Identidades del cálculo vectorial

Identidades matemáticas

Las siguientes son identidades importantes que involucran derivadas e integrales en el cálculo vectorial .

Notación del operador

Gradiente

Para una función en variables de coordenadas cartesianas tridimensionales , el gradiente es el campo vectorial: ${\displaystyle f(x,y,z)}$

${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k} }$

donde i , j , k son los vectores unitarios estándar para los ejes x , y , z . De manera más general, para una función de n variables , también llamada campo escalar , el gradiente es el campo vectorial : donde son vectores unitarios mutuamente ortogonales. ${\displaystyle \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ $${\displaystyle \nabla \psi ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\end{pmatrix}}\psi ={\frac {\partial \psi }{\partial x_{1}}}\mathbf {e} _{1}+\dots +{\frac {\partial \psi }{\partial x_{n}}}\mathbf {e} _{n}}$$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\,(i=1,2,...,n)}$

Como su nombre lo indica, el gradiente es proporcional y apunta en la dirección del cambio más rápido (positivo) de la función.

Para un campo vectorial , también llamado campo tensorial de orden 1, el gradiente o derivada total es la matriz jacobiana n × n : ${\displaystyle \mathbf {A} =\left(A_{1},\ldots ,A_{n}\right)}$ $${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=d\mathbf {A} =(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}\right)_{\!ij}.}$$

Para un campo tensorial de cualquier orden k , el gradiente es un campo tensorial de orden k + 1. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \operatorname {grad} (\mathbf {T} )=d\mathbf {T} =(\nabla \mathbf {T} )^{\textsf {T}}}$

Para un campo tensorial de orden k > 0, el campo tensorial de orden k + 1 se define por la relación recursiva donde es un vector constante arbitrario. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla \mathbf {T} }$ $${\displaystyle (\nabla \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Divergencia

En coordenadas cartesianas, la divergencia de un campo vectorial continuamente diferenciable es la función escalar: ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$ $${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.}$$

Como su nombre lo indica, la divergencia es una medida (local) del grado en que divergen los vectores en el campo.

La divergencia de un campo tensorial de orden distinto de cero k se escribe como , una contracción de un campo tensorial de orden k − 1. Específicamente, la divergencia de un vector es un escalar. La divergencia de un campo tensorial de orden superior se puede encontrar descomponiendo el campo tensorial en una suma de productos externos y utilizando la identidad, donde es la derivada direccional en la dirección de multiplicada por su magnitud. Específicamente, para el producto externo de dos vectores, ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {T} )=\nabla \cdot \mathbf {T} }$ $${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=\mathbf {T} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} .}$$

Para un campo tensorial de orden k > 1, el campo tensorial de orden k − 1 está definido por la relación recursiva donde es un vector constante arbitrario. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {T} }$ $${\displaystyle (\nabla \cdot \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \cdot (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Rizo

En coordenadas cartesianas, para el rizo es el campo vectorial: donde i , j y k son los vectores unitarios para los ejes x , y y z , respectivamente. ${\displaystyle \mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} \mathbf {F} &=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}},\ {\frac {\partial }{\partial y}},\ {\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}F_{x},\ F_{y},\ F_{z}\end{pmatrix}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\\[1em]&=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} \end{aligned}}}$$

Como su nombre lo indica, el rizo es una medida de cuánto tienden los vectores cercanos a seguir una dirección circular.

En la notación de Einstein , el campo vectorial tiene un rotacional dado por: donde = ±1 o 0 es el símbolo de paridad de Levi-Civita . ${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}F_{1},\ F_{2},\ F_{3}\end{pmatrix}}}$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\varepsilon ^{ijk}\mathbf {e} _{i}{\frac {\partial F_{k}}{\partial x_{j}}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$

Para un campo tensorial de orden k > 1, el campo tensorial de orden k se define por la relación recursiva donde es un vector constante arbitrario. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {T} }$ $${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {T} )\cdot \mathbf {C} =\nabla \times (\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Un campo tensorial de orden mayor que uno puede descomponerse en una suma de productos externos , y luego puede usarse la siguiente identidad: Específicamente, para el producto externo de dos vectores, $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \otimes \mathbf {T} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\otimes \mathbf {T} -\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {T} ).}$$ $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\mathbf {B} ^{\textsf {T}}-\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} ).}$$

Laplaciano

En coordenadas cartesianas , el laplaciano de una función es ${\displaystyle f(x,y,z)}$ $${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}\!f=(\nabla \cdot \nabla )f={\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial z^{2}}}.}$$

El laplaciano es una medida de cuánto cambia una función en una pequeña esfera centrada en el punto.

