Distribución de probabilidad condicional

Concepto de estadística y teoría de la probabilidad.

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución de probabilidad condicional es una distribución de probabilidad que describe la probabilidad de un resultado dada la ocurrencia de un evento particular. Dadas dos variables aleatorias distribuidas conjuntamente y , la distribución de probabilidad condicional de dada es la distribución de probabilidad de cuando se sabe que es un valor particular; en algunos casos, las probabilidades condicionales pueden expresarse como funciones que contienen el valor no especificado de como parámetro. Cuando ambas y son variables categóricas , normalmente se utiliza una tabla de probabilidad condicional para representar la probabilidad condicional. La distribución condicional contrasta con la distribución marginal de una variable aleatoria, que es su distribución sin referencia al valor de la otra variable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Si la distribución condicional de dada es una distribución continua , entonces su función de densidad de probabilidad se conoce como función de densidad condicional . ^[1] Las propiedades de una distribución condicional, como los momentos , a menudo reciben nombres correspondientes, como media condicional y varianza condicional . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

De manera más general, se puede hacer referencia a la distribución condicional de un subconjunto de un conjunto de más de dos variables; esta distribución condicional depende de los valores de todas las variables restantes, y si se incluye más de una variable en el subconjunto, entonces esta distribución condicional es la distribución conjunta condicional de las variables incluidas.

Distribuciones discretas condicionales

Para variables aleatorias discretas , la función de masa de probabilidad condicional dada se puede escribir de acuerdo con su definición como: ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=x}$

${\displaystyle p_{Y|X}(y\mid x)\triangleq P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})}{P(X=x)}}\qquad }$

Debido a la aparición de en el denominador, esto se define solo para valores distintos de cero (por lo tanto, estrictamente positivo) ${\displaystyle P(X=x)}$ ${\displaystyle P(X=x).}$

La relación con la distribución de probabilidad dada es: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle P(Y=y\mid X=x)P(X=x)=P(\{X=x\}\cap \{Y=y\})=P(X=x\mid Y=y)P(Y=y).}$

Ejemplo

Considere la tirada de un dado justo y considere si el número es par (es decir, 2, 4 o 6) y en caso contrario. Además, sea si el número es primo (es decir, 2, 3 o 5) y en caso contrario. ${\displaystyle X=1}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle Y=1}$ ${\displaystyle Y=0}$

Entonces la probabilidad incondicional es 3/6 = 1/2 (ya que hay seis tiradas posibles de los dados, de las cuales tres son pares), mientras que la probabilidad condicional es 1/3 (ya que hay tres tiradas posibles de números primos —2, 3 y 5—de los cuales uno es par). ${\displaystyle X=1}$ ${\displaystyle X=1}$ ${\displaystyle Y=1}$

Distribuciones continuas condicionales

De manera similar, para variables aleatorias continuas , la función de densidad de probabilidad condicional de dada la aparición del valor de se puede escribir como ^{[2] : p. 99} ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}\qquad }$

donde da la densidad conjunta de y , mientras que da la densidad marginal de . También en este caso es necesario que . ${\displaystyle f_{X,Y}(x,y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{X}(x)>0}$

La relación con la distribución de probabilidad dada viene dada por: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{Y\mid X}(y\mid x)f_{X}(x)=f_{X,Y}(x,y)=f_{X|Y}(x\mid y)f_{Y}(y).}$

El concepto de distribución condicional de una variable aleatoria continua no es tan intuitivo como podría parecer: la paradoja de Borel muestra que las funciones de densidad de probabilidad condicional no necesitan ser invariantes bajo transformaciones de coordenadas.

Ejemplo

Densidad articular normal bivariada

El gráfico muestra una densidad conjunta normal bivariada para variables aleatorias y . Para ver la distribución del condicional en , primero se puede visualizar la línea en el plano y luego visualizar el plano que contiene esa línea y es perpendicular al plano. La intersección de ese plano con la densidad normal conjunta, una vez reescalada para dar área unitaria bajo la intersección, es la densidad condicional relevante de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=70}$ ${\displaystyle X=70}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\mid X=70\ \sim \ {\mathcal {N}}\left(\mu _{Y}+{\frac {\sigma _{Y}}{\sigma _{X}}}\rho (70-\mu _{X}),\,(1-\rho ^{2})\sigma _{Y}^{2}\right).}$

Relación con la independencia

Las variables aleatorias son independientes si y sólo si la distribución condicional de dada es, para todas las realizaciones posibles de , igual a la distribución incondicional de . Para variables aleatorias discretas esto significa para todos los posibles y con . Para variables aleatorias continuas y , teniendo una función de densidad conjunta , significa para todos los posibles y con . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle P(Y=y|X=x)=P(Y=y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(X=x)>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{Y}(y|X=x)=f_{Y}(y)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{X}(x)>0}$

