Ecuación de Morison

Ecuación de la fuerza sobre un objeto en las olas del mar

Fuerzas de flujo según la ecuación de Morison para un cuerpo colocado en un flujo armónico, en función del tiempo. Línea azul: fuerza de arrastre; línea roja: fuerza de inercia; línea negra: fuerza total según la ecuación de Morison. Nótese que la fuerza de inercia está por delante de la fase de la fuerza de arrastre: la velocidad del flujo es una onda senoidal , mientras que la aceleración local es una onda cosenoidal en función del tiempo.

En dinámica de fluidos, la ecuación de Morison es una ecuación semiempírica para la fuerza en línea sobre un cuerpo en flujo oscilatorio. A veces se la denomina ecuación MOJS en honor a los cuatro autores (Morison, O'Brien , Johnson y Schaaf) del artículo de 1950 en el que se introdujo la ecuación. ^[1] La ecuación de Morison se utiliza para estimar las cargas de las olas en el diseño de plataformas petrolíferas y otras estructuras marinas . ^{[2] [3]}

Descripción

Carga de olas en la estructura de acero de la plataforma de compresión de la unidad de producción y servicios públicos (PUQC) en el campo petrolífero Rong Doi, en alta mar en Vietnam (ver Megaproyectos petroleros (2010) ).

La ecuación de Morison es la suma de dos componentes de fuerza: una fuerza de inercia en fase con la aceleración del flujo local y una fuerza de arrastre proporcional al cuadrado (con signo) de la velocidad instantánea del flujo . La fuerza de inercia tiene la forma funcional que se encuentra en la teoría del flujo potencial , mientras que la fuerza de arrastre tiene la forma que se encuentra para un cuerpo colocado en un flujo constante. En el enfoque heurístico de Morison, O'Brien, Johnson y Schaaf, estos dos componentes de fuerza, inercia y arrastre, simplemente se suman para describir la fuerza en línea en un flujo oscilatorio. La fuerza transversal (perpendicular a la dirección del flujo, debido al desprendimiento de vórtices ) debe abordarse por separado.

La ecuación de Morison contiene dos coeficientes hidrodinámicos empíricos (un coeficiente de inercia y un coeficiente de arrastre ) que se determinan a partir de datos experimentales. Como se muestra en el análisis dimensional y en los experimentos de Sarpkaya, estos coeficientes dependen en general del número de Keulegan-Carpenter , el número de Reynolds y la rugosidad de la superficie . ^{[4] [5]}

Las descripciones que se dan a continuación de la ecuación de Morison son para condiciones de flujo unidireccional así como para movimiento corporal.

Cuerpo fijo en un flujo oscilatorio

En un flujo oscilatorio con velocidad de flujo , la ecuación de Morison da la fuerza en línea paralela a la dirección del flujo: ^[6] ${\displaystyle u(t)}$

${\displaystyle F\,=\,\underbrace {\rho \,C_{m}\,V\,{\dot {u}}} _{F_{I}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\,\rho \,C_{d}\,A\,u\,|u|} _{F_{D}},}$

dónde

• ${\displaystyle F(t)}$es la fuerza total en línea sobre el objeto,
• ${\displaystyle {\dot {u}}\equiv {\text{d}}u/{\text{d}}t}$es la aceleración del flujo, es decir, la derivada temporal de la velocidad del flujo ${\displaystyle u(t),}$
• La fuerza de inercia es la suma de la fuerza de Froude-Krylov y la fuerza de masa hidrodinámica. ${\displaystyle F_{I}\,=\,\rho \,C_{m}\,V\,{\dot {u}}}$ ${\displaystyle \rho \,V\,{\dot {u}}}$ ${\displaystyle \rho \,C_{a}\,V\,{\dot {u}},}$
• la fuerza de arrastre según la ecuación de arrastre , ${\displaystyle F_{D}\,=\,{\scriptstyle {\frac {1}{2}}}\,\rho \,C_{d}\,A\,u\,|u|}$
• ${\displaystyle C_{m}=1+C_{a}}$es el coeficiente de inercia y el coeficiente de masa añadido , ${\displaystyle C_{a}}$
• A es un área de referencia, por ejemplo, el área de la sección transversal del cuerpo perpendicular a la dirección del flujo,
• V es el volumen del cuerpo.

Por ejemplo, para un cilindro circular de diámetro D en flujo oscilatorio, el área de referencia por unidad de longitud del cilindro es y el volumen del cilindro por unidad de longitud del cilindro es . Como resultado, la fuerza total por unidad de longitud del cilindro es: ${\displaystyle A=D}$ ${\displaystyle V={\scriptstyle {\frac {1}{4}}}\pi {D^{2}}}$ ${\displaystyle F(t)}$

${\displaystyle F\,=\,C_{m}\,\rho \,{\frac {\pi }{4}}D^{2}\,{\dot {u}}\,+\,C_{d}\,{\frac {1}{2}}\,\rho \,D\,u\,|u|.}$

Además de la fuerza en línea, también existen fuerzas de sustentación oscilatorias perpendiculares a la dirección del flujo, debido al desprendimiento de vórtices . Estas no están contempladas en la ecuación de Morison, que solo se aplica a las fuerzas en línea.