Cuando el laplaciano es igual a 0, la función se denomina función armónica . Es decir, $${\displaystyle \Delta f=0.}$$

Para un campo tensorial , , el Laplaciano generalmente se escribe como: y es un campo tensorial del mismo orden. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ $${\displaystyle \Delta \mathbf {T} =\nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} }$$

Para un campo tensorial de orden k > 0, el campo tensorial de orden k se define por la relación recursiva donde es un vector constante arbitrario. ${\displaystyle \mathbf {T} }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} }$ $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}\mathbf {T} \right)\cdot \mathbf {C} =\nabla ^{2}(\mathbf {T} \cdot \mathbf {C} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {C} }$

Notaciones especiales

En la notación de subíndice de Feynman , donde la notación ∇ _B significa que el gradiente subscrito opera solo sobre el factor B. ^{[1] [2]} $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {B} }\!\left(\mathbf {A{\cdot }B} \right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$

Menos general pero similar es la notación de puntos de Hestenes en álgebra geométrica . ^[3] La identidad anterior se expresa entonces como: donde los puntos definen el alcance de la derivada del vector. El vector punteado, en este caso B , se diferencia, mientras que el A (sin puntos) se mantiene constante. $${\displaystyle {\dot {\nabla }}\left(\mathbf {A} {\cdot }{\dot {\mathbf {B} }}\right)=\mathbf {A} {\times }\!\left(\nabla {\times }\mathbf {B} \right)+\left(\mathbf {A} {\cdot }\nabla \right)\mathbf {B} }$$

En el resto de este artículo, se utilizará la notación de subíndice de Feynman cuando sea apropiado.

Identidades de primera derivada

Para campos escalares , y campos vectoriales , , tenemos las siguientes identidades derivadas. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Propiedades distributivas

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi +\phi )&=\nabla \psi +\nabla \phi \\\nabla (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \mathbf {A} +\nabla \mathbf {B} \\\nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} \\\nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

Propiedades asociativas de la primera derivada

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {A} \cdot \nabla )\psi &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\psi &=\mathbf {A} \times (\nabla \psi )\\(\mathbf {A} \times \nabla )\mathbf {B} &=\mathbf {A} \times (\nabla \mathbf {B} )\end{aligned}}}$

Regla del producto para la multiplicación por un escalar

Tenemos las siguientes generalizaciones de la regla del producto en el cálculo de una sola variable .

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\psi \phi )&=\phi \,\nabla \psi +\psi \,\nabla \phi \\\nabla (\psi \mathbf {A} )&=(\nabla \psi )\mathbf {A} ^{\textsf {T}}+\psi \nabla \mathbf {A} \ =\ \nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \,\nabla \mathbf {A} \\\nabla \cdot (\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} +(\nabla \psi )\,{\cdot }\mathbf {A} \\\nabla {\times }(\psi \mathbf {A} )&=\psi \,\nabla {\times }\mathbf {A} +(\nabla \psi ){\times }\mathbf {A} \\\nabla ^{2}(\psi \phi )&=\psi \,\nabla ^{2\!}\phi +2\,\nabla \!\psi \cdot \!\nabla \phi +\phi \,\nabla ^{2\!}\psi \end{aligned}}}$

Regla del cociente para la división por un escalar

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \psi -\psi \,\nabla \phi }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla \mathbf {A} -\nabla \phi \otimes \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\cdot }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \cdot \mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla \times \left({\frac {\mathbf {A} }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla {\times }\mathbf {A} -\nabla \!\phi \,{\times }\,\mathbf {A} }{\phi ^{2}}}\\[1em]\nabla ^{2}\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)&={\frac {\phi \,\nabla ^{2\!}\psi -2\,\phi \,\nabla \!\left({\frac {\psi }{\phi }}\right)\cdot \!\nabla \phi -\psi \,\nabla ^{2\!}\phi }{\phi ^{2}}}\end{aligned}}}$

