Transformada Z

Transformación matemática que convierte señales del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.

En matemáticas y procesamiento de señales , la transformada Z convierte una señal de tiempo discreto , que es una secuencia de números reales o complejos, en una representación de dominio de frecuencia de valor complejo (el dominio z o plano z ). ^{[1] [2]}

Puede considerarse un equivalente en tiempo discreto de la transformada de Laplace (el dominio s o plano s ). ^[3] Esta similitud se explora en la teoría del cálculo de escala de tiempo .

Mientras que la transformada de Fourier de tiempo continuo se evalúa en el eje vertical del dominio s (el eje imaginario), la transformada de Fourier de tiempo discreto se evalúa a lo largo del círculo unitario del dominio z. El semiplano izquierdo del dominio s se asigna al área dentro del círculo unitario del dominio z, mientras que el semiplano derecho del dominio s se asigna al área fuera del círculo unitario del dominio z.

En el procesamiento de señales, uno de los medios para diseñar filtros digitales es tomar diseños analógicos, someterlos a una transformación bilineal que los mapea del dominio s al dominio z y luego producir el filtro digital mediante inspección, manipulación o aproximación numérica. Estos métodos tienden a no ser precisos excepto en la proximidad de la unidad compleja, es decir, a frecuencias bajas.

Historia

El concepto fundacional que ahora se reconoce como la transformada Z, que es una piedra angular en el análisis y diseño de sistemas de control digital, no era completamente novedoso cuando surgió a mediados del siglo XX. Sus principios embrionarios se remontan al trabajo del matemático francés Pierre-Simon Laplace , quien es más conocido por la transformada de Laplace , una técnica matemática estrechamente relacionada. Sin embargo, la formulación explícita y la aplicación de lo que ahora entendemos como la transformada Z fueron significativamente avanzadas en 1947 por Witold Hurewicz y colegas. Su trabajo fue motivado por los desafíos presentados por los sistemas de control de datos muestreados, que se estaban volviendo cada vez más relevantes en el contexto de la tecnología de radar durante ese período. La transformada Z proporcionó un método sistemático y efectivo para resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, que son omnipresentes en el análisis de señales y sistemas de tiempo discreto. ^{[4] [5]}

El método se perfeccionó aún más y obtuvo su nomenclatura oficial, "la transformada Z", en 1952, gracias a los esfuerzos de John R. Ragazzini y Lotfi A. Zadeh , quienes formaban parte del grupo de control de datos muestreados en la Universidad de Columbia. Su trabajo no solo solidificó el marco matemático de la transformada Z, sino que también amplió su alcance de aplicación, particularmente en el campo de la ingeniería eléctrica y los sistemas de control. ^{[6] [7]}

Una extensión notable, conocida como la transformada Z modificada o avanzada , fue introducida posteriormente por Eliahu I. Jury . El trabajo de Jury amplió la aplicabilidad y robustez de la transformada Z, especialmente en el manejo de condiciones iniciales y proporcionando un marco más integral para el análisis de sistemas de control digital. Esta formulación avanzada ha desempeñado un papel fundamental en el diseño y análisis de estabilidad de sistemas de control de tiempo discreto, contribuyendo significativamente al campo del procesamiento de señales digitales. ^{[8] [9]}

Curiosamente, los fundamentos conceptuales de la transformada Z se cruzan con un concepto matemático más amplio conocido como el método de funciones generadoras , una poderosa herramienta en combinatoria y teoría de la probabilidad. Esta conexión fue insinuada ya en 1730 por Abraham de Moivre , una figura pionera en el desarrollo de la teoría de la probabilidad. De Moivre utilizó funciones generadoras para resolver problemas de probabilidad, sentando las bases para lo que eventualmente evolucionaría en la transformada Z. Desde una perspectiva matemática, la transformada Z puede verse como una instancia específica de una serie de Laurent , donde la secuencia de números bajo investigación se interpreta como los coeficientes en la expansión (de Laurent) de una función analítica . Esta perspectiva no solo resalta las profundas raíces matemáticas de la transformada Z, sino que también ilustra su versatilidad y amplia aplicabilidad en diferentes ramas de las matemáticas y la ingeniería. ^[10]

