Distribución t de la matriz

En estadística , la distribución t matricial (o distribución t matricial variable ) es la generalización de la distribución t multivariada de vectores a matrices . ^{[1] [2]}

La distribución t matricial comparte con la distribución t multivariante la misma relación que la distribución normal matricial comparte con la distribución normal multivariante : si la matriz tiene solo una fila o solo una columna, las distribuciones se vuelven equivalentes a la distribución (vectorial) multivariante correspondiente. La distribución t matricial es la distribución compuesta que resulta de una mezcla infinita de una distribución normal matricial con una distribución Wishart inversa colocada sobre cualquiera de sus matrices de covarianza, ^[1] y la distribución t multivariante se puede generar de manera similar. ^[2]

En un análisis bayesiano de un modelo de regresión lineal multivariante basado en la distribución normal matricial, la distribución t matricial es la distribución predictiva posterior . ^[3]

Definición

Para una distribución t matricial , la función de densidad de probabilidad en el punto de un espacio es ${\displaystyle \mathbf {X} }$ ${\displaystyle n\times p}$

${\displaystyle f(\mathbf {X} ;\nu ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})=K\times \left|\mathbf {I} _{n}+{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right|^{-{\frac {\nu +n+p-1}{2}}},}$

donde la constante de integración K está dada por

${\displaystyle K={\frac {\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +n+p-1}{2}}\right)}{(\pi )^{\frac {np}{2}}\Gamma _{p}\left({\frac {\nu +p-1}{2}}\right)}}|{\boldsymbol {\Omega }}|^{-{\frac {n}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {p}{2}}}.}$

Aquí está la función gamma multivariada . ${\displaystyle \Gamma _{p}}$

La función característica y varias otras propiedades se pueden derivar de la distribución t matricial generalizada (ver más abajo).

Matriz generalizadaa-distribución

La distribución matricial t generalizada es una generalización de la distribución matricial t con dos parámetros y en lugar de . ^[3] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \nu }$

Esto se reduce a la distribución t de matriz estándar con ${\displaystyle \beta =2,\alpha ={\frac {\nu +p-1}{2}}.}$

La distribución t matricial generalizada es la distribución compuesta que resulta de una mezcla infinita de una distribución normal matricial con una distribución gamma multivariada inversa colocada sobre cualquiera de sus matrices de covarianza.

Propiedades

Si entonces ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$

${\displaystyle \mathbf {X} ^{\rm {T}}\sim {\rm {T}}_{p,n}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ^{\rm {T}},{\boldsymbol {\Omega }},{\boldsymbol {\Sigma }}).}$

La propiedad anterior proviene del teorema del determinante de Sylvester :

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{n}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} ){\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} -\mathbf {M} )^{\rm {T}}\right)=}$

${\displaystyle \det \left(\mathbf {I} _{p}+{\frac {\beta }{2}}{\boldsymbol {\Omega }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}}){\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {X} ^{\rm {T}}-\mathbf {M} ^{\rm {T}})^{\rm {T}}\right).}$

Si y y son matrices no singulares entonces ^{[2] [3]} ${\displaystyle \mathbf {X} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {M} ,{\boldsymbol {\Sigma }},{\boldsymbol {\Omega }})}$ ${\displaystyle \mathbf {A} (n\times n)}$ ${\displaystyle \mathbf {B} (p\times p)}$

${\displaystyle \mathbf {AXB} \sim {\rm {T}}_{n,p}(\alpha ,\beta ,\mathbf {AMB} ,\mathbf {A} {\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {A} ^{\rm {T}},\mathbf {B} ^{\rm {T}}{\boldsymbol {\Omega }}\mathbf {B} ).}$

La función característica es ^[3]

${\displaystyle \phi _{T}(\mathbf {Z} )={\frac {\exp({\rm {tr}}(i\mathbf {Z} '\mathbf {M} ))|{\boldsymbol {\Omega }}|^{\alpha }}{\Gamma _{p}(\alpha )(2\beta )^{\alpha p}}}|\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} |^{\alpha }B_{\alpha }\left({\frac {1}{2\beta }}\mathbf {Z} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {Z} {\boldsymbol {\Omega }}\right),}$

dónde

${\displaystyle B_{\delta }(\mathbf {WZ} )=|\mathbf {W} |^{-\delta }\int _{\mathbf {S} >0}\exp \left({\rm {tr}}(-\mathbf {SW} -\mathbf {S^{-1}Z} )\right)|\mathbf {S} |^{-\delta -{\frac {1}{2}}(p+1)}d\mathbf {S} ,}$

y donde está la función de Bessel tipo dos de Herz ^{[ aclaración necesaria ]} de un argumento matricial. ${\displaystyle B_{\delta }}$

Véase también

• Distribución t multivariada
• Distribución normal matricial

Notas

1. Zhu, Shenghuo y Kai Yu y Yihong Gong (2007). "Predictive Matrix-Variate t Models". En JC Platt, D. Koller, Y. Singer y S. Roweis, editores, NIPS '07: Advances in Neural Information Processing Systems 20, páginas 1721–1728. MIT Press, Cambridge, MA, 2008. La notación se modifica un poco en este artículo para mantener la coherencia con el artículo sobre distribución normal matricial .
2. Gupta, Arjun K y Nagar, Daya K (1999). Distribuciones de variables matriciales . CRC Press. pp. Capítulo 4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. Iranmanesh, Anis, M. Arashi y SMM Tabatabaey (2010). "Aplicaciones condicionales de la distribución normal variable de matrices". Revista iraní de ciencias matemáticas e informática , 5:2, págs. 33–43.

Enlaces externos

• Una biblioteca C++ para generar matrices aleatorias