Regla de la cadena

Sea una función de una variable de escalares a escalares, una curva parametrizada , una función de vectores a escalares y un campo vectorial. Tenemos los siguientes casos especiales de la regla de la cadena de múltiples variables . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t))}$ ${\displaystyle \phi \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (f\circ \phi )&=\left(f'\circ \phi \right)\nabla \phi \\(\mathbf {r} \circ f)'&=(\mathbf {r} '\circ f)f'\\(\phi \circ \mathbf {r} )'&=(\nabla \phi \circ \mathbf {r} )\cdot \mathbf {r} '\\(\mathbf {A} \circ \mathbf {r} )'&=\mathbf {r} '\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {r} )\\\nabla (\phi \circ \mathbf {A} )&=(\nabla \mathbf {A} )\cdot (\nabla \phi \circ \mathbf {A} )\\\nabla \cdot (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \cdot (\mathbf {r} '\circ \phi )\\\nabla \times (\mathbf {r} \circ \phi )&=\nabla \phi \times (\mathbf {r} '\circ \phi )\end{aligned}}}$

Para una transformación vectorial tenemos: ${\displaystyle \mathbf {x} \!:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \circ \mathbf {x} )=\mathrm {tr} \left((\nabla \mathbf {x} )\cdot (\nabla \mathbf {A} \circ \mathbf {x} )\right)}$

Aquí tomamos la traza del producto escalar de dos tensores de segundo orden, que corresponde al producto de sus matrices.

Regla del producto escalar

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )&\ =\ (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} \,+\,(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {B} )\,+\,\mathbf {B} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\\&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }+\mathbf {B} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,+\,(\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \end{aligned}}}$

donde denota la matriz jacobiana del campo vectorial . ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {A} }=(\nabla \!\mathbf {A} )^{\textsf {T}}=(\partial A_{i}/\partial x_{j})_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{1},\ldots ,A_{n})}$

Alternativamente, utilizando la notación de subíndice de Feynman,

${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\nabla _{\mathbf {A} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )+\nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\ .}$

Véase estas notas. ^[4]

Como caso especial, cuando A = B ,

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\cdot \mathbf {A} \ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} )\ =\ A\nabla A.}$

La generalización de la fórmula del producto escalar a las variedades de Riemann es una propiedad definitoria de una conexión de Riemann , que diferencia un campo vectorial para dar una 1-forma con valor vectorial .

Regla del producto vectorial

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ (\nabla \mathbf {A} )\times \mathbf {B} \,-\,(\nabla \mathbf {B} )\times \mathbf {A} \\[5pt]\nabla \cdot (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ (\nabla {\times }\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )\\[5pt]\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {B} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,-\,(\mathbf {B} (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\,-\,\nabla {\cdot }\left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[2pt]&\ =\ \nabla {\cdot }\left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\,-\,\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\\[5pt]\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )&\ =\ \nabla _{\mathbf {B} }(\mathbf {A} {\cdot }\mathbf {B} )\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \\[2pt]&\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \cdot (\mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}})\\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla )\times \mathbf {B} &\ =\ (\nabla \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[2pt]&\ =\ \mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )\,+\,(\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {B} \,-\,\mathbf {A} (\nabla {\cdot }\mathbf {B} )\\[5pt](\mathbf {A} \times \nabla )\cdot \mathbf {B} &\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla {\times }\mathbf {B} )\end{aligned}}}$

Nótese que la matriz es antisimétrica. ${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {B} }\,-\,\mathbf {J} _{\mathbf {B} }^{\textsf {T}}}$

Identidades de segunda derivada

La divergencia del rizo es cero

La divergencia del rizo de cualquier campo vectorial A continuamente dos veces diferenciable es siempre cero: $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$$

Este es un caso especial de desaparición del cuadrado de la derivada exterior en el complejo de cadena de De Rham .

La divergencia del gradiente es laplaciana

El laplaciano de un campo escalar es la divergencia de su gradiente: el resultado es una cantidad escalar. $${\displaystyle \Delta \psi =\nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot (\nabla \psi )}$$

La divergencia de la divergencia no está definida

La divergencia de un campo vectorial A es un escalar, y la divergencia de una cantidad escalar no está definida. Por lo tanto, $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

El rizo del gradiente es cero

El rizo del gradiente de cualquier campo escalar continuamente dos veces diferenciable (es decir, clase de diferenciabilidad ) es siempre el vector cero : ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle C^{2}}$ $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )=\mathbf {0} .}$$

Se puede demostrar fácilmente expresándolo en un sistema de coordenadas cartesianas con el teorema de Schwarz (también llamado teorema de Clairaut sobre igualdad de parciales mixtos). Este resultado es un caso especial de la desaparición del cuadrado de la derivada exterior en el complejo de cadena de De Rham . ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}$

Rizo de rizo

$${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\ =\ \nabla (\nabla {\cdot }\mathbf {A} )\,-\,\nabla ^{2\!}\mathbf {A} }$$

Aquí ∇ ² es el laplaciano vectorial que opera sobre el campo vectorial A .

