansión al vacío). Para más detalles, consulte la Sección. 2: "El modelo de expansión del plasma" de ^[6] o más explícitamente la Sección. 2.2: "Restricciones de la dinámica electrónica". ${\displaystyle \gamma }$

Agrupación rápida de iones

Estos resultados son notables en dos aspectos. El colapso, que podría resolverse analíticamente mediante la ecuación de Sack-Schamel, señala a través de su singularidad la ausencia de una física real. Un plasma real puede continuar al menos de dos maneras. O entra en el régimen cinético sin colisión de Vlasov ^[8] y desarrolla efectos de flujo múltiple y plegado en el espacio de fase ^[3] o experimenta disipación (por ejemplo, a través de la viscosidad de Navier-Stokes en la ecuación de momento ^{[6] [5] [8]} ) que controla además la evolución en la fase siguiente. Como consecuencia, el pico de densidad de iones se satura y continúa su aceleración hacia el vacío manteniendo su naturaleza puntiaguda. ^{[6] [5]} Este fenómeno de agrupación de iones rápidos, reconocido por su frente puntiagudo de iones rápidos, ha recibido inmensa atención en el pasado reciente en varios campos. Los chorros de iones de alta energía son importantes y prometedores en aplicaciones como la interacción láser-plasma, ^{[9] [10] [ 11] [12]} en la irradiación láser de objetivos sólidos, y también se les conoce como aceleración de vaina normal del objetivo. , ^{[13] [14] [15] [16]} en futuros aceleradores de partículas basados ​​en plasma y fuentes de radiación (por ejemplo, para terapia de tumores) ^[17] y en plasmas espaciales. ^[18] Los haces de iones rápidos son, por tanto, una reliquia de la rotura de ondas que analíticamente se describe completamente mediante la ecuación de Sack-Schamel. (Para obtener más detalles, especialmente sobre la naturaleza puntiaguda del frente de iones rápidos en caso de disipación, consulte http://www.hans-schamel.de o los artículos originales ^{[19] [20]} ). Beck y Pantellini (2009) publicaron un artículo en el que se menciona el mecanismo de ruptura de ondas de Sack-Schamel como origen de un frente iónico máximo. ^[21]

Finalmente, la notoriedad de la ecuación de Sack-Schamel se aclara mediante una simulación de dinámica molecular publicada recientemente. ^[22] En la fase inicial de la expansión del plasma se pudo observar un pico de iones distinto, lo que enfatiza la importancia del escenario de ruptura de olas como lo predice la ecuación.

Referencias

1. H. Schamel, "DESCRIPCIÓN DE FLUIDOS LAGRANGIANOS CON APLICACIONES SIMPLES EN PLASMA COMPRESIBLE Y DINÁMICA DE GAS", Physics Reports 392 (2004) 279–319
2. JE Crow, PL Auer y JE Allen, J. Plasma Phys. 14 (1975) 65
3. DW Forslund, JM Kindel, K. Lee y BB Godfrey, Phys. Fluidos 22 (1979) 462
4. AV Gurevich y AP Mescherkin, físico soviético. JETP 53 (1981) 937
5. cap. Sack y H. Schamel, "EVOLUCIÓN DE UN PLASMA QUE SE EXPANDE AL VACÍO", Plasma Phys. contra. Fusión 27 (1985) 717
6. Cap. Sack y H. Schamel, "EXPANSIÓN DEL PLASMA AL VACÍO: UN ENFOQUE HIDRODINÁMICO", Physics Reports 156 (1987) 311–395
7. LD Landau y EM Lifschitz, vol. VI, HYDRODYNAMIK, Akademie, Verlag Berlín 1966
8. NA Krall y AW Trivelpiece, "PRINCIPIOS DE LA FÍSICA DEL PLASMA", McGraw-Hill, Nueva York 1973
9. SJ Gitomer et al., Phys. Fluidos 29(1986) 2679
10. WL Kruer, "LA FÍSICA DE LA INTERACCIÓN DEL PLASMA LÁSER", Westview Press, Boulder, Colorado (1988)
11. P. Mora, Phys.Rev.Lett. 90(2003)185002
12. N. Iwata y otros, Phys. Plasmas 24 (2017) 07311
13. EL Clark y otros, Phys.Rev.Lett. 84 (2000) 670
14. A. Maksimchuk et al., Phys.Rev.Lett. 8 (2000) 4108
15. RA Snavely et al, Phys.Rev.Lett. 85 (2000) 2945
16. M. Afshari et al., AIP Advances 10 (2020) 035023
17. T. Kluge y otros, Phys.Rev. X8 (2018) 031068
18. S. Salem, WM Moslem y A. Radi, Phys. Plasmas 24 (2017) 052901
19. Cap. Sack y H. Schamel, Phys. Letón. 110A (1985) 206
20. Cap. Sack, H. Schamel y R. Schmalz, Phys. Fluidos 29 (1986) 1337
21. A. Beck y F. Pantellini, Plasma Phys. contra. Fusión 51 (2009) 015004
22. EV Vikhorov, S. Ya. Bronin, AB Klayrfeld, BB Zelener y BV Zelener, Phys. Plasmas 27 (2020) 120702

enlaces externos

• www.hans-schamel.de más información por Hans Schamel