Definición

La transformada Z se puede definir como una transformada unilateral o bilateral (al igual que tenemos la transformada de Laplace unilateral y la transformada de Laplace bilateral ). ^[11]

Transformada Z bilateral

La transformada Z bilateral o de dos lados de una señal de tiempo discreto es la serie de potencia formal definida como: ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle X(z)}$

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}}$

donde es un entero y es, en general, un número complejo . En forma polar , puede escribirse como: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z=Ae^{j\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+j\sin {\phi })}$

donde es la magnitud de , es la unidad imaginaria , y es el argumento complejo (también conocido como ángulo o fase ) en radianes . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \phi }$

Transformada Z unilateral

Alternativamente, en los casos donde se define solo para , la transformada Z unilateral o de un solo lado se define como: ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

${\displaystyle X(z)={\mathcal {Z}}\{x[n]\}=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}.}$

En el procesamiento de señales , esta definición se puede utilizar para evaluar la transformada Z de la respuesta al impulso unitario de un sistema causal de tiempo discreto .

Un ejemplo importante de la transformada Z unilateral es la función generadora de probabilidad , donde el componente es la probabilidad de que una variable aleatoria discreta tome el valor . Las propiedades de las transformadas Z (enumeradas en el § Propiedades) tienen interpretaciones útiles en el contexto de la teoría de la probabilidad. ${\displaystyle x[n]}$

Transformada Z inversa

La transformada Z inversa es:

${\displaystyle x[n]={\mathcal {Z}}^{-1}\{X(z)\}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz}$

donde es una trayectoria cerrada en sentido antihorario que rodea el origen y se encuentra completamente en la región de convergencia (ROC). En el caso en que la ROC sea causal (ver Ejemplo 2), esto significa que la trayectoria debe rodear todos los polos de . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X(z)}$

Un caso especial de esta integral de contorno se da cuando es el círculo unitario. Este contorno se puede utilizar cuando la ROC incluye el círculo unitario, lo que siempre se garantiza cuando es estable, es decir, cuando todos los polos están dentro del círculo unitario. Con este contorno, la transformada Z inversa se simplifica a la transformada de Fourier inversa de tiempo discreto , o serie de Fourier , de los valores periódicos de la transformada Z alrededor del círculo unitario: ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X(z)}$

${\displaystyle x[n]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{+\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega n}d\omega .}$

La transformada Z con un rango finito de y un número finito de valores espaciados uniformemente se puede calcular de manera eficiente a través del algoritmo FFT de Bluestein . La transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT), que no debe confundirse con la transformada de Fourier discreta (DFT), es un caso especial de una transformada Z de este tipo que se obtiene al restringir que se encuentre en el círculo unitario. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

Los tres métodos siguientes se utilizan a menudo para la evaluación de la transformada inversa:

Evaluación directa por integración de contornos

Este método implica aplicar el teorema de residuos de Cauchy para evaluar la transformada Z inversa. Mediante la integración alrededor de un contorno cerrado en el plano complejo, se suman los residuos en los polos de la función de la transformada Z dentro de la ROC. Esta técnica es particularmente útil cuando se trabaja con funciones expresadas en términos de variables complejas.

Expansión en una serie de términos en las variablesel yel-1

En este método, la transformada Z se expande en una serie de potencias. Este enfoque es útil cuando la función de la transformada Z es racional, lo que permite la aproximación de la inversa mediante la expansión en una serie y la determinación de los coeficientes de la señal término por término.

Expansión de fracciones parciales y búsqueda en tablas

Esta técnica descompone la transformada Z en una suma de fracciones más simples, cada una de las cuales corresponde a pares de transformadas Z conocidos. Luego, la transformada Z inversa se determina buscando cada término en una tabla estándar de pares de transformadas Z. Este método se utiliza ampliamente por su eficiencia y simplicidad, especialmente cuando la función original se puede descomponer fácilmente en componentes reconocibles.

