Distribución de dimensión finita

Concepto de matemáticas

En matemáticas , las distribuciones de dimensión finita son una herramienta en el estudio de medidas y procesos estocásticos . Se puede obtener mucha información estudiando la "proyección" de una medida (o proceso) en un espacio vectorial de dimensión finita (o colección finita de tiempos).

Distribuciones de dimensión finita de una medida.

Sea un espacio de medida . Las distribuciones de dimensión finita de son las medidas de avance , donde , es cualquier función medible. ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f_{*}(\mu )}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

Distribuciones de dimensión finita de un proceso estocástico.

Sea un espacio de probabilidad y sea un proceso estocástico . Las distribuciones de dimensión finita de son las medidas de avance en el espacio del producto definido por ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle X:I\times \Omega \to \mathbb {X} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}}$ ${\displaystyle \mathbb {X} ^{k}}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(S):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|\left(X_{i_{1}}(\omega ),\dots ,X_{i_{k}}(\omega )\right)\in S\right.\right\}.}$

Muy a menudo, esta condición se expresa en términos de rectángulos mensurables :

${\displaystyle \mathbb {P} _{i_{1}\dots i_{k}}^{X}(A_{1}\times \cdots \times A_{k}):=\mathbb {P} \left\{\omega \in \Omega \left|X_{i_{j}}(\omega )\in A_{j}\mathrm {\,for\,} 1\leq j\leq k\right.\right\}.}$

La definición de las distribuciones de dimensión finita de un proceso se relaciona con la definición de una medida de la siguiente manera: recuerde que la ley de es una medida sobre la colección de todas las funciones desde hacia . En general, este es un espacio de dimensiones infinitas. Las distribuciones de dimensión finita de son las medidas de avance en el espacio del producto de dimensión finita , donde ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {X} ^{I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {X} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{*}\left({\mathcal {L}}_{X}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {X} ^{k}}$

${\displaystyle f:\mathbb {X} ^{I}\to \mathbb {X} ^{k}:\sigma \mapsto \left(\sigma (t_{1}),\dots ,\sigma (t_{k})\right)}$

es la función natural "evaluar en ocasiones ". ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{k}}$

Relación con la estanqueidad

Se puede demostrar que si una secuencia de medidas de probabilidad es estrecha y todas las distribuciones de dimensión finita de convergen débilmente a las distribuciones de dimensión finita correspondientes de alguna medida de probabilidad , entonces converge débilmente a . ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu }$

Ver también

• Ley (procesos estocásticos)