Ecuación de Basset-Boussinesq-Oseen

Ecuación que describe el movimiento de partículas en un flujo de fluido inestable y de baja fuerza de Reynolds

En dinámica de fluidos , la ecuación de Basset-Boussinesq-Oseen ( ecuación BBO ) describe el movimiento de una partícula pequeña (y las fuerzas que actúan sobre ella) en un flujo inestable a números de Reynolds bajos . La ecuación recibe su nombre de Joseph Valentin Boussinesq , Alfred Barnard Basset y Carl Wilhelm Oseen .

Formulación

La ecuación BBO, en la formulación dada por Zhu y Fan (1998, pp. 18-27) y Soo (1990), se refiere a una pequeña partícula esférica de diámetro que tiene una densidad media cuyo centro está ubicado en . La partícula se mueve con velocidad lagrangiana en un fluido de densidad , viscosidad dinámica y campo de velocidad euleriano . El campo de velocidad del fluido que rodea la partícula consiste en el campo de velocidad euleriano local no perturbado más un campo de perturbación, creado por la presencia de la partícula y su movimiento con respecto al campo no perturbado. Para un diámetro de partícula muy pequeño, este último es localmente una constante cuyo valor está dado por el campo euleriano no perturbado evaluado en la ubicación del centro de la partícula, . El pequeño tamaño de partícula también implica que el flujo perturbado se puede encontrar en el límite de un número de Reynolds muy pequeño, lo que lleva a una fuerza de arrastre dada por el arrastre de Stokes . La inestabilidad del flujo en relación con la partícula da como resultado contribuciones de fuerza por la masa agregada y la fuerza de Basset . La ecuación BBO establece: ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle \rho _{p}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}_{p}(t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{p}(t)={\text{d}}{\boldsymbol {X}}_{p}/{\text{d}}t}$ ${\displaystyle \rho _{f}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}.}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{f}(t)={\boldsymbol {u}}_{f}({\boldsymbol {X}}_{p}(t),t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{6}}\rho _{p}d_{p}^{3}{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {U}}_{p}}{{\text{d}}t}}&=\underbrace {3\pi \mu d_{p}\left({\boldsymbol {U}}_{f}-{\boldsymbol {U}}_{p}\right)} _{\text{term 1}}-\underbrace {{\frac {\pi }{6}}d_{p}^{3}{\boldsymbol {\nabla }}p} _{\text{term 2}}+\underbrace {{\frac {\pi }{12}}\rho _{f}d_{p}^{3}\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left({\boldsymbol {U}}_{f}-{\boldsymbol {U}}_{p}\right)} _{\text{term 3}}\\&+\underbrace {{\frac {3}{2}}d_{p}^{2}{\sqrt {\pi \rho _{f}\mu }}\int _{t_{_{0}}}^{t}{\frac {1}{\sqrt {t-\tau }}}\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}\tau }}\left({\boldsymbol {U}}_{f}-{\boldsymbol {U}}_{p}\right)\,{\text{d}}\tau } _{\text{term 4}}+\underbrace {\sum _{k}{\boldsymbol {F}}_{k}} _{\text{term 5}}.\end{aligned}}}$

Esta es la segunda ley de Newton , en la que el lado izquierdo es la tasa de cambio del momento lineal de la partícula y el lado derecho es la suma de las fuerzas que actúan sobre la partícula. Los términos del lado derecho son, respectivamente: ^[1]

1. El arrastre de Stokes,
2. Fuerza de Froude-Krylov debida al gradiente de presión en el flujo no perturbado, con el operador de gradiente y el campo de presión no perturbado, ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}}$ ${\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}$
3. masa añadida,
4. Fuerza de Basset y
5. otras fuerzas que actúan sobre la partícula, como la gravedad , etc.

El número de Reynolds de la partícula ${\displaystyle R_{e}:}$

${\displaystyle R_{e}={\frac {\max \left\{\left|{\boldsymbol {U}}_{p}-{\boldsymbol {U}}_{f}\right|\right\}\,d_{p}}{\mu /\rho _{f}}}}$

tiene que ser menor que la unidad, , para que la ecuación BBO proporcione una representación adecuada de las fuerzas sobre la partícula. ^[2] ${\displaystyle R_{e}<1}$

También Zhu y Fan (1998, págs. 18-27) sugieren estimar el gradiente de presión a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes :

${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}p=\rho _{f}{\frac {{\text{D}}{\boldsymbol {u}}_{f}}{{\text{D}}t}}-\mu \nabla ^{2}{\boldsymbol {u}}_{f},}$

con la derivada material de Nótese que en las ecuaciones de Navier-Stokes es el campo de velocidad del fluido, mientras que, como se indicó anteriormente, en la ecuación BBO es la velocidad del flujo no perturbado tal como lo ve un observador que se mueve con la partícula. Por lo tanto, incluso en flujo euleriano estacionario depende del tiempo si el campo euleriano no es uniforme. ${\displaystyle {\text{D}}{\boldsymbol {u}}_{f}/{\text{D}}t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}.}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}({\boldsymbol {x}},t)}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}_{f}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{f}}$

Notas

1. Zhu y Fan (1998, págs. 18-27)
2. Crowe, CT; Trout, TR; Chung, JN (1995). "Capítulo XIX – Interacciones de partículas con vórtices". En Green, Sheldon I. (ed.). Vórtices de fluidos . Springer. pág. 831. ISBN 9780792333760.

Referencias

• Zhu, Chao; Fan, Liang-Shi (1998). "Capítulo 18 – Flujo multifásico: gas/sólido". En Johnson, Richard W. (ed.). El manual de dinámica de fluidos . Springer. ISBN 9783540646129.
• Soo, Shao L. (1990). Dinámica de fluidos multifásica . Ashgate Publishing. ISBN 9780566090332.