El rizo de divergencia no está definido

La divergencia de un campo vectorial A es un escalar y el rotacional de una cantidad escalar no está definido. Por lo tanto, $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \cdot \mathbf {A} ){\text{ is undefined.}}}$$

Propiedades asociativas de la segunda derivada

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla \cdot \nabla )\psi &=\nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi \\(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} &=\nabla \cdot (\nabla \mathbf {A} )=\nabla ^{2}\mathbf {A} \\(\nabla \times \nabla )\psi &=\nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} \\(\nabla \times \nabla )\mathbf {A} &=\nabla \times (\nabla \mathbf {A} )=\mathbf {0} \end{aligned}}}$

Gráfico DCG: Algunas reglas para segundas derivadas.

Un mnemotécnico

La figura de la derecha es una mnemotecnia para algunas de estas identidades. Las abreviaturas utilizadas son:

• D: divergencia,
• C: rizo,
• G: gradiente,
• L: Laplaciano,
• CC: rizo de rizo.

Cada flecha está etiquetada con el resultado de una identidad, específicamente, el resultado de aplicar el operador en la cola de la flecha al operador en su punta. El círculo azul en el medio significa que existe el rizo de rizo, mientras que los otros dos círculos rojos (discontinuos) significan que DD y GG no existen.

Resumen de identidades importantes

Diferenciación

Gradiente

• ${\displaystyle \nabla (\psi +\phi )=\nabla \psi +\nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \phi )=\phi \nabla \psi +\psi \nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla (\psi \mathbf {A} )=\nabla \psi \otimes \mathbf {A} +\psi \nabla \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )+\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )}$

Divergencia

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \cdot \mathbf {A} +\nabla \cdot \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=(\nabla \times \mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} -(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathbf {A} }$

Rizo

• ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} +\mathbf {B} )=\nabla \times \mathbf {A} +\nabla \times \mathbf {B} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \mathbf {A} \right)=\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )-(\mathbf {A} \times \nabla )\psi =\psi \,(\nabla \times \mathbf {A} )+(\nabla \psi )\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\psi \nabla \phi \right)=\nabla \psi \times \nabla \phi }$
• ${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)=\mathbf {A} \left(\nabla \cdot \mathbf {B} \right)-\mathbf {B} \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)+\left(\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} -\left(\mathbf {A} \cdot \nabla \right)\mathbf {B} }$^[5]

Operador Vector-punto-Del

• ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} ={\frac {1}{2}}{\bigg [}\nabla (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )-\nabla \times (\mathbf {A} \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} )-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {A} )+\mathbf {A} (\nabla \cdot \mathbf {B} ){\bigg ]}}$^[6]

• ${\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}+(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla (\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} )=2\mathbf {B} \cdot (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {B} }$

Segundas derivadas

• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$
• ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \psi )=\mathbf {0} }$
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \psi )=\nabla ^{2}\psi }$ ( Laplaciano escalar )
• ${\displaystyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=\nabla ^{2}\mathbf {A} }$ ( Laplaciano vectorial )
• ${\displaystyle \nabla \cdot (\phi \nabla \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi }$
• ${\displaystyle \psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi =\nabla \cdot \left(\psi \nabla \phi -\phi \nabla \psi \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\phi \psi )=\phi \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \phi )\cdot (\nabla \psi )+\left(\nabla ^{2}\phi \right)\psi }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\psi \mathbf {A} )=\mathbf {A} \nabla ^{2}\psi +2(\nabla \psi \cdot \nabla )\mathbf {A} +\psi \nabla ^{2}\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=\mathbf {A} \cdot \nabla ^{2}\mathbf {B} -\mathbf {B} \cdot \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +2\nabla \cdot ((\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {A} +\mathbf {B} \times (\nabla \times \mathbf {A} ))}$( Identidad vectorial de Green )

Derivadas terceras

• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \psi )=\nabla (\nabla \cdot (\nabla \psi ))=\nabla \left(\nabla ^{2}\psi \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \cdot \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} ))=\nabla \cdot \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)}$
• ${\displaystyle \nabla ^{2}(\nabla \times \mathbf {A} )=-\nabla \times (\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ))=\nabla \times \left(\nabla ^{2}\mathbf {A} \right)}$

Integración

A continuación, el símbolo rizado ∂ significa " límite de " una superficie o sólido.