Ejemplo:^[12]

A) Determine la transformada Z inversa de los siguientes mediante el método de expansión en serie,

$${\displaystyle X(z)={\frac {1}{1-1.5z^{-1}+0.5z^{-2}}}}$$

Solución:

Caso 1:

República Checa: ${\displaystyle \left\vert Z\right\vert >1}$

Dado que la ROC es el exterior de un círculo, es causal (señal existente para n≥0). ${\displaystyle x(n)}$

$${\displaystyle X(z)={1 \over 1-{3 \over 2}z^{-1}+{1 \over 2}z^{-2}}=1+{{3 \over 2}z^{-1}}+{{7 \over 4}z^{-2}}+{{15 \over 8}z^{-3}}+{{31 \over 16}z^{-4}}+....}$$

de este modo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=\left\{1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}},{\frac {15}{8}},{\frac {31}{16}}\ldots \right\}\\&\qquad \!\uparrow \\\end{aligned}}}$$(la flecha indica el término en x(0)=1)

Tenga en cuenta que en cada paso del proceso de división larga eliminamos el término de menor potencia de . ${\displaystyle z^{-1}}$

Caso 2:

República Checa: ${\displaystyle \left\vert Z\right\vert <0.5}$

Dado que la ROC es el interior de un círculo, es anticausal (señal existente para n<0). ${\displaystyle x(n)}$

Realizando una división larga obtenemos,

$${\displaystyle X(z)={\frac {1}{1-{\frac {3}{2}}z^{-1}+{\frac {1}{2}}z^{-2}}}=2z^{2}+6z^{3}+14z^{4}+30z^{5}+\ldots }$$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=\{30,14,6,2,0,0\}\\&\qquad \qquad \qquad \quad \ \ \,\uparrow \\\end{aligned}}}$(la flecha indica el término en x(0)=0)

Tenga en cuenta que en cada paso del proceso de división larga eliminamos el término de menor potencia de . ${\displaystyle z}$

Nota:

1. Cuando la señal es causal, obtenemos potencias positivas de y cuando la señal es anticausal, obtenemos potencias negativas de . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$
2. ${\displaystyle z^{k}}$indica término en y indica término en . ${\displaystyle x(-k)}$ ${\displaystyle z^{-k}}$ ${\displaystyle x(k)}$

B) Determine la transformada Z inversa de los siguientes mediante el método de expansión en serie,

Eliminando potencias negativas si y dividiendo por , ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle {\frac {X(z)}{z}}={\frac {z^{2}}{z(z^{2}-1.5z+0.5)}}={\frac {z}{z^{2}-1.5z+0.5}}}$$

Por expansión de fracciones parciales,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {X(z)}{z}}&={\frac {z}{(z-1)(z-0.5)}}={\frac {A_{1}}{z-0.5}}+{\frac {A_{2}}{z-1}}\\[4pt]&A_{1}=\left.{\frac {(z-0.5)X(z)}{z}}\right\vert _{z=0.5}={\frac {0.5}{(0.5-1)}}=-1\\[4pt]&A_{2}=\left.{\frac {(z-1)X(z)}{z}}\right\vert _{z=1}={\frac {1}{1-0.5}}={2}\\[4pt]{\frac {X(z)}{z}}&={\frac {2}{z-1}}-{\frac {1}{z-0.5}}\end{aligned}}}$$

Caso 1:

República Checa: ${\displaystyle \left\vert Z\right\vert >1}$

Ambos términos son causales, por lo tanto es causal. ${\displaystyle x(n)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=2{(1)^{n}}u(n)-1{(0.5)^{n}}u(n)\\&=(2-0.5^{n})u(n)\\\end{aligned}}}$$

Caso 2:

