Familia de parámetros multivariados de distribuciones de probabilidad continua
En teoría de probabilidad y estadística , la distribución normal-inversa-de-Wishart (o distribución gaussiana-inversa-de-Wishart ) es una familia multivariante de cuatro parámetros de distribuciones de probabilidad continuas . Es la distribución conjugada previa de una distribución normal multivariante con media y matriz de covarianza desconocidas (la inversa de la matriz de precisión ). [1]
Definición
Suponer
tiene una distribución normal multivariada con media y matriz de covarianza , donde
tiene una distribución Wishart inversa . Entonces
tiene una distribución Wishart inversa normal, denotada como
Caracterización
Función de densidad de probabilidad
La versión completa del PDF es la siguiente: [2]
Aquí está la función gamma multivariada y es la traza de la matriz dada.
Propiedades
Escalada
Distribuciones marginales
Por construcción, la distribución marginal sobre es una distribución Wishart inversa y la distribución condicional sobre dada es una distribución normal multivariada . La distribución marginal sobre es una distribución t multivariada .
Distribución posterior de los parámetros
Supongamos que la densidad de muestreo es una distribución normal multivariada
donde es una matriz y (de longitud ) es la fila de la matriz.
Como la matriz de media y covarianza de la distribución de muestreo es desconocida, podemos colocar una prior Normal-Inversa-Wishart en los parámetros de media y covarianza conjuntamente.
La distribución posterior resultante para la matriz de media y covarianza también será una distribución Normal-Inversa-Wishart.
dónde
- .
Para tomar muestras de la posterior conjunta de , simplemente se extraen muestras de , luego se extrae . Para tomar muestras de la predictiva posterior de una nueva observación, se extrae , dados los valores ya extraídos de y . [3]
Generación de variables aleatorias normales-inversas-de Wishart
La generación de variables aleatorias es sencilla:
- Muestra de una distribución Wishart inversa con parámetros y
- Muestra de una distribución normal multivariada con media y varianza
Distribuciones relacionadas
- La distribución normal-Wishart es esencialmente la misma distribución parametrizada por la precisión en lugar de la varianza. Si entonces .
- La distribución normal-inversa-gamma es el equivalente unidimensional.
- La distribución normal multivariada y la distribución Wishart inversa son las distribuciones componentes a partir de las cuales se compone esta distribución.
Notas
- ^ Murphy, Kevin P. (2007). "Análisis bayesiano conjugado de la distribución gaussiana". [1]
- ^ Simon JD Prince (junio de 2012). Visión artificial: modelos, aprendizaje e inferencia. Cambridge University Press. 3.8: "Distribución de Wishart inversa normal".
- ^ Gelman, Andrew, et al. Análisis de datos bayesianos. Vol. 2, p.73. Boca Raton, FL, EE. UU.: Chapman & Hall/CRC, 2014.
Referencias
- Bishop, Christopher M. (2006). Reconocimiento de patrones y aprendizaje automático. Springer Science+Business Media.
- Murphy, Kevin P. (2007). “Análisis bayesiano conjugado de la distribución gaussiana”. [2]