Integrales de superficie y volumen

En los siguientes teoremas de integralidad de superficie-volumen, V denota un volumen tridimensional con un límite bidimensional correspondiente S = ∂ V (una superficie cerrada ):

• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \psi \,dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {A} \,dV}$ ( teorema de divergencia )
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \times d\mathbf {S} \ =\ -\iiint _{V}\nabla \times \mathbf {A} \,dV}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \nabla \!\varphi \cdot d\mathbf {S} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi +\nabla \!\varphi \cdot \nabla \!\psi \right)\,dV}$ ( La primera identidad de Green )
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi \nabla \!\varphi -\varphi \nabla \!\psi \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\psi {\frac {\partial \varphi }{\partial n}}-\varphi {\frac {\partial \psi }{\partial n}}\right)dS}$ ${\displaystyle \displaystyle \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\varphi -\varphi \nabla ^{2}\!\psi \right)\,dV}$ ( La segunda identidad de Green )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV}$ ( integración por partes )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\psi \nabla \cdot \mathbf {A} \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} -\iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \nabla \psi \,dV}$ ( integración por partes )
• ${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {A} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)\,dV\ =\ -}$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)\cdot d\mathbf {S} +\iiint _{V}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot \mathbf {B} \,dV}$ ( integración por partes )
• ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \times \left(d\mathbf {S} \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {C} ^{\textsf {T}}\right)\right)\ =\ \iiint _{V}\mathbf {A} \times \left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {C} ^{\textsf {T}}\right)\right)\,dV+\iiint _{V}\mathbf {B} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\times \mathbf {C} \,dV}$ ^[7]
• ${\displaystyle \iiint _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {B} +\mathbf {B} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \,dV\ =\ }$ ${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \left(\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} \right)\mathbf {A} }$ ^[8]

Integrales de curva y superficie

En los siguientes teoremas de integrales de curva-superficie, S denota una superficie abierta 2d con un límite 1d correspondiente C = ∂ S (una curva cerrada ):

• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\cdot d\mathbf {S} }$ ( Teorema de Stokes )
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\psi \,d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\nabla \psi \times d\mathbf {S} }$
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times d{\boldsymbol {\ell }}\ =\ -\iint _{S}\left(\nabla \mathbf {A} -(\nabla \cdot \mathbf {A} )\mathbf {1} \right)\cdot d\mathbf {S} \ =\ -\iint _{S}\left(d\mathbf {S} \times \nabla \right)\times \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times d{\boldsymbol {\ell }})\ =\ \iint _{S}\left(\nabla \times \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\right)\cdot d\mathbf {S} +\iint _{S}\left(\nabla \cdot \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\right)\times d\mathbf {S} }$ ^[9]
• ${\displaystyle \oint _{\partial S}(\mathbf {B} \cdot d{\boldsymbol {\ell }})\mathbf {A} =\iint _{S}(d\mathbf {S} \cdot \left[\nabla \times \mathbf {B} -\mathbf {B} \times \nabla \right])\mathbf {A} }$ ^[10]

La integración alrededor de una curva cerrada en el sentido de las agujas del reloj es el negativo de la misma integral de línea en el sentido antihorario (análogo a intercambiar los límites en una integral definida ):

${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}=-}$ ${\displaystyle {\scriptstyle \partial S}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} \cdot d{\boldsymbol {\ell }}.}$

Integrales de curvas de puntos finales

En los siguientes teoremas de integralidad de curva-punto final, P denota una trayectoria abierta 1d con puntos límite con signo 0d y la integración a lo largo de P es de a : ${\displaystyle \mathbf {q} -\mathbf {p} =\partial P}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$