Propiedades

Visto como una función de dado , es una función de masa de probabilidad y, por lo tanto, la suma sobre todo (o integral si es una densidad de probabilidad condicional) es 1. Visto como una función de dado , es una función de probabilidad , de modo que la suma (o integral) de todo no tiene por qué ser 1. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle P(Y=y|X=x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

Además, una marginal de una distribución conjunta se puede expresar como la expectativa de la distribución condicional correspondiente. Por ejemplo, . ${\displaystyle p_{X}(x)=E_{Y}[p_{X|Y}(x\ |\ Y)]}$

Formulación teórica de medidas

Sea un espacio de probabilidad, un campo en . Dado , el teorema de Radon-Nikodym implica que existe ^[3] una variable aleatoria medible , llamada probabilidad condicional , tal que ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle P(A\mid {\mathcal {G}}):\Omega \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \int _{G}P(A\mid {\mathcal {G}})(\omega )dP(\omega )=P(A\cap G)}$$

regularde probabilidad ${\displaystyle G\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (\cdot \mid {\mathcal {G}})(\omega )}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

Casos especiales:

• Para el álgebra sigma trivial , la probabilidad condicional es la función constante ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\Omega \}}$ ${\displaystyle \operatorname {P} \!\left(A\mid \{\emptyset ,\Omega \}\right)=\operatorname {P} (A).}$
• Si , entonces , la función del indicador (definida a continuación). ${\displaystyle A\in {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=1_{A}}$

Sea una variable aleatoria valorada. Para cada uno , defina ${\displaystyle X:\Omega \to E}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {E}}}$

$${\displaystyle \mu _{X\,|\,{\mathcal {G}}}(B\,|\,{\mathcal {G}})=\mathrm {P} (X^{-1}(B)\,|\,{\mathcal {G}}).}$$

distribución de probabilidad condicionalregular ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle \mu _{X\,|{\mathcal {G}}}(\cdot \,|{\mathcal {G}})(\omega ):{\mathcal {E}}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle (E,{\mathcal {E}})}$

Para una variable aleatoria de valor real (con respecto al campo de Borel en ), toda distribución de probabilidad condicional es regular. ^[4] En este caso, casi con toda seguridad. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle E[X\mid {\mathcal {G}}]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\mu (dx,\cdot )}$

Relación con la expectativa condicional

Para cualquier evento , defina la función del indicador : ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )={\begin{cases}1\;&{\text{if }}\omega \in A,\\0\;&{\text{if }}\omega \notin A,\end{cases}}}$

que es una variable aleatoria. Tenga en cuenta que la expectativa de esta variable aleatoria es igual a la probabilidad de A en sí:

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\operatorname {P} (A).\;}$

Dado un campo , la probabilidad condicional es una versión de la expectativa condicional de la función indicadora para : ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {P} (A\mid {\mathcal {G}})=\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}\mid {\mathcal {G}})\;}$

La expectativa de una variable aleatoria con respecto a una probabilidad condicional regular es igual a su expectativa condicional.

Interpretación del condicionamiento en un campo Sigma.

Considere el espacio de probabilidad y un campo subsigma . Se puede interpretar que el campo sub-sigma contiene un subconjunto de la información en . Por ejemplo, podríamos pensar en la probabilidad del evento dada la información en . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (B|{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Recuerde también que un evento es independiente de un campo sub-sigma si es para todos . Es incorrecto concluir en general que la información contenida no nos dice nada sobre la probabilidad de que ocurra el evento. Esto se puede demostrar con un contraejemplo: ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (B|A)=\mathbb {P} (B)}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B}$

Considere un espacio de probabilidad en el intervalo unitario, . Sea el campo sigma de todos los conjuntos contables y conjuntos cuyo complemento es contable. Entonces cada conjunto tiene medida o y por lo tanto es independiente de cada evento en . Sin embargo, observe que también contiene todos los eventos singleton (aquellos conjuntos que contienen solo un único ). Entonces, saber cuál de los eventos ocurrió es equivalente a saber exactamente cuál ocurrió. Entonces, en un sentido, no contiene información sobre (es independiente de él) y, en otro sentido, contiene toda la información en . ^[5] ${\displaystyle \Omega =[0,1]}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Ver también

• Condicionamiento (probabilidad)
• La probabilidad condicional
• Probabilidad condicional regular
• Teorema de Bayes

Referencias

Citas

1. Ross, Sheldon M. (1993). Introducción a los modelos de probabilidad (Quinta ed.). San Diego: Prensa académica. págs. 88–91. ISBN 0-12-598455-3.
2. Parque, Kun Il (2018). Fundamentos de Probabilidad y Procesos Estocásticos con Aplicaciones a las Comunicaciones . Saltador. ISBN 978-3-319-68074-3.
3. Billingsley (1995), pág. 430
4. Billingsley (1995), pág. 439
5. Billingsley, Patrick (28 de febrero de 2012). Probabilidad y medida. Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 978-1-118-12237-2.

Fuentes

• Billingsley, Patricio (1995). Probabilidad y medida (3ª ed.). Nueva York, Nueva York: John Wiley and Sons.