Cuerpo en movimiento en un flujo oscilatorio

En el caso de que el cuerpo se mueva también con velocidad , la ecuación de Morison queda así: ^[6] ${\displaystyle v(t)}$

${\displaystyle F=\underbrace {\rho \,V{\dot {u}}} _{a}+\underbrace {\rho \,C_{a}V\left({\dot {u}}-{\dot {v}}\right)} _{b}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\rho \,C_{d}A\left(u-v\right)\left|u-v\right|} _{c}.}$

donde las contribuciones totales de fuerza son:

• a : fuerza de Froude-Krylov ,
• b : fuerza de masa hidrodinámica,
• c : fuerza de arrastre .

Tenga en cuenta que el coeficiente de masa agregado está relacionado con el coeficiente de inercia como . ${\displaystyle C_{a}}$ ${\displaystyle C_{m}}$ ${\displaystyle C_{m}=1+C_{a}}$

Limitaciones

• La ecuación de Morison es una formulación heurística de las fluctuaciones de fuerza en un flujo oscilatorio. La primera suposición es que la aceleración del flujo es más o menos uniforme en la ubicación del cuerpo. Por ejemplo, para un cilindro vertical en ondas de gravedad superficial, esto requiere que el diámetro del cilindro sea mucho menor que la longitud de onda . Si el diámetro del cuerpo no es pequeño en comparación con la longitud de onda, se deben tener en cuenta los efectos de difracción . ^[7]
• En segundo lugar, se supone que las formas asintóticas: las contribuciones de la fuerza de inercia y de arrastre, válidas para números de Keulegan-Carpenter muy pequeños y muy grandes respectivamente, pueden simplemente sumarse para describir las fluctuaciones de fuerza en números de Keulegan-Carpenter intermedios. Sin embargo, a partir de experimentos se ha descubierto que en este régimen intermedio (donde tanto el arrastre como la inercia aportan contribuciones significativas), la ecuación de Morison no es capaz de describir muy bien el historial de fuerza. Aunque los coeficientes de inercia y arrastre pueden ajustarse para dar los valores extremos correctos de la fuerza. ^[8]
• En tercer lugar, cuando se extiende al flujo orbital, que es un caso de flujo no unidireccional, como el que encuentra, por ejemplo, un cilindro horizontal bajo las olas, la ecuación de Morison no da una buena representación de las fuerzas en función del tiempo. ^[9]

Referencias

1. Sarpkaya, T. (1986), "Fuerza sobre un cilindro circular en flujo oscilatorio viscoso a números bajos de Keulegan-Carpenter" (PDF) , Journal of Fluid Mechanics , 165 : 61–71, Bibcode :1986JFM...165...61S, doi :10.1017/S0022112086002999, hdl :10945/62176, S2CID  122046406
2. Gudmestad, Ove T.; Moe, Geir (1996), "Coeficientes hidrodinámicos para el cálculo de cargas hidrodinámicas en estructuras de celosía marinas", Marine Structures , 9 (8): 745–758, Bibcode :1996MaStr...9..745G, doi :10.1016/0951-8339(95)00023-2
3. "Directrices para el diseño y el funcionamiento de convertidores de energía undimotriz" (PDF) . Det Norske Veritas . Mayo de 2005. Archivado desde el original (PDF) el 24 de febrero de 2009 . Consultado el 16 de febrero de 2009 .
4. Sarpkaya, T. (1976), "Desprendimiento de vórtices y resistencia en flujo armónico sobre cilindros circulares lisos y rugosos", Actas de la Conferencia internacional sobre el comportamiento de estructuras marinas, BOSS '76 , vol. 1, págs. 220-235
5. Sarpkaya, T. (1977), Desprendimiento de vórtices y resistencia en flujo armónico alrededor de cilindros lisos y rugosos a números de Reynolds altos , Monterey: Naval Postgraduate School, Informe No. NPS-59SL76021
6. Sumer y Fredsøe (2006), pág. 131.
7. Patel, MH; Witz, JA (2013), Estructuras marinas compatibles , Elsevier, págs. 80-83, ISBN 9781483163321
8. Sarpkaya (2010, págs. 95–98)
9. Chaplin, JR (1984), "Fuerzas no lineales en un cilindro horizontal bajo las olas", Journal of Fluid Mechanics , 147 : 449–464, Bibcode :1984JFM...147..449C, doi :10.1017/S0022112084002160, S2CID  122421362

Lectura adicional

• Morison, JR; O'Brien, MP; Johnson, JW; Schaaf, SA (1950), "La fuerza ejercida por las ondas superficiales sobre los pilotes", Petroleum Transactions , 189 (5), American Institute of Mining Engineers : 149–154, doi : 10.2118/950149-G
• Sarpkaya, T. (2010), Fuerzas de las olas en estructuras marinas , Cambridge University Press, ISBN 9780521896252
• Sarpkaya, T.; Isaacson, M. (1981), Mecánica de las fuerzas de las olas en las estructuras marinas , Nueva York: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-442-25402-4
• Sumer, BM; Fredsøe, J. (2006), Hidrodinámica alrededor de estructuras cilíndricas , Advanced Series on Ocean Engineering, vol. 26 (edición revisada), World Scientific, ISBN 981-270-039-0, 530 páginas