• ${\displaystyle \psi |_{\partial P}=\psi (\mathbf {q} )-\psi (\mathbf {p} )=\int _{P}\nabla \psi \cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$ ( teorema del gradiente )
• ${\displaystyle \mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \nabla \right)\mathbf {A} }$
• ${\displaystyle \mathbf {A} |_{\partial P}=\mathbf {A} (\mathbf {q} )-\mathbf {A} (\mathbf {p} )=\int _{P}\left(\nabla \mathbf {A} \right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}+\int _{P}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)\times d{\boldsymbol {\ell }}}$

Integrales tensoriales

Se puede obtener una forma tensorial de un teorema de integral vectorial reemplazando el vector (o uno de ellos) por un tensor, siempre que primero se haga que el vector aparezca solo como el vector más a la derecha de cada integrando. Por ejemplo, el teorema de Stokes se convierte en

${\displaystyle \oint _{\partial S}d{\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {T} \ =\ \iint _{S}d\mathbf {S} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {T} \right)}$.

Un campo escalar también puede tratarse como un vector y reemplazarse por un vector o tensor. Por ejemplo, la primera identidad de Green se convierte en

${\displaystyle \scriptstyle \partial V}$ ${\displaystyle \psi \,d\mathbf {S} \cdot \nabla \!\mathbf {A} \ =\ \iiint _{V}\left(\psi \nabla ^{2}\!\mathbf {A} +\nabla \!\psi \cdot \nabla \!\mathbf {A} \right)\,dV}$.

Se aplican reglas similares a las fórmulas algebraicas y de diferenciación. Para las fórmulas algebraicas, se puede utilizar como alternativa la posición del vector más a la izquierda.

Véase también

• Comparación entre el álgebra vectorial y el álgebra geométrica
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas  – Operador de gradiente matemático en ciertos sistemas de coordenadas
• Reglas de diferenciación  – Reglas para calcular derivadas de funciones
• Identidades de cálculo exterior
• Derivada exterior  – Operaciones sobre formas diferenciales
• Lista de límites
• Tabla de derivadas  – Reglas para calcular derivadas de funcionesPages displaying short descriptions of redirect targets
• Relaciones del álgebra vectorial  : fórmulas sobre vectores en el espacio euclidiano tridimensional

Referencias

1. Feynman, RP; Leighton, RB; Sands, M. (1964). Las conferencias Feynman sobre física . Addison-Wesley. Vol. II, pág. 27-4. ISBN 0-8053-9049-9.
2. Kholmetskii, AL; Missevitch, OV (2005). "La ley de inducción de Faraday en la teoría de la relatividad". pág. 4. arXiv : physics/0504223 .
3. Doran, C. ; Lasenby, A. (2003). Álgebra geométrica para físicos . Cambridge University Press. pág. 169. ISBN 978-0-521-71595-9.
4. Kelly, P. (2013). "Capítulo 1.14 Cálculo tensorial 1: Campos tensoriales" (PDF) . Apuntes de clase de mecánica, parte III: Fundamentos de la mecánica del medio continuo. Universidad de Auckland . Consultado el 7 de diciembre de 2017 .
5. "conferencia15.pdf" (PDF) .
6. Kuo, Kenneth K.; Acharya, Ragini (2012). Aplicaciones de la combustión turbulenta y multifásica. Hoboken, NJ: Wiley. p. 520. doi :10.1002/9781118127575.app1. ISBN 9781118127575Archivado del original el 19 de abril de 2021 . Consultado el 19 de abril de 2020 .
7. Page y Adams, págs. 65–66.
8. Wangsness, Roald K.; Cloud, Michael J. (1986). Campos electromagnéticos (2.ª ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-81186-2.
9. Page, Leigh; Adams, Norman Ilsley, Jr. (1940). Electrodinámica. Nueva York: D. Van Nostrand Company, Inc. págs. 44-45, ecuación (18-3).{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. Pérez-Garrido, Antonio (2024). "Recuperación de teoremas poco utilizados del cálculo vectorial y su aplicación a problemas de electromagnetismo". American Journal of Physics . 92 (5): 354–359. arXiv : 2312.17268 . doi :10.1119/5.0182191.

Lectura adicional

• Balanis, Constantine A. (23 de mayo de 1989). Ingeniería electromagnética avanzada . ISBN 0-471-62194-3.
• Schey, HM (1997). Div Grad Curl y todo eso: un texto informal sobre cálculo vectorial . WW Norton & Company. ISBN 0-393-96997-5.
• Griffiths, David J. (1999). Introducción a la electrodinámica . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.