República Checa: ${\displaystyle \left\vert Z\right\vert <0.5}$

Ambos términos son anticausales, por lo tanto es anticausal. ${\displaystyle x(n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=-2{(1)^{n}}u(-n-1)-(-1{(0.5)^{n}}u(-n-1))\\&=(0.5^{n}-2)u(-n-1)\\\end{aligned}}}$

Caso 3:

República Checa: ${\displaystyle 0.5<\left\vert Z\right\vert <1}$

Uno de los términos es causal (p=0,5 proporciona la parte causal) y el otro es anticausal (p=1 proporciona la parte anticausal), por lo tanto, es bidireccional. ${\displaystyle x(n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x(n)&=-2{(1)^{n}}u(-n-1)-1{(0.5)^{n}}u(n)\\&=-2u(-n-1)-0.5^{n}u(n)\\\end{aligned}}}$

Región de convergencia

La región de convergencia (ROC) es el conjunto de puntos en el plano complejo para el cual la suma de la transformada Z converge (es decir, no aumenta en magnitud hasta el infinito):

${\displaystyle \mathrm {ROC} =\left\{z:\left|\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\right|<\infty \right\}}$

Ejemplo 1 (sin ROC)

Ampliando el intervalo se obtiene ${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\ .}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,(.5)^{-3},(.5)^{-2},(.5)^{-1},1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.}$

Mirando la suma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}$

Por lo tanto, no hay valores de que satisfagan esta condición. ${\displaystyle z}$

Ejemplo 2 (ROC causal)

ROC (azul), | z | = .5 (círculo negro punteado) y el círculo unitario (círculo gris punteado).

Sea (donde es la función escalonada de Heaviside ). Desarrollando el intervalo se obtiene ${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\,u[n]}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,(.5),(.5)^{2},(.5)^{3},\dots \right\}.}$

Mirando la suma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(.5)^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}.}$

La última igualdad surge de la serie geométrica infinita y la igualdad solo se cumple si que puede reescribirse en términos de como Por lo tanto, la ROC es En este caso, la ROC es el plano complejo con un disco de radio 0,5 en el origen "perforado". ${\displaystyle |(.5)z^{-1}|<1,}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|>(.5).}$ ${\displaystyle |z|>(.5).}$

Ejemplo 3 (ROC anticausal)

ROC (azul), | z | = .5 (círculo negro punteado) y el círculo unitario (círculo gris punteado).

Sea (donde es la función escalonada de Heaviside ). Desarrollando el intervalo se obtiene ${\displaystyle x[n]=-(.5)^{n}\,u[-n-1]}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,-(.5)^{-3},-(.5)^{-2},-(.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.}$

Mirando la suma

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}&=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(.5)^{n}\,z^{-n}\\&=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{.5}}\right)^{m}\\&=-{\frac {(.5)^{-1}z}{1-(.5)^{-1}z}}\\&=-{\frac {1}{(.5)z^{-1}-1}}\\&={\frac {1}{1-(.5)z^{-1}}}\\\end{aligned}}}$

y usando nuevamente la serie geométrica infinita , la igualdad solo se cumple si lo cual puede reescribirse en términos de como Por lo tanto, la ROC es En este caso, la ROC es un disco centrado en el origen y de radio 0,5. ${\displaystyle |(.5)^{-1}z|<1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|<(.5).}$ ${\displaystyle |z|<(.5).}$

Lo que diferencia este ejemplo del anterior es únicamente el ROC. Esto tiene la intención de demostrar que el resultado de la transformación por sí solo no es suficiente.

Ejemplos de conclusión

Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada Z de es única cuando y solo cuando se especifica la ROC. La creación del gráfico de polos y ceros para el caso causal y anticausal muestra que la ROC para ambos casos no incluye el polo que está en 0,5. Esto se extiende a los casos con múltiples polos: la ROC nunca contendrá polos. ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle x[n]}$

En el ejemplo 2, el sistema causal produce un ROC que incluye, mientras que el sistema anticausal del ejemplo 3 produce un ROC que incluye ${\displaystyle |z|=\infty }$ ${\displaystyle |z|=0.}$

ROC se muestra como un anillo azul 0,5 < | z | < 0,75

En sistemas con múltiples polos es posible tener un ROC que no incluya ni El ROC crea una banda circular. Por ejemplo, ${\displaystyle |z|=\infty }$ ${\displaystyle |z|=0.}$

${\displaystyle x[n]=(.5)^{n}\,u[n]-(.75)^{n}\,u[-n-1]}$

Tiene polos en 0,5 y 0,75. La ROC será 0,5 < | z | < 0,75, que no incluye ni el origen ni el infinito. Un sistema de este tipo se denomina sistema de causalidad mixta, ya que contiene un término causal y un término anticausal. ${\displaystyle (.5)^{n}\,u[n]}$ ${\displaystyle -(.75)^{n}\,u[-n-1].}$

La estabilidad de un sistema también se puede determinar conociendo únicamente la ROC. Si la ROC contiene el círculo unitario (es decir, | z | = 1), entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal (ejemplo 2) es estable porque | z | > 0,5 contiene el círculo unitario.

Supongamos que se nos proporciona una transformada Z de un sistema sin una ROC (es decir, una ambigua ). Podemos determinar una única siempre que deseemos lo siguiente: ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x[n]}$

• Estabilidad
• Causalidad

Para que haya estabilidad, la ROC debe contener el círculo unitario. Si necesitamos un sistema causal, entonces la ROC debe contener el infinito y la función del sistema será una secuencia del lado derecho. Si necesitamos un sistema anticausal, entonces la ROC debe contener el origen y la función del sistema será una secuencia del lado izquierdo. Si necesitamos estabilidad y causalidad, todos los polos de la función del sistema deben estar dentro del círculo unitario.

Lo único entonces se puede encontrar. ${\displaystyle x[n]}$

Propiedades

Teorema de Parseval

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{1}[n]x_{2}^{*}[n]\quad =\quad {\frac {1}{j2\pi }}\oint _{C}X_{1}(v)X_{2}^{*}({\tfrac {1}{v^{*}}})v^{-1}\mathrm {d} v}$

Teorema del valor inicial : Sies causal, entonces ${\displaystyle x[n]}$

${\displaystyle x[0]=\lim _{z\to \infty }X(z).}$

Teorema del valor final : Si los polos deestán dentro del círculo unitario, entonces ${\displaystyle (z-1)X(z)}$

${\displaystyle x[\infty ]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z).}$

Tabla de pares de transformadas Z comunes

Aquí:

${\displaystyle u:n\mapsto u[n]={\begin{cases}1,&n\geq 0\\0,&n<0\end{cases}}}$

es la función escalonada unitaria (o de Heaviside) y

${\displaystyle \delta :n\mapsto \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0\end{cases}}}$

es la función de impulso unitario de tiempo discreto (cf. función delta de Dirac , que es una versión de tiempo continuo). Las dos funciones se eligen juntas de modo que la función de escalón unitario sea la acumulación (total acumulado) de la función de impulso unitario.

Relación con la serie de Fourier y la transformada de Fourier

Para los valores de en la región , conocida como círculo unitario , podemos expresar la transformada como una función de una única variable real definiendo Y la transformada bilateral se reduce a una serie de Fourier : ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|{=}1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle z{=}e^{j\omega }.}$

que también se conoce como la transformada de Fourier de tiempo discreto (DTFT) de la secuencia. Esta función periódica es la suma periódica de una transformada de Fourier , lo que la convierte en una herramienta de análisis ampliamente utilizada. Para entender esto, sea la transformada de Fourier de cualquier función, , cuyas muestras en algún intervalo sean iguales a la secuencia. Entonces la DTFT de la secuencia se puede escribir de la siguiente manera. ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle X(f)}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle x[n]}$

donde tiene unidades de segundos, tiene unidades de hercios . La comparación de las dos series revela que es una frecuencia normalizada con unidad de radianes por muestra . El valor corresponde a . Y ahora, con la sustitución, la ecuación 1 se puede expresar en términos de (una transformada de Fourier): ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \omega {=}2\pi fT}$ ${\displaystyle \omega {=}2\pi }$ ${\textstyle f{=}{\frac {1}{T}}}$ ${\textstyle f{=}{\frac {\omega }{2\pi T}},}$ ${\displaystyle X({\tfrac {\omega -2\pi k}{2\pi T}})}$

A medida que cambia el parámetro T , los términos individuales de la ecuación 2 se alejan o se acercan a lo largo del eje f . Sin embargo, en la ecuación 3 , los centros permanecen separados 2 π , mientras que sus anchos se expanden o contraen. Cuando la secuencia representa la respuesta al impulso de un sistema LTI , estas funciones también se conocen como su respuesta en frecuencia . Cuando la secuencia es periódica, su DTFT es divergente en una o más frecuencias armónicas y cero en todas las demás frecuencias. Esto a menudo se representa mediante el uso de funciones delta de Dirac variantes en amplitud en las frecuencias armónicas. Debido a la periodicidad, solo hay un número finito de amplitudes únicas, que se calculan fácilmente mediante la transformada de Fourier discreta (DFT), mucho más simple. (Véase Transformada de Fourier de tiempo discreto § Datos periódicos ). ${\displaystyle x(nT)}$ ${\displaystyle x(nT)}$

Relación con la transformada de Laplace

Transformación bilineal

La transformada bilineal se puede utilizar para convertir filtros de tiempo continuo (representados en el dominio de Laplace) en filtros de tiempo discreto (representados en el dominio Z), y viceversa. Se utiliza la siguiente sustitución:

${\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}$

convertir alguna función en el dominio de Laplace en una función en el dominio Z ( transformación de Tustin ), o ${\displaystyle H(s)}$ ${\displaystyle H(z)}$

${\displaystyle z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}}$

del dominio Z al dominio de Laplace. A través de la transformación bilineal, el plano s complejo (de la transformada de Laplace) se mapea al plano z complejo (de la transformada z). Si bien esta asignación es (necesariamente) no lineal, es útil porque mapea todo el eje del plano s sobre el círculo unitario en el plano z. Como tal, la transformada de Fourier (que es la transformada de Laplace evaluada en el eje) se convierte en la transformada de Fourier de tiempo discreto. Esto supone que existe la transformada de Fourier; es decir, que el eje está en la región de convergencia de la transformada de Laplace. ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle j\omega }$ ${\displaystyle j\omega }$

Transformación destacada

Dada una transformada Z unilateral de una función muestreada en el tiempo, la transformada con asterisco correspondiente produce una transformada de Laplace y restaura la dependencia de (el parámetro de muestreo): ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle {\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}}$

La transformada de Laplace inversa es una abstracción matemática conocida como función de muestreo de impulso .

Ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes

La ecuación de diferencia de coeficientes constantes lineales (LCCD) es una representación de un sistema lineal basada en la ecuación de promedio móvil autorregresivo :

${\displaystyle \sum _{p=0}^{N}y[n-p]\alpha _{p}=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}.}$

Ambos lados de la ecuación anterior se pueden dividir por si no es cero. Al normalizar con la ecuación LCCD se puede escribir ${\displaystyle \alpha _{0}}$ ${\displaystyle \alpha _{0}{=}1,}$

${\displaystyle y[n]=\sum _{q=0}^{M}x[n-q]\beta _{q}-\sum _{p=1}^{N}y[n-p]\alpha _{p}.}$

Esta forma de la ecuación LCCD es favorable para hacer más explícito que la salida "actual" es una función de las salidas pasadas, la entrada actual y las entradas previas. ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle y[n-p],}$ ${\displaystyle x[n],}$ ${\displaystyle x[n-q].}$

Función de transferencia

Tomando la transformada Z de la ecuación anterior (utilizando leyes de linealidad y desplazamiento temporal) se obtiene:

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}$

donde y son la transformada z de y respectivamente. (Las convenciones de notación normalmente utilizan letras mayúsculas para referirse a la transformada z de una señal indicada por una letra minúscula correspondiente, similar a la convención utilizada para notar las transformadas de Laplace). ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle Y(z)}$ ${\displaystyle x[n]}$ ${\displaystyle y[n],}$

La reorganización da como resultado la función de transferencia del sistema :

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}$

Ceros y polos

Del teorema fundamental del álgebra, el numerador tiene raíces (que corresponden a los ceros de ) y el denominador tiene raíces (que corresponden a los polos). Reescribiendo la función de transferencia en términos de ceros y polos ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},}$

donde es el cero y es el polo. Los ceros y los polos son comúnmente complejos y cuando se grafican en el plano complejo (plano z) se denomina diagrama de polos y ceros . ${\displaystyle q_{k}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle k^{\text{th}}}$

Además, también pueden existir ceros y polos en y Si tomamos en consideración estos polos y ceros así como los ceros y polos de orden múltiple, el número de ceros y polos es siempre igual. ${\displaystyle z{=}0}$ ${\displaystyle z{=}\infty .}$

Al factorizar el denominador, se puede utilizar la descomposición en fracciones parciales , que luego se puede transformar nuevamente al dominio del tiempo. Al hacerlo, se obtendría la respuesta al impulso y la ecuación diferencial de coeficientes constantes lineales del sistema.

Respuesta de salida

Si un sistema de este tipo es impulsado por una señal , entonces la salida es Al realizar una descomposición en fracciones parciales en y luego tomar la transformada Z inversa, se puede encontrar la salida. En la práctica, a menudo es útil descomponer fraccionariamente antes de multiplicar esa cantidad por para generar una forma de que tiene términos con transformadas Z inversas fácilmente computables. ${\displaystyle H(z)}$ ${\displaystyle X(z)}$ ${\displaystyle Y(z)=H(z)X(z).}$ ${\displaystyle Y(z)}$ ${\displaystyle y[n]}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {Y(z)}{z}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Y(z)}$

Véase también

• Transformada Z avanzada
• Transformación bilineal
• Ecuación diferencial (relación de recurrencia)
• Convolución discreta
• Transformada de Fourier de tiempo discreto
• Respuesta de impulso finito
• Serie de potencias formales
• Función generadora
• Transformación de función generadora
• Transformada de Laplace
• Serie Laurent
• Análisis espectral de mínimos cuadrados
• Función generadora de probabilidad
• Transformación de estrellas
• Transformación de Zak
• Regularización de la función zeta

Referencias

1. Mandal, Jyotsna Kumar (2020). " Codificación reversible basada en transformada Z ". Esteganografía reversible y autenticación mediante codificación por transformada . Estudios en inteligencia computacional. Vol. 901. Singapur: Springer Singapur. págs. 157–195. doi :10.1007/978-981-15-4397-5_7. ISBN 978-981-15-4396-8. ISSN  1860-949X. S2CID  226413693. Z es una variable compleja. La transformada Z convierte la señal del dominio espacial discreto en una representación compleja del dominio de frecuencia. La transformada Z se deriva de la transformada de Laplace.
2. Lynn, Paul A. (1986). "La transformada de Laplace y la transformada z ". Electronic Signals and Systems . Londres: Macmillan Education UK. págs. 225–272. doi :10.1007/978-1-349-18461-3_6. ISBN 978-0-333-39164-8La transformada de Laplace y la transformada z están estrechamente relacionadas con la transformada de Fourier. La transformada z es especialmente adecuada para trabajar con señales y sistemas discretos. Ofrece una notación más compacta y conveniente que la transformada de Fourier de tiempo discreto.
3. Palani, S. (26 de agosto de 2021). "El análisis de la transformada z de señales y sistemas en tiempo discreto". Señales y sistemas . Cham: Springer International Publishing. págs. 921–1055. doi :10.1007/978-3-030-75742-7_9. ISBN 978-3-030-75741-0. S2CID  238692483. La transformada z es la contraparte discreta de la transformada de Laplace. La transformada z convierte ecuaciones diferenciales de sistemas de tiempo discreto en ecuaciones algebraicas, lo que simplifica el análisis de sistemas de tiempo discreto. La transformada de Laplace y la transformada z son comunes, excepto que la transformada de Laplace se ocupa de señales y sistemas de tiempo continuo.
4. ER Kanasewich (1981). Análisis de secuencia temporal en geofísica. Universidad de Alberta. págs.186, 249. ISBN 978-0-88864-074-1.
5. ER Kanasewich (1981). Análisis de secuencias temporales en geofísica (3.ª ed.). Universidad de Alberta. Págs. 185-186. ISBN 978-0-88864-074-1.
6. Ragazzini, JR; Zadeh, LA (1952). "El análisis de sistemas de datos muestreados". Transacciones del Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos, Parte II: Aplicaciones e Industria . 71 (5): 225–234. doi :10.1109/TAI.1952.6371274. S2CID  51674188.
7. Cornelius T. Leondes (1996). Implementación de sistemas de control digital y técnicas computacionales. Academic Press. p. 123. ISBN 978-0-12-012779-5.
8. Eliahu Ibrahim Jury (1958). Sistemas de control de datos muestreados . John Wiley & Sons.
9. Eliahu Ibrahim Jury (1973). Teoría y aplicación del método de la transformada Z. Krieger Pub Co. ISBN 0-88275-122-0.
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11. Jackson, Leland B. (1996). "La transformada z". Filtros digitales y procesamiento de señales . Boston, MA: Springer US. págs. 29-54. doi :10.1007/978-1-4757-2458-5_3. ISBN 978-1-4419-5153-3La transformada z es a los sistemas de tiempo discreto lo que la transformada de Laplace es a los sistemas de tiempo continuo. z es una variable compleja. A veces se la denomina transformada z bilateral , siendo la transformada z unilateral la misma excepto por una suma desde n = 0 hasta el infinito. El uso principal de la transformada unilateral ... es para secuencias causales, en cuyo caso las dos transformadas son las mismas de todos modos. Por lo tanto, no haremos esta distinción y nos referiremos a ... simplemente como la transformada z de x ( n ).
12. Proakis, John; Manolakis, Dimitris. Principios, algoritmos y aplicaciones del procesamiento de señales digitales (3.ª ed.). PRENTICE-HALL INTERNATIONAL, INC.
13. Bolzern, Paolo; Scattolini, Ricardo; Schiavoni, Nicola (2015). Fondamenti di Controlli Automatici (en italiano). Educación de MC Graw Hill. ISBN 978-88-386-6882-1.
14. AR Forouzan (2016). "Región de convergencia de la derivada de la transformada Z". Electronics Letters . 52 (8): 617–619. Bibcode :2016ElL....52..617F. doi :10.1049/el.2016.0189. S2CID  124802942.

Lectura adicional

• Refaat El Attar, Notas de clase sobre Z-Transform , Lulu Press, Morrisville NC, 2005. ISBN 1-4116-1979-X . 
• Ogata, Katsuhiko, Sistemas de control de tiempo discreto 2.a edición , Prentice-Hall Inc, 1995, 1987. ISBN 0-13-034281-5 . 
• Alan V. Oppenheim y Ronald W. Schafer (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto, 2.ª edición, Prentice Hall Signal Processing Series. ISBN 0-13-754920-2 . 

Enlaces externos

• "Transformada Z". Enciclopedia de Matemáticas . EMS Press . 2001 [1994].
• Merrikh-Bayat, Farshad (2014). "Dos métodos para la inversión numérica de la transformada Z". arXiv : 1409.1727 [math.NA].
• Tabla de transformadas Z de algunas transformadas de Laplace comunes
• Entrada de Mathworld sobre la transformada Z
• Subprocesos de transformación Z en Comp.DSP
• Un gráfico de la relación entre el plano s de la transformada de Laplace y el plano Z de la transformada Z
• Una explicación en vídeo de la transformada Z para ingenieros
• ¿Qué es la transformada z?